Realmente, não era isso que eu estava procurando... mas valeu! É outra solução.
On Tue, Aug 18, 2020 at 7:51 PM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: > Boa noite! > Cláudio, > não consegui nada geométrico. > O máximo que atingi foi: > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes > e logo I. > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > Saudações, > PJMS > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E >> que torne o resultado mais intuitivo? >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, >> que P deva ser equidistante dos três. >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que >> a/h_a = b/h_b = c/h_c. >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste >> caso. >> >> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco <matheusse...@gmail.com> >> wrote: >> >>> Olá, Vanderlei. >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >>> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >>> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >>> semi-perimetro. >>> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = >>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo >>> >>> Abraços, >>> Matheus >>> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < >>> vanderma...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Bom dia! >>>> >>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >>>> Alguém ajuda? >>>> Muito agradecido! >>>> >>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >>>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >>>> triângulo ABC. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
