A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que x,
10x, 100x, .... deixam na divisão por n.*
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MAIS SPOILERS ABAIXO
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Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
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LEMA:
(i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma 111...111
que é múltiplo de n.
(ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
do período (fundamental) da dízima em 1/n.
PROVA:
(i) Olhe os restos de 1, 11, 111, 1111, ... na divisão por n. São n
possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
Isto significa que 1111..1111 (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
B<A), deixam o mesmo resto na divisão por n; subtraindo, temos que
1111...11100000 (A 1's e B 0's) = 1111....111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
5), portanto 1111...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.
(ii) Denote por P=111....111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
dízima de 1/n.
Por um lado, como 9P=999....9999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p * (1/n)
- 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se repete" de
p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em particular,
p>=k.
Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
conclui-se que 111...1111 (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
k>=p.
Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
primeiro dígito!
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Agora fica tudo bem simples:
a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111....1111 com p dígitos.
b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos no
lema:
-- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...1111)*10^w = r*n.
Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111....1111
(com q 1's), e portanto q>=p=k.
-- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também
é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro
dígito!). Portanto k>=q.
*Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
restos que x, 10x, 100x, ...., 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
desses caras vale (1111...1111)*x, que é divisível por n pois temos ali
q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
Foi?
On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
> Comentário:
> Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 111111 ( k=6
> 1's).
> Essa parte consegui provar.
> Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
> Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração
> dos dois fatos.
> Agradeço qualquer ajuda.
> [[ ]]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
