Estas somas trigonométricas (e várias outras) são obtidas sem grandes dificuldades, mas com alguma álgebra, usando números complexos.
O melhor caminho, a meu ver, seria vc conseguir um daqueles livros russos clássicos - Krechmar ou Faddev-Sominski - que contém coletâneas de problemas resolvidos sobre este tema e muitos outros. Agora, me parece que a habilidade de computar estas somas “na mão”, usando complexos e/ou alguns truques algébricos (ou até mesmo integrais) tem se desvalorizado recentemente devido à existência e ampla disponibilidade de softwares gratuitos tais como o Wolfram Alpha, que calculam qualquer soma dessas. Recentemente li um artigo que toca um pouco neste tema, da necessidade de modernização dos cursos de exatas. Vou procurar e postarei aqui. Abs Enviado do meu iPhone > Em 14 de jan de 2020, à(s) 12:07, Luiz Antonio Rodrigues > <rodrigue...@gmail.com> escreveu: > > Olá, Artur! > Tudo bem? > Agradeço sua resposta. > O problema diz: > > É dado o somatório de: > > sen(k*b/n) > > Onde k varia de 1 até n. > > Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a infinito. > > O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. > > Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A. > Depois eu calculei o limite solicitado. > Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta. > Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que > considero bastante interessante. > Muito obrigado! > Luiz > > > Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner > <artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >> Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse >> >> S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). >> >> Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n. >> >> Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à >> expressão correspondente ao caso da soma de Riemann? >> >> Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) > >> sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas >> entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1. >> >> Me corrija se eu tiver cometido algum erro. >> >> Abraços >> >> Artur >> >> Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues >> <rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> Olá, Claudio! >>> Tudo bem? >>> Sim, foi esse resultado que eu achei! >>> Muito obrigado pela ajuda! >>> >>> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara >>> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>>> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura >>>> sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral >>>> definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. >>>> >>>> A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). >>>> >>>> Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. >>>> >>>> Enviado do meu iPhone >>>> >>>>> Em 13 de jan de 2020, à (s) 07:04, Esdras Muniz >>>>> <esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: >>>>>  >>>>> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃÂ, como >>>>> Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b). >>>>> >>>>> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues >>>>> <rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>>>> Olá, pessoal! >>>>>> Tudo bem? >>>>>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo >>>>>> descobrir onde está meu erro. >>>>>> Alguém pode me ajudar? >>>>>> >>>>>> O problema é o seguinte: >>>>>> >>>>>> É dado o somatório de: >>>>>> >>>>>> sen(k*b/n) >>>>>> >>>>>> Onde k varia de 1 até n. >>>>>> >>>>>> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n >>>>>> tende a infinito. >>>>>> >>>>>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >>>>>> >>>>>> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >>>>>> O problema parece simples... >>>>>> Agradeço desde já! >>>>>> Luiz >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
