[obm-l] Dilatação - Física
Gostaria de saber se a questão abaixo tem solução ou esta errada. Por favor me ajude com a seguinte questão: Foi colocado um pino de aço com pequena folga, em um orifício existente numa chapa de cobre. Tendo em vista os conceitos de dilatação qual alternativa esta errada? a)Aquecendo-se somente o pino a folga diminuirá. b)Aquecendo-se somente a chapa, a folga aumnetará. c)Ambos sendo igualmente aquecidos a folga aumentará. d)Ambos sendo igualmente aquecidos a folga não diminuirá. e)Ambos sendo igualmente resfriados a folga irá diminuir. Obrigado! André = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Cadeias de Markov
Alguém pode me ajudar? Como encontrar E(T|Xo=1) em uma cadeia de Markov? T é o primeiro tempo de visita ao estado estacionário. Expectativas iteradas...é isso? Mas o que são expectativas iteradas?? Abraços = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
Caro David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]>: Use simetria central. Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Funcao de Lipschitz
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 4 Oct 2005 12:16:28 -0300
Assunto:
[obm-l] Funcao de Lipschitz
> Eu acho esses problemas sobre funcoes de Lipschitz bonitinhos:
>
> (1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D => R^m Lipschitz em D. Mostre que
> (a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada a f em D.
Seja A = {K em R | |f(x) - f(y)| <= K*|x - y| para todos x e y em D}.
É claro que A é limitado inferiormente (por 0, por exemplo) de modo que existe L = inf(A).
Se f for constante, então L = 0. Assim, suponhamos que f não é constante e, em particular, que D tem mais do que um elemento. Isso quer dizer que L > 0.
Suponhamos que L não pertence a A, ou seja, que A = (L,+infinito).
Então existem a e b em D tais que, para todo eps > 0:
0 < L*|b - a| < |f(b) - f(a)| <= (L + eps)*|b - a|
Como eps é arbitrário, isso quer dizer que:
0 < L*|b - a| < |f(b) - f(a)| <= L*|b - a| ==>
contradição ==>
L pertence a A.
> (b) Se K eh esta menor constante, entao, para todo eps >0, existem x1 e > x2<>x1 em D tais
> que ||f(x2) - f(x1)|/|x2 - x1| - K| < eps
Dado eps > 0, existem x e y em D tais que x <> y e:
(K - eps)*|x - y| < |f(x) - f(y)| < (K + eps)*|x - y| ==>
K - eps < |f(x) - f(y)|/|x - y| < K + eps ==>
||f(x) - f(y)|/|x - y| - K| < eps
(c) Se K eh constante de Lipschitz
> de f em D e existirem x1<>x2 em D tais que:
> |f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| ,
> entao K eh a menor constante de Lipschitz de f em D. A reciproca eh
> verdadeira?
>
K é constante de Lipschitz mas, para todo eps > 0, teremos:
|f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| > (K - eps)*|x2 - x1| ==>
K - eps não é constante de Lipschitz ==>
K é a menor constante de Lipschitz de f em D.
A recíproca não vale.
Seja f:(1,+infinito) -> R dada por f(x) = raiz(x).
Então, dados x < y em (1,+infinito), teremos:
raiz(y) - raiz(x) = (y - x)/(raiz(y) + raiz(x)) < (y - x)/2,
de modo que f é Lipschitz com constante 1/2.
No entanto, não existem x e y distintos em (1,+infinito) tais que:
|raiz(y) - raiz(x)| = (1/2)*|y - x|,
pois dividindo ambos os membros por |raiz(y) - raiz(x)|, obteremos:
raiz(y) + raiz(x) = 2, o que é impossível com x e y em (1,+infinito).
> (2) Sejam I um intervalo de R e f:I => R derivavel em I. Entao, f eh
> Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que K
> =supremo {|f'(x)| | x estah em I} eh a menor constante de Lipschitz de f em
> I.
>
Se |f'(x)| <= M para todo x em I, então, dados x < y em I, pelo TVM existirá z tal que x < z < y e |f(y) - f(x)| = |f'(z)|*|y - x| <= M*|y - x| ==> f é Lipschitz em I com constante M
Reciprocamente, se f é Lipschitz em I com constante K, então, dado a em I, para todo x em I - {a} teremos - K <= (f(x) - f(a))/(x - a) <= K ==>
-K <= lim(x -> a) (f(x) - f(a))/(x - a) <= K (limites laterais se a for um dos extremos de I) ==> -K <= f'(a) <= K ==> |f'(a)| <= K. Como a é qualquer, o resultado segue.
Seja K = supremo {|f'(x)| | x estah em I}.
Então, pelo TVM, é claro que f é Lipschitz com constante K.
Dado L com 0 < L < K, existe a em I tal que |f'(a)| > L.
Isso quer dizer que existe delta > 0 tal que:
x pertence a I e 0 < |x - a| < delta ==> |(f(x) - f(a))/(x - a)| > L
Ou seja, |f(x) - f(a)| > L*|x - a| ==> L não é constante de Lipschitz para f.
