Re: [obm-l] Muito interressante
Tenho quase certeza de que o referido problema está no livro "O último teorema de Fermat", do Singh. []s, Josimar - Original Message - From: Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, February 25, 2002 10:46 PM Subject: Re: [obm-l] Muito interressante >Amigos, > >sou meio atrasado na lista, tenho umas aulinhas pra dar, e jah estah > quase tudo dito a respeito do problema do Raul. Acrescentaria apenas a > observacao de que o problema foi criado por ela, de onde deduzimos ser tal > extraordinaria professora uma muito longeva macrobia. Do alto das minhas > brancas e venerandas barbas, lembro do problema desde meus verdes anos, que > jah se esvaem na nevoa do tempo. Fui procurar nos incunabulos, mas o meu > exemplar de "O homem que Calculava" estah perdido nas mudancas da minha > quase tao macrobia vida, mas acho que o nosso Julio Cesar jah o mencionava, > quando eu ainda tinha a ilusao de aprender Matematica. > >Abracos, olavo. > > > >From: [EMAIL PROTECTED] > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: [EMAIL PROTECTED] > >Subject: [obm-l] Muito interressante > >Date: Fri, 22 Feb 2002 14:29:11 EST > > > >Oi pessoal, > >uma professora me apresentou um problema interessante criado por > >ela e > >cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que > >explica essa solução tão curiosa. > >Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta > >pesos > >numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a > >quarenta > >quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que > >queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as > >partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a > >mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? > >Solução : 1, 3, 9 e 27. > >Obrigado pela atenção, > > Raul > > > > > _ > Join the world's largest e-mail service with MSN Hotmail. > http://www.hotmail.com > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
RE: [obm-l] Muito interressante
Este problema foi citado no livro "O último teorema de Fermat" como o problema dos pesos de Bachet (pag. 297). -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Antonio Neto Sent: segunda-feira, 25 de fevereiro de 2002 22:47 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Muito interressante Amigos, sou meio atrasado na lista, tenho umas aulinhas pra dar, e jah estah quase tudo dito a respeito do problema do Raul. Acrescentaria apenas a observacao de que o problema foi criado por ela, de onde deduzimos ser tal extraordinaria professora uma muito longeva macrobia. Do alto das minhas brancas e venerandas barbas, lembro do problema desde meus verdes anos, que jah se esvaem na nevoa do tempo. Fui procurar nos incunabulos, mas o meu exemplar de "O homem que Calculava" estah perdido nas mudancas da minha quase tao macrobia vida, mas acho que o nosso Julio Cesar jah o mencionava, quando eu ainda tinha a ilusao de aprender Matematica. Abracos, olavo. >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Muito interressante >Date: Fri, 22 Feb 2002 14:29:11 EST > >Oi pessoal, >uma professora me apresentou um problema interessante criado >por >ela e >cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que >explica essa solução tão curiosa. >Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta >pesos >numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a >quarenta >quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que >queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as >partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a >mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? >Solução : 1, 3, 9 e 27. >Obrigado pela atenção, > Raul _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Muito interressante
Amigos, sou meio atrasado na lista, tenho umas aulinhas pra dar, e jah estah quase tudo dito a respeito do problema do Raul. Acrescentaria apenas a observacao de que o problema foi criado por ela, de onde deduzimos ser tal extraordinaria professora uma muito longeva macrobia. Do alto das minhas brancas e venerandas barbas, lembro do problema desde meus verdes anos, que jah se esvaem na nevoa do tempo. Fui procurar nos incunabulos, mas o meu exemplar de "O homem que Calculava" estah perdido nas mudancas da minha quase tao macrobia vida, mas acho que o nosso Julio Cesar jah o mencionava, quando eu ainda tinha a ilusao de aprender Matematica. Abracos, olavo. >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Muito interressante >Date: Fri, 22 Feb 2002 14:29:11 EST > >Oi pessoal, >uma professora me apresentou um problema interessante criado por >ela e >cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que >explica essa solução tão curiosa. >Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta >pesos >numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a >quarenta >quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que >queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as >partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a >mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? >Solução : 1, 3, 9 e 27. >Obrigado pela atenção, > Raul _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Muito interressante
SIM, É POSSÍVEL...
Ou seja, podemos escrever qualquer número de (1 - 3^n)/2 a (3^n - 1)/2
com no máximo n "algarismos" (-1, 0 ou 1) na base 3.
Demonstracao:
1) Se vale de 0 a (3^n - 1)/2, vale de (1 - 3^n)/2 a 0: (conclusao I)
Para verificar isto, basta trocarmos (-1) por (1) e (1) por (-1), mantendo o
(0).
2) Vale para 0 a (3^n - 1)/2? --> Princípio da Inducao
2.1) Vale para n = 1 --> podemos escrever 0 como 0 ("base" 3) e 1 como
1 ("base" 3)
2.2) Se vale para n, vale para n+1:
Ora, com n algarismos podemos escrever todos os números entre 0 e (3^n -
1)/2.
Assim, adicionando um algarismo 1 na posicao "n+1" (o que nos dá 3^n na base
10), e sabendo que podemos formar qualquer número de (1 - 3^n)/2 a 0
(vide conclusao I), fica claro que formamos assim qualquer número de:
3^n + (1-3^n)/2 a 3^n, ou seja, de (3^n + 1)/2 a 3^n.
Da mesma maneira, podemos adicionar a 3^n os números formados de 0 a
(3^n -1)/2, obtendo todos os números de:
3^n a 3^n + (3^n - 1)/2, ou seja, de 3^n a (3^(n+1) - 1)/2
Entao, podemos formar todos os números de 0 a (3^n - 1)/2 e de (3^n + 1)/2
a (3^(n+1) - 1)/2.
