Pensei mais um pouco sobre o problema e acho que encontrei uma solução: 1. Todo polinômio que satisfaz a equação, exceto P(x)=x, tem apenas termos com expoente par: Se P(x) tem um termo de grau ímpar, digamos ax^n, podemos escrever P(x) = ax^n + Q(x) + c, onde c é uma constante diferente de 0 (já que c=0 implicaria P(x)=x, como mostrei no meu outro e-mail) Escrevemos então P(x^2+1)=(ax^n + Q(x) + c)^2+1 O lado esquerdo tem apenas termos com potências pares. O lado direito pode ser escrito como (a^2)x^(2n) + (Q(x))^2 + c^2 + 2cQ(x) + 2a(x^n)Q(x) + 2acx^n, que tem termo com grau ímpar 2acx^n, contradição.
2. Se P(x) satisfaz a equação, então Q(x)=P(sqrt(x-1)) também satisfaz: Temos P(x^2+1)=(P(x))^2+1. Pondo u=x^2+1, temos P(u)=(P(sqrt(u-1)))^2+1, ou P(u)=(Q(u))^2+1. Mas u=sqrt((u^2+1)-1), então P(u)=Q(u^2+1). Finalmente Q(u^2+1)=(Q(u))^2+1 Note que Q também é um polinômio: Já que P só pode ter termos com expoentes pares, P(sqrt(u-1)) vai cancelar as raízes. 3. O grau de P(x) deve ser uma potência de 2: Suponha que o grau de P(x) seja k2^n, onde k é ímpar. Aplique o lema anterior n vezes para obter um polinômio Q(x) de grau k. Mas soluções da equação funcional não podem ter termos de grau ímpar. Contradição. Finalmente, o meu último e-mail mostra que se f(x)=x^2+1, então x, e f^n(x), onde f^n é a iteração de f n vezes, todos satisfazem a equação, e f^n(x) é um polinômio de grau 2^n. Para concluir a solução, o @Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com> pode compartilhar a demonstração de que existe apenas uma solução por grau. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
