Boa noite! Anderson, achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada. Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos a restrição 0<x+y<pi E entendo que tanto para cotg(x) + cot(y) , como para tg(x) + tg(y) ocorrerá um mínimo em x=y=K/2, onde x+y=k,k sendo um constante. Não acompanhei a sua dedução d quando um é mínimo o outro é máximo.
Saudações, PJMS Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:40, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres > <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José <petroc...@gmail.com> > escreveu: > > > > > > Boa noite! > > > Cláudio, > > > não consegui nada geométrico. > > > O máximo que atingi foi: > > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que > ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das > bissetrizes e logo I. > > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > > > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. > > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a > > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de > > números. > > > > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação > > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos > > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de > > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um > > quadrilátero cíclico. > > Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com > x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com > 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. > > Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto > adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais > equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema > pode ser pensado da seguinte forma: > > Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x > e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a > distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja > mínima. > > Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a > bissetriz por A. > > No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. > A trigonometria se torna apenas um atalho. > > Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. > > > > > > > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense > > VS geometria paulista: > > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > > > > > > > > > Saudações, > > > PJMS > > > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > >> > > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica > disso? E que torne o resultado mais intuitivo? > > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos > lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a > cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a > priori, que P deva ser equidistante dos três. > > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior > lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > a/h_a = b/h_b = c/h_c. > > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente > neste caso. > > >> > > >> > > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco < > matheusse...@gmail.com> wrote: > > >>> > > >>> Olá, Vanderlei. > > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos > > >>> > > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > >>> > > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. > > >>> > > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb > = hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > >>> > > >>> Abraços, > > >>> Matheus > > >>> > > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > > >>>> > > >>>> Bom dia! > > >>>> > > >>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive > êxito. Alguém ajuda? > > >>>> Muito agradecido! > > >>>> > > >>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > triângulo ABC. > > >>>> > > >>>> -- > > >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > >>>> acredita-se estar livre de perigo. > > >>> > > >>> > > >>> -- > > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > >>> acredita-se estar livre de perigo. > > >> > > >> > > >> -- > > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > > -- > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
