Boa noite!
Eu tinha caminhado em um caminho mais longo e empacado. Mas se pensasse em
provar por absurdo teria chegado a solução.
Se o produto dos divisores de dois números são iguais, os de divisores
positivos também o são e vale o recíproco. Portanto só serãoconsiderados os
positivos.
Fatorando n, n= Produtório(1,j)pi^ai
Fatorando m, m= Produtório (1,k)p'i^bi
Como o produto dos divisores de m é igual ao produto dos divisores de n,
como a fatoração é única, a menos da ordenação, temos que que k=j e pi=p'i
(se ordenarmos de mesma forma os diversos p e p'.
Nos divisores de n, o expoente de pi, poderá ser: 0, 1, 2, 3....ai, então
para cada pi há (ai+1) opções de expoentes.
Portanto, no produto de todos os divisores de m o expoente do primo pi
será: (1+2+3+...ai)* Produtório (1,k), q<>i (aq+1)
Já nos de m, será: (1+2+3+...bi)* Produtório (1,k), q<>i (bq+1), como os
expoentes de pi deverão ser iguais, pelo princípio da fatoração única.
a1(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b1(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1)
a2(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b2(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1)
a3(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b3(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1)
.
.
.
ak(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = bk(b1+1)(b2+2)...(bk-1+1)(bk+1)
O que levaria a ai/bi é constante para 0<i<=k.
Aí é só usar o princípio do absurdo. Só que havia empacado.
Por isso questionara se a relação entre as soma dos termos de duas
sequências é igual a relaçãode seus produtos, garantiriam que a sequências
são iguais.
Cheguei perto e morri na praia.
Sendo um pouco ranheta, se não há restrições, não devemos criá-las. O fato
de m e n serem positivos, não implica que seus divisores o sejam. Embora a
restrição não interfira em nada a solução.
Bela solução.
Saudações,
PJMS
Em qua, 22 de ago de 2018 às 15:48, Pedro José <petroc...@gmail.com>
escreveu:
> Boa tarde!
>
> Anderson Torres,
>
> Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
>
> Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de
> divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que
> n é par.
> Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número de
> divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
> Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é
> ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
> pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
> ND+(m) par.
> Se di<raiz(m), existirá um dj >raiz(m) de modo que di.dj=m.
> Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
> todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
> m/dj, que não foi contato, absurdo,
> Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
> Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
> divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
> Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos,
> pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==>
> O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você.
> Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
>
> Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
> (-m)^(ND(m)/2).
> Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
>> <artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>> >
>> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
>> >
>> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m = n.
>> >
>> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de
>> n.
>> >
>> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se m
>> e n, são iguais.
>> >
>> > Artur Costa Steiner
>>
>> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
>> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
>>
>> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
>>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =========================================================================
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =========================================================================
>>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
