Oi Pedro e Pedro, e demais colegas da OBM-L
Eu também nunca lera a definição de elipses através da razão entre as
distâncias. Achei interessante, porque talvez permita "interpolar"
entre elipses, parábolas e hipérboles. Mas até hoje, todas as
definições que eu vira de elipses (inclusive a da soma das distâncias)
incluíram círculos. Mas, como talvez tenha desejado indicar o Pedro
Fonini, o importante é *para que serve a definição*. No caso das
elipses, é muitas vezes importante incluir os círculos com elas, por
exemplo para o teorema de álgebra linear que ele citou. Talvez o caso
da definição por razão das distâncias indique um outro caminho, mas aí
minha impressão é que o caso seria que a reta diretriz está no
infinito para os círculos (o que, mais uma vez, reforça a unidade das
cônicas no plano projetivo).
Acho que o mais comum, *hoje em dia*, é definir elipses de forma a
incluir os círculos. Talvez isto invalide a definição que você deu
via razões, que passa a ser um teorema apenas para as elipses com dois
focos distintos. Mas, por outro lado, permite generalizar de forma
mais natural outros teoremas para os quais a inclusão dos círculos
como elipses simplifique o enunciado. Talvez você prefira a definição
por razões, mas voltando às origens das cônicas, onde a "classe" é
determinada pela posição relativa do plano secante com relação ao cone
gerador, acredito que a inclusão dos círculos junto com as elipses
seja totalmente razoável.
Cônicas suaves me parecem um assunto avançado; esta terminologia mesmo
já faz pensar em funções (infinitamente) diferenciáveis, etc, típicas
o ensino superior. Do ponto de vista da geometria algébrica, uma
cõnica é definida como zeros de um polinômio P(x,y) de grau dois,
então esta "definição" não pode servir para separar quem seja suave e
quem não seja. Se há uma diferença entre um círculo e duas retas que
se intersectam, não é pela regularidade da função que os define
implicitamente: num caso é x^2 + y^2 = 1, no outro, xy = 0. O que
acaba servindo é a definição de "variedade suave". E daí eu estaria
puxando mais ainda para temas universitários...
On Wed, Dec 4, 2019 at 9:33 PM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote:
>
> Boa noite!
> As retas são cônicas degeneradas. Mas são cônicas.
> Definição de cônica : Dada duas retas g,l concorrentes (cuja interseção é
> {V} no |R3 que não sejam perpendiculares e um plano Pi. A interseção desse
> plano com o cone K, reto de vértice V e eixo l , obtido pela rotação da reta
> g ao redor do ponto V é uma cônica. Podemos ter uma reta, duas retas ou um
> ponto como cônicas degeneradas.
> Você poderia até ter mencionado o conjunto vazio que não é uma cônica.
> x^2+y^2=-1.
> Mas na verdade, eu não me expressei com rigor, o que queria dizer é que se
> escrevermos a função quadrática F(x,y)= 0, que represente a cônica
> (degenerada ou não) F(x,y) é suave? Ou as cônicas suaves devem ser não
> degeneradas apenas?
> Outrossim, discordo do seu argumento "...geralmente é mais útil que as
> definições dos objetos importantes não excluam os casos particulares.."
> Geralmente não é o balizador e sim a definição.
> 1 não é primo. Pois define-se que um primo deve ter dois divisores positivos
> e 1 só possui um. Poderia argumentar, na sua linha, os dois divisores
> coincidentes (os que afirmam é divisível por si e pela unidade)
> O quadrado por definição está claro que é retângulo.
> A definição da elipse é de que a soma das distâncias a dois pontos fixos (e
> não um) é constante. Aí tem a forçação de se considerar dois como um só. Não
> existe dois pontos coincidentes. Se são dois são distintos. Podemos
> representar algo de várias maneiras mas se são iguais é só um, representado
> de várias maneiras. Qual o cardinal do conjunto de focos de uma elipse, no
> caso de você aceitar a elipse com um único foco?
> Como é a prova que só existe um vazio. Por hipótese há mais de um vazio,
> vazio1 e vazio2 e no fim chega-se a conclusão que vazio1 = vazio2 e portanto
> absurdo.Ora, podemos ter vazios coincidentes.
> Amigo, você afirma: "Nunca vi ninguém definir elipse de uma forma que exclua
> os círculos."
> Você nem se deu ao trabalho de ler a minha nota, antes de comentar, ou então
> me corrija se o círculo atende à:
> Lugar geométrico do plano em que a razão entre a distância de um ponto ao
> foco direito e a distância entre esse ponto e uma reta (diretriz direita) é
> constante e menor que 1 e igual a excentricidade da cônica.
