4 Questoes
As questoes valem obviamente para todos os integrantes da lista: 1) Sérgio viaja de A até B e Tadeu viaja de B até A, ambos a velocidades constantes, iniciando suas respectivas viagens no mesmo horário e fazendo o caminho em linha reta. Desde o momento em que se encontram, Sérgio leva 9h para chegar a B e Tadeu leva 4h para chegar até A. Achar o tempo total de viagem de Sérgio e o tempo total de viajem de Tadeu. 2) Seja [x] o chao de x, ou seja, o menor inteiro que nao é maior que x. Ex: [2,3] = 2 [3] = 3 [-5,1] = -6 Encontre trodos os números reais x que verificam [19x + 97] = 19 + 97x. 3) Seja uma matriz triangular M com n linhas e n colunas. Sabe-se que os termos da diagonal principal de M sao raízes da seguinte equacao: [x^(n+1) - 1]/(x-1) = 0 Pede-se o valor de (X+Y)^n , para todo n natural ímpar maior ou igual a 5, onde: X = M^(-1) e Y é a matriz adjunta de M. 4) Seja um paralelogramo ABCD. Traça-se uma reta que passa por D e corta o lado BC no ponto P e o prolongamento do lado AB no ponto Q. Se a área do triângulo DAC vale 8 e a área do quadrilátero ABCD vale 29, quanto vale a área do triângulo CPQ?
Re: 4 Questoes
>4) Seja um paralelogramo ABCD. Traça-se uma reta que passa por D e corta >o lado BC no ponto P e o prolongamento do lado AB no ponto Q. Se a área do >triângulo DAC vale 8 e a área do quadrilátero ABCD vale 29, quanto vale a >área do triângulo CPQ? Se a área de DAC=8, então a de ABCD será 16, e não 29. Não será a área de ACPQ=29?? []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: 4 Questoes
1) Sejam d =AB e v1 e v2 as velocidades de Sérgio e Tadeu respectivamente. Note que d = 9*v1 + 4*v2 ( somando os pedaços que cada um andou após o encontro ). Seja t o instante de encontro. Então t*v1 + t*v2=d, logo t= d/(v1+v2) . Então Sérgio andou d*v1/(v1+v2) antes do encontro e Tadeu andou d*v2/(v1+v2). Então temos : (i) d*v1/(v1+v2) = 4*v2, é o que Tadeu andou depois do encontro. (ii) d*v2/(v1+v2) = 9*v1, é o que Sérgio andou depois do encontro. Dividindo (i) por (ii), temos (v1/v2)=(4/9)*(v2/v1), logo v1=(2/3)*v2. Como d = 9*v1 + 4*v2 , entào d=10*v2=15*v1, então Sérgio gasta 15 horas e Tadeu gasta 10 horas. 2) Basta lembrar que t-1<[t]<=t. Então 19x+56 < 19+57x <= 19x+57, logo segue que 37< 38x <= 38, logo 37/38 < x <=1. 4) O enunciado do 4 está incorreto, pois S(ABCD) = 2*S(ACD), logo 29=2*8, absurdo :) Villard -Mensagem original-De: Alexandre F. Terezan <[EMAIL PROTECTED]>Para: OBM <[EMAIL PROTECTED]>Data: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2001 11:50Assunto: 4 Questoes As questoes valem obviamente para todos os integrantes da lista: 1) Sérgio viaja de A até B e Tadeu viaja de B até A, ambos a velocidades constantes, iniciando suas respectivas viagens no mesmo horário e fazendo o caminho em linha reta. Desde o momento em que se encontram, Sérgio leva 9h para chegar a B e Tadeu leva 4h para chegar até A. Achar o tempo total de viagem de Sérgio e o tempo total de viajem de Tadeu. 2) Seja [x] o chao de x, ou seja, o menor inteiro que nao é maior que x. Ex: [2,3] = 2 [3] = 3 [-5,1] = -6 Encontre trodos os números reais x que verificam [19x + 97] = 19 + 97x. 3) Seja uma matriz triangular M com n linhas e n colunas. Sabe-se que os termos da diagonal principal de M sao raízes da seguinte equacao: [x^(n+1) - 1]/(x-1) = 0 Pede-se o valor de (X+Y)^n , para todo n natural ímpar maior ou igual a 5, onde: X = M^(-1) e Y é a matriz adjunta de M. 4) Seja um paralelogramo ABCD. Traça-se uma reta que passa por D e corta o lado BC no ponto P e o prolongamento do lado AB no ponto Q. Se a área do triângulo DAC vale 8 e a área do quadrilátero ABCD vale 29, quanto vale a área do triângulo CPQ?
