(Ciesze sie, Aniu R., ze sie cieszysz. Pozdrawiam).
-------------------------------------------
Sztuka Myslenia.
Hipoteza Erdosa-Straussa i egipskie ulamki.
-------------------------------------------
Nie wiem dlaczego Egipcjanie w starozytmnosci
przywiazywali szczegolna wage do ulamkow
prostych 1/n (gdzie n = 1 2 ... jest liczba
naturalna) -- czesto nazywamy je
egipskimi. Egipcjanie reprezentowali dowolne
ulamki w postaci sumy *roznych* ulamkow
prostych (dopuszczali jeden wyjatek, ale
mniejsza o to). Na przyklad:
3/5 = 1/2 + 1/10
Matematycy w nowych czasach zajmuja
sie wieloma latwymi do sformulowania, a trudnymi
do rozwiazania problemami, zwiazanymi z ulamkami
prostymi, przy czym sformulowania sa tak rekreacyjnie
atrakcyjne, ze az trudno mi sie powstrzymac przed
zacytowaniem kilku. Chce jednak, byscie sie skupili
teraz tylko na jednym z nich. Chodzi o sumy trzech
tylko ulamkow prostych (powtorzenia sa dopuszczone).
Wedlug Erdosa i Straussa, takie sumy trzech
ulamków prostych przedstawiaja wszystkie
ulamki postaci 4/N (N>1, liczba baturalna).
Oto pierwsze przyklady:
N=2: 4/2 = 1/1 + 1/2 + 1/2
N=3: 4/3 = 1/1 + 1/6 + 1/6 = 1/2 + 1/2 + 1/3
(dla N=3 mamy dwie reprezentacje). Wiadomo, dzieki
ostrym pomyslom i komputerom, ze hipoteza Erdosa-Straussa
jest prawdziwa dla N od N=2 az po N = jakis tam zilion,
po wielka/ liczbe/. Jednak nie wiadomo, czy nie istnieje
wciaz wieksza liczba N dla ktorej 4/N nie byloby
suma trzech prostych ulamkow.
Gdy mamy rozwiazanie dla danego N:
4/N = 1/a + 1/b + 1/c
to istnieje tez rozwiazanie dla kazdeju wielokrotnosci
k*N liczby N:
4/(N*k) = 1/(a*k) + 1/(b*k) + 1/(c*k)
dla k = 1 2 ... Poniewaz mamy rozwiazanie dla N=2 i N=3,
to mamy juz rozwiazania dla wszystkich parzystych N = 2*k
i dla wszystkich podzielnych przez 3, N = 3*k. Wszystkie
pozostale liczby naturalne N > 1, dla ktorych wciaz chcemy
znac odpowiedz, sa postaci:
6*n - 1 oraz 6*n + 1
(kazda liczba naturalna N > 1 jest jednej z szesciu postaci:
6*n - 4 6*n - 3 6*n - 2 6*n - 1 6*n 6*n + 1.
Poniewaz liczby 6*n - 4 6*n - 2 6*n sa parzyste,
a liczby 6*n - 3 sa podzielne przez 3, to pozostaly do
rozwazenie tylko liczby 6*n - 1 oraz 6*n + 1).
Liczby 6*n - 1 sa wszystkie wsrod liczb 3*n - 1.
Mamy dla nich tozsamosc:
4/(3*n-1) = 1/n + 1/(3*n-1) + 1/[n*(3*n-1)]
A wiec hipoteza Erdosa-Straussa zachodzi dla
wszystkich N = 6*n - 1. Odtad mozemy zajmowac sie wylacznie
liczbami N = 6*n + 1. Nawet wystarczy zajmowac sie
liczbami tylko pierwszymi N postaci N = 6*n + 1.
Ledwie kilka uwag i juz problem ze wszystkich liczb
zredukowalismy do jednej szóstej wszystkich liczb,
a przy tym nawet do jednej szóstej wszystkich liczb
pierwszych (Dirichlet pozwala nam powiedziec, ze
w jego sensie scisle do jednej szostej).
Wkrotce podam tozsamosc znacznie ogolniejsza niz
powyzsza. Teraz zauwazmy, ze pierwszy nierozwiazany
dotad przez nas przypadek, to N = 7. Wystepuje on
jako drugi w nastepujacej, juz drugiej, nieskonczonej
serii rozwiazan:
4/(4*n - 1) = 1/n + 1/[n*(4*n-1)]
= 1/(2*n) + 1/(2*n) + 1/[n*(4*n-1)]
W szczególnosci, dla N=7 mamy:
4/7 = 1/4 + 1/4 + 1/14
Oprócz powyzszych dwoch tozsamosci dla
N = 3*n - 1 i N = 4*n - 1
mozna sformulowac tez tozsamosci dla wielu innych
postepow arytmetycznych. Zamiast tego przedstawie
tylko jedna wiecej, ale za to ogolniejsza, dla ktorej
przypadek postepu arytmetycznego N = 3*n - 1 jest
jednym z wielu szczegolnych przypadkow:
Niech (dla skrótu) N = 4*n*b*c - b - c. Wtedy
4/N = 1/(n*b*c) + 1/(n*b*N) + 1/(n*c*N)
dla dowolnych naturalnych n b c = 1 2 ...
Uwaga. Zeby miec szanse na nowe, ciekawe przypadki,
to za b c naley podstawiac liczby o roznej
parzystosci (by uniknac parzystego, cyli
"nieciekawego" N).
Podam teraz liste parametrow n lub n b c, ktore
godnie z ostatnimi dwoma tozsamosciami indukuja
rozwiazania rownania Erdosa-Straussa dla kolejnych
liczb pierwszych
N = 4*n - 1 lub N = 4*n*b*c - b - c
(ponizsza tabele nalezy ogladac,
zakladajac czcionke o stalej szerokosci):
n| 1 1 1 2 3 2 1 5 6 4 8 5
b| 1 - 1 - - 1 1 - - 1 - 1
c| 1 - 2 - - 2 6 - - 2 - 2
---------------------------------------------
N| 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
n| 2 11 12 7 15 8 17 18 2 20 21
b| 1 - - 1 - 1 - - 5 - -
c| 6 - - 2 - 2 - - 2 - -
---------------------------------------------
N| 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83
n| 2 xx 13 26 27 14 3 32 xx 33 17
b| 3 xx 1 - - 1 5 - xx - 1
c| 4 xx 2 - - 2 2 - xx - 2
---------------------------------------------
N| 89 97 101 103 107 109 113 127 129 131 133
Na tym poprzestane. Nie udalo sie uzyskac
rozkladu ulamków 4/97 i 4/129. Niewatpliwie
dla dalszych N takich "wyjatków" byloby wiecej
(nieskonczenie wiecej). Potrzebne sa mocniejsze
metody. Sposród poczatkowych 34 liczb pierwsych
uzyskalismy rozwiazania dla wszystkich poza dwoma,
co mozemy uwazac za pewien sukces :-)
-- Wlodek
PS. Hm, co tez to wszystko ma wspólnego
z polska/ kultura/? (W kazdym razie
nie ma nic wspolnego z brakiem kultury :-)
