Interessante que a fórmula dr Moivre vale para todo complexo z, embora tenha mais importância para z real.
Em qua, 29 de ago de 2018 19:37, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Eu acho que dá pra deduzir a fórmula de DeMoivre com base na definição da > exponencial complexa via a extensão da série de Taylor pro domínio complexo: > e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... > Com z = ix (x real) e as séries de Taylor (em R) de sen e cos você acha > e^(ix) = cos(x) + i*sen(x). > (e todas as manipulações com séries são válidas já que elas convergem > absolutamente e uniformemente em compactos) > Com a ajuda do teorema do binômio, você prova que e^(z+w) = e^z*e^w e, > portanto (usando indução), que e^(nz) = (e^z)^n. > Finalmente, pondo z = ix (x real), você chega à fórmula de DeMoivre. > > De resto, concordo com o Antonio Carlos: o princípio da indução está na > base da matemática. É a propriedade essencial do conjunto dos números > naturais. Assim, o não-uso deliberado de indução não me parece produtivo. > Além disso, a capacidade de raciocinar recursivamente é importante pra > quem quer resolver problemas matemáticos (por exemplo, em combinatória e > teoria dos grafos) e tecnológicos (especialmente em computação). > > Dito isso, estou curioso pra ver uma demonstração não indutiva da fórmula > de DeMoivre. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Aug 29, 2018 at 6:49 PM Antonio Carlos <ac6945...@gmail.com> > wrote: > >> Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e >> pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = >> r^ne^(inx). >> >> Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i >> sen(nx), que é a fórmula de Moivre. >> >> Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente >> utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não >> conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova >> alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas >> o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática >> (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual >> derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar >> o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. >> >> Abraços! >> >> On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa <mat.mo...@gmail.com> >> wrote: >> >>> Gostaria de ver sua solução. >>> >>> Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < >>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >>>> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >>>> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >>>> >>>> -- >>>> Israel Meireles Chrisostomo >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
