Suponhamos que a sequência (a1, a2, ..., an) com n >= 3 cumpra a condição
mas não seja PA.
Seja p o menor índice tal que:
(a1, ..., a(p-1)) é PA (digamos, de razão r) mas (a1, ..., a(p-1), ap) não
é PA.
Isso significa que ap - a(p-1) <> r (&&&)
Como (a1, ..., a(p-1)) é PA, vale:
1/(a1*a2) + ... + 1/(a(p-2)*a(p-1)) = (p-2)/(a1*a(p-1)) (*)
Além disso, por hipótese:
1/(a1*a2) + ... + 1/(a(p-1)*ap) = (p-1)/(a1*ap) (**)
Subtraindo (*) de (**), obtemos:
1/(a(p-1)*ap) = (1/a1)*((p-1)/ap - (p-2)/a(p-1)) ==>
a1/(a(p-1)*ap) = ((p-1)*a(p-1) - (p-2)*ap)/(ap*a(p-1)) ==>
a1 = a(p-1) + (p-2)*a(p-1) - (p-2)*ap ==>
a(p-1) = a1 + (p-2)*(ap - a(p-1)) (***)
Mas, como (a1, ..., a(p-1)) é uma PA, vale a(p-1) = a1 + (p-2)*r (****),
onde r = razão da PA.
Comparando (***) e (****), obtemos que ap - a(p-1) = r ==> contradição a
(&&&).
Logo, se uma sequência cumpre a condição, ela é PA.
[]s,
Claudio.
On Thu, Aug 30, 2018 at 3:21 PM Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com> wrote:
> Sauda,c~oes, oi Claudio,
>
> Seja S_{k-1} = (n-1)/(a1*an) = \frac{n-1}{a_1a_n}.
>
> Para provar a recíproca escrevi
>
> S_k = S_{k-1} + \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{n}{a_1a_{n+1}}
>
> e cheguei a
>
> n(a_{n+1} - a_n)=a_{n+1} - a_1 (*).
>
> Fazendo a) n=2 e b) n=3 em (*) tem-se
>
> a) a_3 + a_1 = 2a_2
>
> b) a_4 + a_2 = 2a_3
>
> Mas não consegui provar que a_{k+1} + a_{k-1} = 2a_k .
>
> Usando (*) ou de outra maneira, como provar a recíproca ?
>
> []s
> Luís
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