Acho que o mais interessante desse problema é que ele ilustra uma das propriedades mais importantes e úteis dos limites: a permanência das desigualdades.
[]s,
Claudio.
>
> Lembrando, f eh Lipschitz em D se existir uma constante K>0 tal que |f(x2)
> - f(x1)| <= K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. Eh imediatpo que se K for
> constante de Lipschitz, entao todo K' > K tambem eh.
>
> Artur
>
Re: [obm-l] RES: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
Esta estratégia parece mais complicada do que deveria ser... Me parece que so a simetria central e util, ou seja: 1- Colocar a primeira moeda no centro; 2- Colocar a moeda simetrica a ultima moeda do adversario, em relacao ao centro da mesa. Mas a sua estrategia parece correta. --- David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Dois jogadores colocam alternadamente moedas sobre > uma mesa redonda, sem > > sobrepor as moedas. O jogador que não puder > colocar uma moeda perde. Quem > > tem a estratégia vencedora? > > > > Se você for o primeiro jogador, acho que existe uma > estratégia: > > Comece colocando a primeira moeda no centro da mesa. > Agora fixe uma linha imaginária que divida a mesa em > dois pedaços iguais > (uma linha passando pelo centro da mesa redonda). > > A partir daí, para cada jogada que o adversário > fizer, jogue na posição > simétrica àquela que o adversário jogou (em relação > a sua linha imaginária). > Acho que se o adversário encontrou algum espaço para > colocar uma moeda numa > das metades, então vc também encontrará na outra. > > Caso ele coloque a moeda por cima da linha > imaginária, acho que vc precisa > traçar uma segunda linha, perpendicular à linha > original e também passando > pelo centro da mesa, e usar essa segunda para fazer > a simetria desse caso. > > []'s > David > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: RES: [obm-l]
Não dá para usar homogeneidade neste caso? Basta fazer a_1 =k*A_1 e podemos farorar o K. O jeitão do produto muda mas parece que da para adaptar... --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante > que usando calculo. > > Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, > > minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k>0 > > dado que a_1 * a_2 *.a_n = p > > a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia > complicar, embora > talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e > desigualdade MA >= MG. A > solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n = > p^(1/n). > > Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh > hah um ponto extremo, a > funcao eh limitada inferiormente, ela e a as > restricoes sao classe C^2 > > Artur > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de > claudio.buffara > Enviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 > 20:03 > Para: obm-l > Assunto: RE: RES: [obm-l] > > > > Talvez um enunciado mais claro pro problema original > seja o seguinte: > > Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer > cujo produto é 1, então: > (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n > e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= > i <= n. > > Agora, sabemos que se o produto de m números > positivos for 1, então a soma > desses números é >= m com igualdade se e somente se > todos os números são > iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= > MG). > > Expandindo o lado esquerdo, teremos: > 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: > S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. > Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, > S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n > ... > S_n = a_1*a_2*...*a_n. > > É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo > produto é 1, de modo > que S_k >= Binom(n,k). > > Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: > 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = > 2^n. > > Finalmente, vale a igualdade <==> > S_1 = Binom(n,1) = n <==> > a_1 = ... = a_n. > > []s, > Claudio. > > > > De:[EMAIL PROTECTED] > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Cópia: > Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 > Assunto: RE: RES: [obm-l] > > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com > essa "solução" que nem > exigi > > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste > assunto. > > > > []s, > > Daniel > > > > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. > Soh que, na realidade, > > o > > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc > parou. Os multiplicadores > > de > > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = > 1 PODE, mas nao > > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. > De modo geral, para se > > decidir > > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de > fato ponto extremo, eh > > maximo > > '>'ou minimo relativo, temos que analisar > condicoes de segunda ordem, no > > caso > > '>'em que o problema, como este, tem funcao > objetivo e restricoes com > derivadas > > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe > C^2). Além disto, > precisamos > > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas > local. Isto, de modo geral, > > exige > > '>'condicoes de convexidade ou concavidade. > > '>'Na programacao matematica hah um terorema que > se aplica a casos como > > este, > > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes > apresentam simetria. Nao me > > lembro > > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra > garantir que o ponto > > eh > > '>'maximo ou minimo global. > > '>' > > '>'Artur > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > > ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:RES: RES: [obm-l]
Pois é. É só normalizar, pondo b_i = a_i/(k*p^(1/n)), que caímos no problema original. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 4 Oct 2005 11:49:38 -0300 Assunto: RES: RES: [obm-l] > Na realidade, complica muito pouco. Pelo produto de Stevin e MA >=MG dah facilmente pra ver que, tambem neste caso mais geral, o minimo ocorre quando os a_i sao iguias. > > Artur > -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Artur Costa SteinerEnviada em: terça-feira, 4 de outubro de 2005 11:18Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: RES: [obm-l] > Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando calculo. > > Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, > > minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k>0 > > dado que a_1 * a_2 *.a_n = p > > a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade MA >= MG. A solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n = p^(1/n). > > Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes sao classe C^2 > > Artur > > -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03Para: obm-lAssunto: RE: RES: [obm-l] > Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte: > > Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então: > (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n > e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <= n. > > Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, então a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= MG). > > Expandindo o lado esquerdo, teremos: > 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: > S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. > Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, > S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n > ... > S_n = a_1*a_2*...