Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
Isto segue diretamente da desigualdade das medias.Basta substituir cada termo pelo seu inverso, e simplificarArtur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aamedia geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, osnumeros forem todos iguais. Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao haviame dado conta disto.Abracos.Artur =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
RE: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
Exatamente! Artur > -Original Message- > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- > [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara > Sent: Thursday, September 18, 2003 12:02 AM > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica > > on 17.09.03 23:05, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aa > > media geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, os > > numeros forem todos iguais. > > Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao havia > > me dado conta disto. > > Abracos. > > Artur > > > Isso eh consequencia de MG <= MA. > > Considere os numeros positivos a1, a2, ..., an. > > A sua media harmonica eh igual a n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) > > Entao: > ((1/a1)*(1/a2)*...*(1/an))^(1/n) <= (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ==> > > 1/(a1*a2*...*an)^(1/n) <= (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ==> > > (a1*a2*...*an)^(1/n) >= n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ==> > > MG >= MH e igualdade sss 1/a1 = 1/a2 = ... = 1/an sss a1 = a2 = ... = an. > > > Um abraco, > Claudio. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
on 17.09.03 23:05, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aa > media geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, os > numeros forem todos iguais. > Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao havia > me dado conta disto. > Abracos. > Artur > Isso eh consequencia de MG <= MA. Considere os numeros positivos a1, a2, ..., an. A sua media harmonica eh igual a n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) Entao: ((1/a1)*(1/a2)*...*(1/an))^(1/n) <= (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ==> 1/(a1*a2*...*an)^(1/n) <= (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ==> (a1*a2*...*an)^(1/n) >= n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ==> MG >= MH e igualdade sss 1/a1 = 1/a2 = ... = 1/an sss a1 = a2 = ... = an. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aa media geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, os numeros forem todos iguais. Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao havia me dado conta disto. Abracos. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
