Como simplificar?
Caros amigos, como faço para simplificar a expressão abaixo? 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) Davidson Estanislau
Re: Como simplificar?
S significa somatório com k variando de 1 a n. S[(k+1)(2k+1)] =S(2k^2+3k+1) = 2S(k^2) + 3S(k) +S(1)= 2 (n)(n+1)(2n+1)/6 + 3n(n+1)/2 +n Davidson Estanislau wrote: 001601c17d8a$9df7b4e0$[EMAIL PROTECTED]"> Caros amigos, como faço para simplificar a expressão abaixo? 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) Davidson Estanislau
Re: Como simplificar?
Olá Davidson, Observe que esta soma é o somatório de (2k^2 +3k + 1) com k variando de 1 até n . Como 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 , 1+2+3+... +n = n(n+1)/2 e 1+1+1+...+1=n ; temos que o somatório pedido é : 2.n(n+1)(2n+1)/6 + 3.n(n+1)/2 + n , bastando agora simplificar mais esta expressão , ok ? Abraços , Carlos Victor ---Original Message--- From: [EMAIL PROTECTED] Date: Wednesday, December 05, 2001 10:44:19 To: obm Subject: Como simplificar? Caros amigos, como faço para simplificar a expressão abaixo? 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) Davidson Estanislau
Re: Como simplificar?
2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) = 2*4 - 2 + 3*6 - 3 + 4*8 - 4 + 5*10 - 5 + 6*12 - 6 + ... + (n+1)*(2n+2) - (n+1) = 2*4 + 3*6 + 4*8 + 5*10 + 6*12 + ... + (n+1)*(2n+2) - (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) = 2*(2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) = 2*(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - 2 - (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) = (2*(n+1)(n+2)(2n+3))/6 - 2 - ((n+3)n)/2 = (n+1)(n+2)(2n+3)/3 - 2 - ((n+3)n)/2 = (2*(n+1)(n+2)(2n+3) - 12 - 3*((n+3)n)) / 6 = (4n^3 + 18n^2 + 26n + 12 - 12 - 3n^2 - 9n) / 6 = (4n^3 + 15n^2 + 17n) / 6 = (n/6) * (4n^2 + 15n + 17) -Mensagem Original- De: Davidson Estanislau Para: obm Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro de 2001 10:44 Terezan Assunto: Como simplificar? Caros amigos, como faço para simplificar a expressão abaixo? 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) Davidson Estanislau
Re: Como simplificar?
Sauda,c~oes tri...,
Estas duas somas que apareceram uma em seguida à
outra
podem ser resolvidas mecanicamente da seguinte
forma:
Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) é um
polinômio
de grau k em i.
Expressamos p(i) em função dos polinômios fatoriais (pf) e
achamos
uma antidiferença P(i). Então S_n = P(n+1) -
P(1).
Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 +
... + (n+1)*(2n+1) =
\sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)
Expressando p(i) em função dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i
+ 1.
Então P(i) é (observe a semelhança da integral): (2/3)
(i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} + i.
Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2)
(n+1)n + n + 1 - 0 - 0 - 1 =
(n/6) * (4n^2 + 15n +
17)
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Alexandre F. Terezan
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro
de 2001 11:40
Assunto: Re: Como simplificar?
2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =
2*4 - 2 + 3*6 - 3 + 4*8 - 4 + 5*10 - 5 + 6*12 - 6 +
... + (n+1)*(2n+2) - (n+1) =
2*4 + 3*6 + 4*8 + 5*10 + 6*12 + ... + (n+1)*(2n+2) -
(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) =
2*(2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - (2 + 3 + 4 + 5 + 6 +
... + (n+1)) =
2*(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + ... + (n+1)^2) - 2 - (2 + 3 +
4 + 5 + 6 + ... + (n+1)) =
(2*(n+1)(n+2)(2n+3))/6 - 2 - ((n+3)n)/2 =
(n+1)(n+2)(2n+3)/3 - 2 - ((n+3)n)/2 =
(2*(n+1)(n+2)(2n+3) - 12 - 3*((n+3)n)) / 6 =
(4n^3 + 18n^2 + 26n + 12 - 12 - 3n^2 - 9n) / 6 =
(4n^3 + 15n^2 + 17n) / 6 =
(n/6) * (4n^2 + 15n +
17)
-Mensagem Original-
De:
Davidson
Estanislau
Para: obm
Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro
de 2001 10:44 Terezan
Assunto: Como simplificar?
Caros amigos, como
faço para simplificar a expressão abaixo?
2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1)
Davidson
Estanislau
Re: Como simplificar?
Muito obrigado, ao Morgado, Victor e ao Alexandre Terezan, pela ajuda. Davidson Estanislau
Re: Como simplificar?
O que é um polinômio fatorial e uma antidiferença?
