Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > > Boa noite! > Cláudio, > não consegui nada geométrico. > O máximo que atingi foi: > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e > logo I. > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de números. Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um quadrilátero cíclico. Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense VS geometria paulista: https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > Saudações, > PJMS > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E que >> torne o resultado mais intuitivo? >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a cresceria >> e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que P >> deva ser equidistante dos três. >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado e >> conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que a/h_a = >> b/h_b = c/h_c. >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste >> caso. >> >> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco <matheusse...@gmail.com> >> wrote: >>> >>> Olá, Vanderlei. >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >>> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >>> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. >>> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo >>> >>> Abraços, >>> Matheus >>> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz >>> <vanderma...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>> Bom dia! >>>> >>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >>>> Alguém ajuda? >>>> Muito agradecido! >>>> >>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >>>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >>>> triângulo ABC. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
