O problema se refere a divisores positivos. Mas se provarmos para este
caso, fica também provado se incluirmos os negativos.
No caso 1 do problema original, vemos que a igualdade do produto dos
divisores implica que as fatorações de m e de n contenham exatamente os
mesmos primos p1, .... pk. Estes primos são também os que aparecem nas
fatorações dos produtos dos divisores de m e de n. Sendo ai e bi, i = 1 ...
k os expoentes das fatorações de m e de n, temos que
m = pi^a1 ... pk^a^k
n = p1^b1 .... pk^bk
Sendo Dm o produto dos divisores de m e Dn os de n, temos que
m^{Dm/2) = n^(Dn/2) ===> m^Dm = n^Dn
Assim, basta mostrar que Dm = Dn.
A igualdade dos produtos dos divisores leva, pela equação acima e pelo
teorema fundamental da aritmética, a que,
ai/bi = Dn/Dm i = 1, ...k. (1)
Temos ainda que
Dm = (1 + a1) ..... (1 + ak) (2)
Dn= (1 + b1) ..... (1 + bk) (3)
Se Dm <> Dn, podemos admitir, sem perda de generalidade, que Dm > Dn. Logo,
Dn/Dm < 1, o que, em virtude de (1), leva a que ai < bi, i = 1, ... k.Mas
em virtude de (2) e de (3), isto implica que Dm < Dn, contradição. Assim,
Dm = Dn e, portanto, m = n.
No caso 2 do problema, vemos que o produto dos duvisores positivos de m,
excluindo o próprio m, é (m^Dm/2)/m = m^(Dm/2 - 1). Assim, a igualdade
citada no enunciado leva a que
m^(Dm - 2) = m^(Dn - 2). Novamente, basta provar que Dm = Dn. Prosseguindo
como no caso anterior com Dm - 2 no lugar de Dm e Dn - 2 no lugar de Dn,
concluimos que m = n.
Artur Costa Steiner
Em 22 de ago de 2018 21:59, "Anderson Torres" <torres.anderson...@gmail.com>
escreveu:
Em qua, 22 de ago de 2018 às 16:02, Pedro José <petroc...@gmail.com>
escreveu:
>
> Boa tarde!
>
> Anderson Torres,
>
> Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
>
> Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de
divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que
n é par.
Mas o problema fala de inteiros positivos. Não tenho razões para supor
que se tratam de todos os divisores inteiros, incluindo os negativos.
Mesmo porque multiplicação por unidade "não acrescenta informação".
> Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número
de divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
> Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é
ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
ND+(m) par.
> Se di<raiz(m), existirá um dj >raiz(m) de modo que di.dj=m.
> Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
m/dj, que não foi contato, absurdo,
> Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
> Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
> Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos,
pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==>
O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você.
> Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
>
> Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
(-m)^(ND(m)/2).
> Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
>> <artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>> >
>> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
>> >
>> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m =
n.
>> >
>> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de
n.
>> >
>> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se
m e n, são iguais.
>> >
>> > Artur Costa Steiner
>>
>> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
>> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
>>
>> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
>>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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