Como (3^n - 1)/2 e (3^n + 1)/2 sao naturais consecutivos, podemos formar
qualquer número de:
0 a (3^(n+1) - 1)/2 com (n+1) algarismos, o que conclui a prova por
inducao.
Espero ter ajudado...
[ ]'s
Alexandre Terezan
-Mensagem Original-
De: "Jose Jayme Moraes Junior" <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: Segunda-feira, 25 de Fevereiro de 2002 10:34 Terezan
Assunto: RE: [obm-l] Muito interressante
Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81)
utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo,
sim.
Exemplos:
41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1
42 = 81 - 27 - 9 - 3
45 = 81 - 27 - 9
50 = 81 - 27 - 3 - 1
58 = 81 - 27 + 3 + 1
60 = 81 - 27 + 9 - 3
75 = 81 - 9 + 3
É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Nicolau C.
Saldanha
Sent: domingo, 24 de fevereiro de 2002 09:49
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Muito interressante
On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
>Oi pessoal,
>uma professora me apresentou um problema interessante criado
> por ela e
> cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma
regra que
> explica essa solução tão curiosa.
>Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta
pesos
> numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a
quarenta
> quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático
que
> queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou)
as
> partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com
a
> mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes?
>Solução : 1, 3, 9 e 27.
O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na
base 3 com os "algarismos" -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4
algarismos. Por exemplo:
-5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1
13 = 0+++ = 9 + 3 + 1
20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1
Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] Muito interressante
On Mon, Feb 25, 2002 at 10:34:54AM -0300, Jose Jayme Moraes Junior wrote: > > Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) > utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, > sim. > Exemplos: > 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 > 42 = 81 - 27 - 9 - 3 > 45 = 81 - 27 - 9 > 50 = 81 - 27 - 3 - 1 > 58 = 81 - 27 + 3 + 1 > 60 = 81 - 27 + 9 - 3 > 75 = 81 - 9 + 3 > > É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n Estive pensando um pouco mais sobre este problema: o único conjunto de pesos para o problema original é 1, 3, 9, 27. O único conjunto de n pesos somando N = (3^n-1) e capaz de pesar todos os inteiros de -N a N é realmente 1, 3, 3^2, ..., 3^(n-1). A demonstração é legal (dica: tente provar que o menor peso *deve* ser 1). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Muito interressante
On Mon, Feb 25, 2002 at 10:34:54AM -0300, Jose Jayme Moraes Junior wrote: > > Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) > utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, > sim. > Exemplos: > 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 > 42 = 81 - 27 - 9 - 3 > 45 = 81 - 27 - 9 > 50 = 81 - 27 - 3 - 1 > 58 = 81 - 27 + 3 + 1 > 60 = 81 - 27 + 9 - 3 > 75 = 81 - 9 + 3 > > É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n Sim para todas as perguntas. E não é muito difícil demonstrar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
RE: [obm-l] Muito interressante
Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, sim. Exemplos: 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 42 = 81 - 27 - 9 - 3 45 = 81 - 27 - 9 50 = 81 - 27 - 3 - 1 58 = 81 - 27 + 3 + 1 60 = 81 - 27 + 9 - 3 75 = 81 - 9 + 3 É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Nicolau C. Saldanha Sent: domingo, 24 de fevereiro de 2002 09:49 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Muito interressante On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: >Oi pessoal, >uma professora me apresentou um problema interessante criado > por ela e > cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que > explica essa solução tão curiosa. >Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos > numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta > quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que > queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as > partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a > mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? >Solução : 1, 3, 9 e 27. O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na base 3 com os "algarismos" -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4 algarismos. Por exemplo: -5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1 13 = 0+++ = 9 + 3 + 1 20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1 Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Muito interressante
On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: >Oi pessoal, >uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e > cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que > explica essa solução tão curiosa. >Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos > numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta > quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que > queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as > partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a > mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? >Solução : 1, 3, 9 e 27. O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na base 3 com os "algarismos" -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4 algarismos. Por exemplo: -5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1 13 = 0+++ = 9 + 3 + 1 20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1 Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Muito interressante
> Interessante os pesos serem potencias de 3..
>
> Isso me lembra as potencias de 2, que sao ligeiramente excessivas, ou
seja,
> a soma dos divisores de n é n-1, como 2^4=16, divisores 1, 2, 4 e 8, sendo
> 8+4+2+1=15.
>
> Existiria algo do tipo, "com 3^n, n variando de 0 até um certo m,
> conseguimos formar o numero n+1 efetuando operacoes simples"? Ih, acho que
> tá bem mal explicado, mas deve ter dado para entender.
9=2(1+3)+1
27=2(1+3+9)+1
81=2(1+3+9+27)+1
...
3^n=2(1+3+...+3^{n-1})+1
Mais geralmente,
q^n=(q-1)(1+q+...+q^{n-1}) +1
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] Muito interressante
Interessante os pesos serem potencias de 3.. Isso me lembra as potencias de 2, que sao ligeiramente excessivas, ou seja, a soma dos divisores de n é n-1, como 2^4=16, divisores 1, 2, 4 e 8, sendo 8+4+2+1=15. Existiria algo do tipo, "com 3^n, n variando de 0 até um certo m, conseguimos formar o numero n+1 efetuando operacoes simples"? Ih, acho que tá bem mal explicado, mas deve ter dado para entender. []s Ricardo Miranda Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. Obrigado pela atenção, Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Muito interressante
Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. Obrigado pela atenção, Raul PS : Gostaria muito que alguém tentasse me explicar (ou comentasse) a questão que enviei duas vezes : "Quando existe o limite?"
