on 17.09.03 23:05, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aa > media geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, os > numeros forem todos iguais. > Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao havia > me dado conta disto. > Abracos. > Artur > Isso eh consequencia de MG <= MA.
Considere os numeros positivos a1, a2, ..., an. A sua media harmonica eh igual a n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) Entao: ((1/a1)*(1/a2)*...*(1/an))^(1/n) <= (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ==> 1/(a1*a2*...*an)^(1/n) <= (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ==> (a1*a2*...*an)^(1/n) >= n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ==> MG >= MH e igualdade sss 1/a1 = 1/a2 = ... = 1/an sss a1 = a2 = ... = an. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================