*a_n. > > É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k >= Binom(n,k). > > Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: > 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n. > > Finalmente, vale a igualdade <==> > S_1 = Binom(n,1) = n <==> > a_1 = ... = a_n. > > []s, > Claudio. > > > > De: [EMAIL PROTECTED] > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Cópia: > Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 > Assunto: RE: RES: [obm-l] > > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi > > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. > > > > []s, > > Daniel > > > > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, > > o > > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores > > de > > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao > > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se > > decidir > > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh > > maximo > > '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no > > caso > > '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas > > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos > > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, > > exige > > '>'condicoes de convexidade ou concavidade. > > '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como > > este, > > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me > > lembro > > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto > > eh > > '>'maximo ou minimo global. > > '>' > > '>'Artur > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > >
[obm-l] Eureka No. 22
Prezados(as) amigos(as), A Eureka! No. 22 já está no site da OBM contendo as melhores soluções da Terceira Fase da OBM-2004. Confiram! www.obm.org.br/eureka.htm Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto dos pontos de continuidae de derivdas
Este eh um fato interessante e pouco difundido. Mostre que, se f:I => R eh derivavel no intervalo I, entao o conjunto dos pontos de continuidade de f' eh denso em I. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Funcao de Lipschitz
Eu acho esses problemas sobre funcoes de Lipschitz bonitinhos:
(1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D => R^m Lipschitz em D. Mostre que
(a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada a f em D. (b) Se K eh
esta menor constante, entao, para todo eps >0, existem x1 e x2<>x1 em D tais
que ||f(x2) - f(x1|/|x2 - x1| - K| < eps (c) Se K eh constante de Lipschitz
de f em D e existirem x1<>x2 em D tais que |f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| ,
entao K eh a menor constante de Lipschitz de f em D. A reciproca eh
verdadeira?
(2) Sejam I um intervalo de R e f:I => R derivavel em I. Entao, f eh
Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que K
=supremo {|f'(x)| | x estah em I} eh a menor constante de Lipschitz de f em
I.
Lembrando, f eh Lipschitz em D se existir uma constante K>0 tal que |f(x2)
- f(x1)| <= K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. Eh imediatpo que se K for
constante de Lipschitz, entao todo K' > K tambem eh.
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: RES: [obm-l]
Na realidade, complica muito pouco. Pelo produto de Stevin e MA >=MG dah facilmente pra ver que, tambem neste caso mais geral, o minimo ocorre quando os a_i sao iguias. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Artur Costa SteinerEnviada em: terça-feira, 4 de outubro de 2005 11:18Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: RES: [obm-l] Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando calculo. Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k>0 dado que a_1 * a_2 *.a_n = p a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade MA >= MG. A solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n = p^(1/n). Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes sao classe C^2 Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03Para: obm-lAssunto: RE: RES: [obm-l] Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte: Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então: (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <= n. Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, então a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= MG). Expandindo o lado esquerdo, teremos: 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n ... S_n = a_1*a_2*...*a_n. É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k >= Binom(n,k). Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n. Finalmente, vale a igualdade <==> S_1 = Binom(n,1) = n <==> a_1 = ... = a_n. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 Assunto: RE: RES: [obm-l] > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. > > []s, > Daniel > > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, > o > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores > de > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se > decidir > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh > maximo > '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no > caso > '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, > exige > '>'condicoes de convexidade ou concavidade. > '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como > este, > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me > lembro > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto > eh > '>'maximo ou minimo global. > '>' > '>'Artur > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
RES: RES: [obm-l]
Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando calculo. Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k>0 dado que a_1 * a_2 *.a_n = p a_1,...a_n >0, entao acho que a solucao algebrica ia complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade MA >= MG. A solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n = p^(1/n). Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes sao classe C^2 Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03Para: obm-lAssunto: RE: RES: [obm-l] Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte: Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então: (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) >= 2^n e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 <= i <= n. Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, então a soma desses números é >= m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA >= MG). Expandindo o lado esquerdo, teremos: 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n ... S_n = a_1*a_2*...*a_n. É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k >= Binom(n,k). Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n. Finalmente, vale a igualdade <==> S_1 = Binom(n,1) = n <==> a_1 = ... = a_n. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 Assunto: RE: RES: [obm-l] > Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi > muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. > > []s, > Daniel > > '>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, > o > '>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores > de > '>'Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao > '>'necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se > decidir > '>'se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh > maximo > '>'ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no > caso > '>'em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas > '>'parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos > '>'garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, > exige > '>'condicoes de convexidade ou concavidade. > '>'Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como > este, > '>'em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me > lembro > '>'dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto > eh > '>'maximo ou minimo global. > '>' > '>'Artur > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