> Como a excentricidade da circunferência é zero, teríamos que ter um ponto
> fixo em que a distância de cada ponto da circunferência até esse ponto fosse
> zero. E se na definição tem foco direito está implícito que há um esquerdo.
> Vale a definição para foco esquerdo. Só atenderia se considerarmos o ponto
> como uma circunferência de raio zero. E só para esse caso e ainda aceitarmos
> que quando há só um foco ele tanto é direito quanto esquerdo. Grato pelos
> comentários. Mas as dúvida persistem.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
> Em qua., 4 de dez. de 2019 às 19:59, Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>
> escreveu:
>>
>> Em matemática, geralmente é mais útil que as definições dos objetos
>> importantes não excluam os casos particulares. Um quadrado é um
>> retângulo? Se vc quiser que a definição de "retângulo" inclua somente
>> quadriláteros com ângulos retos que não sejam quadrados, vc tem que
>> explicitar a parte do "não sejam quadrados" na definição. A definição
>> mais simples, "retângulo é um quadrilátero cujos ângulos são todos
>> retos" (como o nome já diz!) inclui o quadrado como caso especial. Uma
>> coisa parecida ocorre com a elipse. Se vc quiser excluir o círculo, vc
>> teria que especificar na definição que vc quer focos distintos. A
>> definição mais simples, que cita os focos como sendo "dois pontos", ao
>> invés de "dois pontos distintos", inclui o círculo como caso especial.
>> E é útill que inclua mesmo. Por exemplo, se vc pensar o círculo como
>> sendo um tipo especial de elipse, vc pode enunciar o seguinte teorema:
>> "A imagem de uma elipse por uma transformação afim é outra elipse."
>> Mas se vc achar que um círculo não é uma elipse, então o teorema (da
>> forma que foi enunciado) não vale mais. A questão é que praticamente
>> qualquer propriedade interessante apresentada por "elipses
>> não-circulares" também será compartilhada pelos círculos. É raro em
>> matemática vc precisar de uma elipse que seja proibida de ser um
>> círculo. Nunca vi ninguém definir elipse de uma forma que exclua os
>> círculos.
>>
>> Sobre a suavidade: da forma que vc escreveu, eu diria que está um
>> pouco ruim. Por exemplo, a função
>> F(x,y)=x^2-y^2
>> é uma função suave (vc consegue calcular dF/dx e dF/dy, por exemplo).
>> Mas vc diria que a equação F(x,y)=0 é uma "cônica suave"? Repare que
>> essa equação descreve duas retas que se cruzam na origem. Outras
>> funções problemáticas são F(x,y)=x^2+y^2 e F(x,y)=0.
>>
>> Se F(x,y) é um polinômio de segundo grau em x e y, então F(x,y)=0 é
>> uma cônica, e eu diria que essa cônica é "suave" se nenhum dos pontos
>> dela (pontos (x,y) tais que F(x,y)=0) satisfaz ao mesmo tempo dF/dx=0
>> e dF/dy=0. O fato de pelo menos uma das derivadas parciais de F ser
>> não-nula garante que não encontraremos problemas como os do parágrafo
>> acima.
>>
>> abraços!
>>
>>
>> Le mer. 4 déc. 2019 à 19:10, Pedro José <petroc...@gmail.com> a écrit :
>> >
>> > Boa noite!
>> > Estou dando uma repassada nas cônicas para auxiliar um filho de um amigo.
>> > Dúvidas quanto à cônicas.
>> > Alguns trabalhos até de mestrandos apontam a circunferência como sendo uma
>> > elipse, um caso particular.
>> > Aprendera que o limite de uma elipse quando a distância entre os focos
>> > tendesse para zero era uma circunferência, não obstante a circunferência
>> > não é uma elipse.
>> > A elipse tem dois focos. O que não ocorre na circunferência.
>> > A elipse pode ser definida como o lugar geométrico do plano em que a razão
>> > entre a distância de um ponto ao foco direito e a distância entre esse
>> > ponto e uma reta (diretriz direita) é constante e menor que 1 e igual a
>> > excentricidade da cônica.
>> > A circunferência não suporta tal definição.
>> > Vejo muitos autores chamarem cônicas suaves.Significa que se escrevermos
>> > uma equação quadrática com F(x,y)=0 a função F(x,y) é suave?
>> >
>> > Grato!
>> >
>> > Saudações,
>> > PJMS.
>> >
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Bernardo Freitas Paulo da Costa
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