RE: 4 Questoes
-Mensagem original- De: Alexandre F. Terezan < [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]> > Para: OBM < [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]> > Data: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2001 11:50 Assunto: 4 Questoes >> 2) Seja [x] o chao de x, ou seja, o menor inteiro que nao é maior que >> x. >> Ex: [2,3] = 2 [3] = 3 [-5,1] = -6 >> >> Encontre trodos os números reais x que verificam [19x + 97] = 19 + 97x. > 2) Basta lembrar que t-1<[t]<=t. Então 19x+56 < 19+57x <= 19x+57, logo > segue que 37< 38x <= 38, logo 37/38 < x <=1. Verdade; mas ainda falta um pedaco... Eu faria assim: como [19x+97]=19+97x, 19+97x eh um inteiro, e portanto x=a/97 para algum a inteiro. [19a/97+97]=19+a Agora sim, *basta* encontrar todos os "a" inteiros tais que: 19+a <= 19a/97+97 < 19+a+1 (note que isto eh EQUIVALENTE aa equacao do enunciado se a eh inteiro) 77 < 78a/97 <= 78 (77/78).97 < a <= 97 Como 77/78 . 97 = 97 - 97/78 = 95.??, temos a=96 ou a=97. Assim, x=96/97 e x=1 sao as unicas solucoes. Abraco, Ralph
Re: 4 Questoes
Aí está o enunciado correto do problema 4: 4)Seja um paralelogramo ABCD. Traça-se uma reta que passa por D e corta o lado BC no ponto P e o prolongamento do lado AB no ponto Q. Se a área do triângulo DPC vale 8 e a área do quadrilátero ABPD vale 29, quanto vale a área do triângulo CPQ? -Mensagem Original- De: <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2001 23:50 Terezan Assunto: Re: 4 Questoes >4) Seja um paralelogramo ABCD. Traça-se uma reta que passa por D e corta >o lado BC no ponto P e o prolongamento do lado AB no ponto Q. Se a área do >triângulo DAC vale 8 e a área do quadrilátero ABCD vale 29, quanto vale a >área do triângulo CPQ? Se a área de DAC=8, então a de ABCD será 16, e não 29. Não será a área de ACPQ=29?? []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: 4 Questoes
É verdade, Ralph... vacilei ! Abraços -Mensagem original- De: Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]> Para: '[EMAIL PROTECTED]' <[EMAIL PROTECTED]> Data: Terça-feira, 27 de Novembro de 2001 01:59 Assunto: RE: 4 Questoes >-Mensagem original- >De: Alexandre F. Terezan < [EMAIL PROTECTED] ><mailto:[EMAIL PROTECTED]> > >Para: OBM < [EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]> > >Data: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2001 11:50 >Assunto: 4 Questoes > > >>> 2) Seja [x] o chao de x, ou seja, o menor inteiro que nao é maior que >> >x. >>> Ex: [2,3] = 2 [3] = 3 [-5,1] = -6 >>> >>> Encontre trodos os números reais x que verificam [19x + 97] = 19 + 97x. > >> 2) Basta lembrar que t-1<[t]<=t. Então 19x+56 < 19+57x <= 19x+57, logo >> segue que 37< 38x <= 38, logo 37/38 < x <=1. > >Verdade; mas ainda falta um pedaco... > >Eu faria assim: como [19x+97]=19+97x, 19+97x eh um inteiro, e portanto >x=a/97 para algum a inteiro. > >[19a/97+97]=19+a > >Agora sim, *basta* encontrar todos os "a" inteiros tais que: > >19+a <= 19a/97+97 < 19+a+1 (note que isto eh EQUIVALENTE aa equacao do >enunciado se a eh inteiro) >77 < 78a/97 <= 78 >(77/78).97 < a <= 97 > >Como 77/78 . 97 = 97 - 97/78 = 95.??, temos a=96 ou a=97. >Assim, x=96/97 e x=1 sao as unicas solucoes. > >Abraco, > Ralph >
