Se quiser se divertir mais com isso, veja o seguinte:
1/7 = 0,142857142857142...
O período é 142 857 e 1+8 = 4+5 = 2+7 = 9.
1/11: o período é 09 e 0+9 = 9.
1/13: o período é 076 923 e 0+9 = 7+2 = 6+3 = 9.
Determine, com demonstração, para quais números N, o período de 1/N tem
esta propriedade.
On Sun, Jul 10, 2022 at 8:41 AM Rubens Vilhena Fonseca <
rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
> Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os
> ótimos esclarecimentos.
> [[ ]]'s
>
> Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira <
> ralp...@gmail.com> escreveu:
>
>> Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim:
>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...1111)**x**10^w = r*n.
>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide
>> 111....1111 (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>>
>> On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira <ralp...@gmail.com>
>> wrote:
>>
>>> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos
>>> que x, 10x, 100x, .... deixam na divisão por n.*
>>> ---///---
>>>
>>> MAIS SPOILERS ABAIXO
>>>
>>>
>>> ...
>>>
>>>
>>> ....
>>>
>>>
>>> ...
>>>
>>>
>>> ....
>>>
>>> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
>>> ---///---
>>> LEMA:
>>> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma
>>> 111...111 que é múltiplo de n.
>>> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
>>> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
>>> do período (fundamental) da dízima em 1/n.
>>> PROVA:
>>>
>>> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, 1111, ... na divisão por n. São n
>>> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
>>> Isto significa que 1111..1111 (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
>>> B<A), deixam o mesmo resto na divisão por n; subtraindo, temos que
>>> 1111...11100000 (A 1's e B 0's) = 1111....111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
>>> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
>>> 5), portanto 1111...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.
>>>
>>> (ii) Denote por P=111....111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
>>> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
>>> dízima de 1/n.
>>> Por um lado, como 9P=999....9999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p *
>>> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se
>>> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em
>>> particular, p>=k.
>>> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) -
>>> (1/n) com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com
>>> m inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
>>> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
>>> conclui-se que 111...1111 (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
>>> k>=p.
>>>
>>> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
>>> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
>>> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
>>> primeiro dígito!
>>>
>>> ---///---
>>> Agora fica tudo bem simples:
>>> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111....1111 com p
>>> dígitos.
>>> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
>>>
>>> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos
>>> no lema:
>>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...1111)*10^w = r*n.
>>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111....1111
>>> (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>>> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B
>>> também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no
>>> primeiro dígito!). Portanto k>=q.
>>>
>>> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente
>>> os restos que x, 10x, 100x, ...., 10^q.x deixam na divisão por n. *A
>>> soma desses caras vale (1111...1111)*x, que é divisível por n pois temos
>>> ali q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a
>>> soma dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
>>>
>>> Foi?
>>>
>>>
>>> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
>>> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>>>
>>>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
>>>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
>>>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
>>>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
>>>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
>>>> Comentário:
>>>> Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 111111 (
>>>> k=6 1's).
>>>> Essa parte consegui provar.
>>>> Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
>>>> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
>>>> Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração
>>>> dos dois fatos.
>>>> Agradeço qualquer ajuda.
>>>> [[ ]]'s
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
