Em matemática, geralmente é mais útil que as definições dos objetos
importantes não excluam os casos particulares. Um quadrado é um
retângulo? Se vc quiser que a definição de "retângulo" inclua somente
quadriláteros com ângulos retos que não sejam quadrados, vc tem que
explicitar a parte do "não sejam quadrados" na definição. A definição
mais simples, "retângulo é um quadrilátero cujos ângulos são todos
retos" (como o nome já diz!) inclui o quadrado como caso especial. Uma
coisa parecida ocorre com a elipse. Se vc quiser excluir o círculo, vc
teria que especificar na definição que vc quer focos distintos. A
definição mais simples, que cita os focos como sendo "dois pontos", ao
invés de "dois pontos distintos", inclui o círculo como caso especial.
E é útill que inclua mesmo. Por exemplo, se vc pensar o círculo como
sendo um tipo especial de elipse, vc pode enunciar o seguinte teorema:
"A imagem de uma elipse por uma transformação afim é outra elipse."
Mas se vc achar que um círculo não é uma elipse, então o teorema (da
forma que foi enunciado) não vale mais. A questão é que praticamente
qualquer propriedade interessante apresentada por "elipses
não-circulares" também será compartilhada pelos círculos. É raro em
matemática vc precisar de uma elipse que seja proibida de ser um
círculo. Nunca vi ninguém definir elipse de uma forma que exclua os
círculos.
Sobre a suavidade: da forma que vc escreveu, eu diria que está um
pouco ruim. Por exemplo, a função
F(x,y)=x^2-y^2
é uma função suave (vc consegue calcular dF/dx e dF/dy, por exemplo).
Mas vc diria que a equação F(x,y)=0 é uma "cônica suave"? Repare que
essa equação descreve duas retas que se cruzam na origem. Outras
funções problemáticas são F(x,y)=x^2+y^2 e F(x,y)=0.
Se F(x,y) é um polinômio de segundo grau em x e y, então F(x,y)=0 é
uma cônica, e eu diria que essa cônica é "suave" se nenhum dos pontos
dela (pontos (x,y) tais que F(x,y)=0) satisfaz ao mesmo tempo dF/dx=0
e dF/dy=0. O fato de pelo menos uma das derivadas parciais de F ser
não-nula garante que não encontraremos problemas como os do parágrafo
acima.
abraços!
Le mer. 4 déc. 2019 à 19:10, Pedro José <petroc...@gmail.com> a écrit :
>
> Boa noite!
> Estou dando uma repassada nas cônicas para auxiliar um filho de um amigo.
> Dúvidas quanto à cônicas.
> Alguns trabalhos até de mestrandos apontam a circunferência como sendo uma
> elipse, um caso particular.
> Aprendera que o limite de uma elipse quando a distância entre os focos
> tendesse para zero era uma circunferência, não obstante a circunferência não
> é uma elipse.
> A elipse tem dois focos. O que não ocorre na circunferência.
> A elipse pode ser definida como o lugar geométrico do plano em que a razão
> entre a distância de um ponto ao foco direito e a distância entre esse ponto
> e uma reta (diretriz direita) é constante e menor que 1 e igual a
> excentricidade da cônica.
> A circunferência não suporta tal definição.
> Vejo muitos autores chamarem cônicas suaves.Significa que se escrevermos uma
> equação quadrática com F(x,y)=0 a função F(x,y) é suave?
>
> Grato!
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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