Olá, Ralph! Tudo bem? Eu achei fantástica esta abordagem! Sim, ficou mais natural assim! E tudo ficou muito claro. Nunca havia pensado desta forma. Muito obrigado! Abraços! Luiz
Em sex, 13 de mar de 2020 5:53 PM, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu: > Sim, determinante eh algo um pouco "estranho" sim inicialmente, nao eh um > conceito tao natural quanto outros que se apresentam no ensino medio. > > Mas dou aqui algumas dicas de como pensar nele inicialmente: > > 1. UMA ABORDAGEM ALGEBRICA > 1a. Caso 2x2. > Ao resolver o sistema linear: > ax+by=A > cx+dy=B > voce obtem **tentativamente** > x=(Ad-Bb)/(ad-bc) > y=(-Ac+Ba)/(ad-bc) > > Digo "tentativamente" pois, se ad-bc=0, o que eu escrevi estah errado. Eu > devia ter dito o seguinte: > > i) Se ad-bc<>0, entao a unica solucao do sistema eh aquele x e y ali em > cima; > ii) Se ad-bc=0... bom, depende dos outros caras, mas em suma o sistema vai > ser IMPOSSIVEL ou INDETERMINADO. > > Em suma, o valor (0 ou nao 0) de ad-bc diz sozinho se o sistema tem uma > unica solucao ou nao. Compare isso com o b^2-4ac da quadratica, que diz > sozinho quantas raizes a quadratica tem! Da mesma forma que chamamos > DELTA=b^2-4ac e analisamos esse cara para entender melhor a quadratica, > vamos chamar det([a,b;c,d])=ad-bc, uma especie de "discriminante" do > sistema linear... Ok, mas o nome oficial eh DETERMINANTE da MATRIZ > [a,b;c,d]. > > 1b. Caso nxn. > Ao resolver o sistema linear > Mx=b > onde M eh uma matriz nxn, x eh um ****vetor**** (incognita) nx1 e b eh um > vetor (dado) nx1, nota-se que este sistema tem raiz unica quando uma certa > quantidade (que depende apenas de M, nao de b -- surpreendente, nao?) NAO > vale 0. Esta quantidade eh o DETERMINANTE da matriz M, e infelizmente tem > uma expressao feiosa quando n eh grande... > > Em suma: ****o determinante de uma matriz M diz se o sistema Mx=b tem > solucao unica ou nao**** > > (Agora eu teria que convencer voce que sistemas lineares sao > relevantes.... Bom, deixa eu dizer que SAO. :D) > > ---///--- > Mas tem gente que acha isso algebrico demais. Vamos tentar algo mais > geometrico! > > 2. UMA ABORDAGEM GEOMETRICA > 2a. Caso 2x2. > Considere um paralelogramos cujos lados sao os vetores v=(a,b) e w=(c,d). > Qual a area deste paralelogramo? > > Se voce fizer a conta, voce descobre que a area eh ad-bc (ou o negativo > disto, depende da ordem dos vetores). Puxa, entao talvez seja legal definir > uma especie de "area com sinal" dada por: > > AREA COM SINAL = [v,w] = ad-bc > > Ou, que tal chamar isto de DETERMINANTE da matriz cujas colunas sao v e w? > Ok, feito! > > (O sinal pode ser explicado com a regra da mao direita.... Mas deixa eu > ficar no basicao, acho que voce soh quer o SIGNIFICADO, nao detalhes.) > > Em suma, o DETERMINANTE de uma matriz 2x2 eh a AREA (com sinal) do > paralelogramo cujos lados sao equivalentes aos vetores colunas da matriz. > > 2b. Caso 3x3. > Considere um paralelepipedo P, 3-dimensional, cujos lados sao os vetores > v1, v2 e v3. Vamos DEFINIR o determinante da matriz cujas colunas sao v1, > v2 e v3 como sendo o VOLUME desse paralelepipedo P (com sinal, que depnde > da orientacao de v1/v2/v3). Tem gente que ateh escreve assim: > > det(v1,v2,v3) = expressao horrorosa envolvendo as coordenadas dos 3 > vetores = volume (P) (com sinal) > > como se o determinante fosse uma funcao de 3 vetores ao inves de ser de > uma matriz... > > 2n. Caso nxn > Sejam v1, v2, ..., vn vetores com n coordenadas cada. O determinante da > matriz cujas colunas sao v1, v2, ..., vn pode ser DEFINIDO como o volume do > paralelepipedo cujas arestas sao v1, v2, ..., vn respectivamente (com sinal > que depende da orientacao, mas a discussao sobre o que significa > "orientacao" deixo para depois; com certeza, o volume eh o MODULO desse > determinante). > > Ficou um pouco mais natural assim? Dah ateh para enxergar algumas das > propriedades basicas pensando assim. Por exemplo, se dois dos vetores forem > paralelos, o seu paralelepipedo fica "achatado" e portanto o volume eh 0 -- > ou seja, se duas das colunas forem multiplas uma da outra, o determinante > eh 0. > > Abraco, Ralph. > > On Fri, Mar 13, 2020 at 11:30 AM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Há bastante tempo eu venho fazendo pesquisas sobre o significado do >> determinante de uma matriz. >> Livros, professores, internet... >> Não adianta... >> Parece que o determinante de uma matriz é algo nebuloso... >> E o cálculo de um determinante é mais misterioso ainda... >> Parece maluquice. >> Alguém já leu ou ouviu algo interessante sobre isso? >> Muito obrigado! >> Abraços! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
