Eu acho que dá pra deduzir a fórmula de DeMoivre com base na definição da exponencial complexa via a extensão da série de Taylor pro domínio complexo: e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... Com z = ix (x real) e as séries de Taylor (em R) de sen e cos você acha e^(ix) = cos(x) + i*sen(x). (e todas as manipulações com séries são válidas já que elas convergem absolutamente e uniformemente em compactos) Com a ajuda do teorema do binômio, você prova que e^(z+w) = e^z*e^w e, portanto (usando indução), que e^(nz) = (e^z)^n. Finalmente, pondo z = ix (x real), você chega à fórmula de DeMoivre.
De resto, concordo com o Antonio Carlos: o princípio da indução está na base da matemática. É a propriedade essencial do conjunto dos números naturais. Assim, o não-uso deliberado de indução não me parece produtivo. Além disso, a capacidade de raciocinar recursivamente é importante pra quem quer resolver problemas matemáticos (por exemplo, em combinatória e teoria dos grafos) e tecnológicos (especialmente em computação). Dito isso, estou curioso pra ver uma demonstração não indutiva da fórmula de DeMoivre. []s, Claudio. On Wed, Aug 29, 2018 at 6:49 PM Antonio Carlos <ac6945...@gmail.com> wrote: > Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e > pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = > r^ne^(inx). > > Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i sen(nx), > que é a fórmula de Moivre. > > Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente > utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não > conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova > alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas > o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática > (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual > derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar > o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. > > Abraços! > > On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa <mat.mo...@gmail.com> > wrote: > >> Gostaria de ver sua solução. >> >> Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >> >>> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >>> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >>> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >>> >>> -- >>> Israel Meireles Chrisostomo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
