[obm-l] Re: [obm-l] V ou F Analítico.
Seja eps > 0 dado. Existe N tq n>N implica |a(n) - a| < eps. Seja A = |a(1)+a(2)+...+a(N) - Na| Agora, fixando N, eps, A, temos que para todo natural n > N: 0<=(1/n)*|a(1) + a(2) + ... + a(n) - na| <= [A + |a(N+1)-a|+|a(N+2)-a|+...+|a(n)-a|]/n < [A + (n-N)eps]/n Tomando o limite quando n->oo dos dois lados da desigualdade acima (mantendo A, N, eps fixos), obtemos: 0<= lim (n->oo) de |( a(1)+a(2)+...+a(n) )/n - a| <= eps Como eps eh arbitrario (>0), o limite acima deve valer zero e portanto sua afirmativa eh verdadeira. - Original Message - From: "Frederico Reis Marques de Brito" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, August 10, 2003 3:04 PM Subject: [obm-l] V ou F Analítico. > Bom pessoal, é o seguinte. > > Seja a_n , n e IN , uma sequência de reais e suponha que a_n -> a . > Verdadeiro ou Falso: > > > (a_1 + a_2 + ... + a_n ) / n -> a. > > Infelizmente não sei como indicar um somatório ... > > Abraços, > > Frederico. > > _ > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > http://messenger.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] V ou F Analítico.
on 10.08.03 15:04, Frederico Reis Marques de Brito at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Bom pessoal, é o seguinte. > > Seja a_n , n e IN , uma sequência de reais e suponha que a_n -> a . > Verdadeiro ou Falso: > > > (a_1 + a_2 + ... + a_n ) / n -> a. > > Infelizmente não sei como indicar um somatório ... > > Abraços, > > Frederico. > Oi, Frederico: A afirmativa eh verdadeira. A notacao mais usada aqui na lista aplicada a este somatorio seria: [SOMA(1<=k<=n) a_k]/n * Seja eps > 0. Defina, para todo n em N: b_n = a_n - a. Assim, temos que b_n --> 0, ou seja: existe n_0 em N tal que n > n_0 ==> |b_n| < eps/2 Temos que provar que [SOMA(1<=k<=n) b_k]/n --> 0. Como n_0 eh fixo, SOMA(1<=k<=n_0) b_k = A = constante ==> existe n_1 em N tal que n > n_1 ==> [SOMA(1<=k<=n_0) b_k]/n = A/n <= |A|/n < eps/2 Alem disso, teremos: SOMA(n_0+1<=k<=n) b_k <= SOMA(n_0+1<=k<=n) |b_k| < (n - n_0)*eps/2 ==> [SOMA(n_0+1<=k<=n) b_k]/n < (n - n_0)*eps/(2n) < eps/2 Ou seja, para n > max(n_0,n_1), teremos: [SOMA(1<=k<=n) b_k]/n = [SOMA(1<=k<=n_0) b_k]/n + [SOMA(n_0+1<=k<=n) b_k]/n < eps/2 + eps/2 = eps ==> [SOMA(1<=k<=n) b_k]/n --> 0. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] V ou F Analítico.
> > > Bom pessoal, é o seguinte. > > > > Seja a_n , n e IN , uma sequência de reais e suponha que a_n -> a . > > Verdadeiro ou Falso: > > > > > > (a_1 + a_2 + ... + a_n ) / n -> a. > > > > Infelizmente não sei como indicar um somatório ... > > > > Abraços, > > > > Frederico. > > Um ponto interessante eh que a sequencia das medias pode convergir sem que a sequencia original convirja. Se nao me engano, sequencias assim sao ditas Cesaro convergentes. Tomar medias eh um processo muitro usado para "aplainar" distribuicoes de numeros que apreseemtam alto desvio padrao. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] V ou F Analítico.
Bom pessoal, é o seguinte. Seja a_n , n e IN , uma sequência de reais e suponha que a_n -> a . Verdadeiro ou Falso: (a_1 + a_2 + ... + a_n ) / n -> a. Infelizmente não sei como indicar um somatório ... Abraços, Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
