> O problema se refere a divisores positivos. Mas se provarmos para este
> caso, fica também provado se incluirmos os negativos.
>
> No caso 1 do problema original, vemos que a igualdade do produto dos
> divisores implica que as fatorações de m e de n contenham exatamente os
> mesmos primos p1, .... pk. Estes primos são também os que aparecem nas
> fatorações dos produtos dos divisores de m e de n. Sendo ai e bi, i = 1 ...
> k os expoentes das fatorações de m e de n, temos que
>
> m = pi^a1 ... pk^a^k
> n = p1^b1 .... pk^bk
>
> Sendo Dm o número de divisores de m e Dn o de n, temos que
>
> m^{Dm/2) = n^(Dn/2) ===> m^Dm = n^Dn
>
> Assim, basta mostrar que Dm = Dn.
>
> A igualdade dos produtos dos divisores leva, pela equação acima e pelo
> teorema fundamental da aritmética, a que,
>
> ai/bi = Dn/Dm i = 1, ...k. (1)
>
> Temos ainda que
>
> Dm = (1 + a1) ..... (1 + ak) (2)
> Dn= (1 + b1) ..... (1 + bk) (3)
>
> Se Dm <> Dn, podemos admitir, sem perda de generalidade, que Dm > Dn.
> Logo, Dn/Dm < 1, o que, em virtude de (1), leva a que ai < bi, i = 1, ...
> k.Mas em virtude de (2) e de (3), isto implica que Dm < Dn, contradição.
> Assim, Dm = Dn e, portanto, m = n.
>
> No caso 2 do problema, vemos que o produto dos duvisores positivos de m,
> excluindo o próprio m, é (m^Dm/2)/m = m^(Dm/2 - 1). Assim, a igualdade
> citada no enunciado leva a que
>
> m^(Dm - 2) = m^(Dn - 2). Novamente, basta provar que Dm = Dn. Prosseguindo
> como no caso anterior com Dm - 2 no lugar de Dm e Dn - 2 no lugar de Dn,
> concluimos que m = n.
>
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 22 de ago de 2018 21:59, "Anderson Torres" <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 16:02, Pedro José <petroc...@gmail.com>
> escreveu:
> >
> > Boa tarde!
> >
> > Anderson Torres,
> >
> > Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
> >
> > Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto
> de divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos
> que n é par.
>
> Mas o problema fala de inteiros positivos. Não tenho razões para supor
> que se tratam de todos os divisores inteiros, incluindo os negativos.
> Mesmo porque multiplicação por unidade "não acrescenta informação".
>
>
> > Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número
> de divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
> > Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1)
> é ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
> pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
> ND+(m) par.
> > Se di<raiz(m), existirá um dj >raiz(m) de modo que di.dj=m.
> > Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
> todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
> m/dj, que não foi contato, absurdo,
> > Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
> > Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
> divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
> > Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e
> negativos, pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então
> ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==> O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2),
> como proposto por você.
> > Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
> >
> > Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
> (-m)^(ND(m)/2).
> > Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
> >
> > Saudações,
> > PJMS.
> >
> > Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
> >> <artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
> >> >
> >> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
> >> >
> >> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m =
> n.
> >> >
> >> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores
> de n.
> >> >
> >> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se
> m e n, são iguais.
> >> >
> >> > Artur Costa Steiner
> >>
> >> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
> >> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
> >>
> >> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
> >>
> >> >
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> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
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> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
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> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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