Luis, O que vc quis dizer com 2(i)^{(2)}?
Obrigado
[ Vinicius José Fortuna ]
On Wed, 5 Dec 2001, Luis Lopes wrote:
> Sauda,c~oes tri...,
>
> Estas duas somas que apareceram uma em seguida à outra
> podem ser resolvidas mecanicamente da seguinte forma:
>
> Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) é um polinômio
> de grau k em i.
>
> Expressamos p(i) em função dos polinômios fatoriais (pf) e achamos
> uma antidiferença P(i). Então S_n = P(n+1) - P(1).
>
> Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =
> \sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)
>
> Expressando p(i) em função dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i + 1.
>
> Então P(i) é (observe a semelhança da integral): (2/3) (i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} +
>i.
>
> Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2) (n+1)n + n + 1 - 0 - 0
>- 1 =
> (n/6) * (4n^2 + 15n + 17)
>
> []'s
> Luís
Re: Como simplificar?
Se f(x+1)-f(x)=g(x), g é a diferença de f; f é a antidiferença de g.
Antidiferença serve para somar. Realmente , representando por S somatório
com k variando de 1 ate n, temos
S(g(k))= g(1)+g(2)+...+g(n)=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+...+f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(1).
Logo, para somar valores de g, basta descobrir uma antidiferença de g.
Potência fatorial é uma "espécie" de potência. x elevado a n é um produto
de n fatores iguais a x. A potência fatorial x baixado a n (usualmente escreve-se
o x entre parenteses e o n fora do parenteses como um indice) é um produto
de n fatores
x(x-1)...(x-n+1).
A diferença de x baixado a n é [n vezes(x baixado a n-1)] e a antidiferença
de x baixado a n é [(x baixado a n+1) dividido por n+1].
Vinicius José Fortuna wrote:
[EMAIL PROTECTED]">
O que é um polinômio fatorial e uma antidiferença?Luis, O que vc quis dizer com 2(i)^{(2)}?Obrigado[ Vinicius José Fortuna ]On Wed, 5 Dec 2001, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes tri...,Estas duas somas que apareceram uma em seguida à outrapodem ser resolvidas mecanicamente da seguinte forma:Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) é um polinômiode grau k em i.Expressamos p(i) em função dos polinômios fatoriais (pf) e achamosuma antidiferença P(i). Então S_n = P(n+1) - P(1).Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =\sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)Expressando p(i) em função dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i + 1.Então P(i) é (observe a semelhança da integral): (2/3) (i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} + i.Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2) (n+1)n + n + 1 - 0 - 0 - 1 = (n/6) * (4n^2 + 15n + 17) []'sLuís
Re: Como simplificar?
Sauda,c~oes tri...,
Obrigado Morgado. Tudo isso está explicado num
livro
(Manual de Seq. e Séries) que escrevi cuja
amostra
encontra-se em www.escolademestres.com/qedtexte
Um outro exemplo da força do método: seja
calcular
S_n(m) = \sum_{i=0}^n \binom{i}{m}, onde \binom{i}{m} = i!/m!
(i-m)!
Então p(i)=\binom{i}{m} e P(i)=\binom{i}{m+1}. Pra
entender
por que, aplique Stiffel (o nome é esse,
não é?).
Portanto, S_n(m) = P(n+1) - P(0) =
\binom{n+1}{m+1}.
Agora o melhor: somas com p(i)=i, p(i)=i^2 etc para
i=1,..n
saem agora facilmente.
Como p(i)=i=\binom{i}{1}, então
S_n=\binom{n+1}{2}=n(n+1)/2.
Como p(i)=i^2=2\binom{i}{2} + \binom{i}{1}, então
S_n =2\binom{n+1}{3} + \binom{n+1}{2} =
n(n+1)(2n+1)/6.
[]'s
Luis
-Mensagem Original-
De: Augusto
César Morgado
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 5 de Dezembro
de 2001 18:01
Assunto: Re: Como simplificar?
Se f(x+1)-f(x)=g(x), g é a diferença de f; f é a antidiferença
de g.Antidiferença serve para somar. Realmente , representando por S
somatório com k variando de 1 ate n, temosS(g(k))=
g(1)+g(2)+...+g(n)=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+...+f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(1).Logo,
para somar valores de g, basta descobrir uma antidiferença de
g.Potência fatorial é uma "espécie" de potência. x elevado a n é um
produto de n fatores iguais a x. A potência fatorial x baixado a n (usualmente
escreve-se o x entre parenteses e o n fora do parenteses como um indice) é um
produto de n fatoresx(x-1)...(x-n+1).A diferença de x baixado a n é [n
vezes(x baixado a n-1)] e a antidiferença de x baixado a n é [(x baixado a
n+1) dividido por n+1].Vinicius José Fortuna wrote:
[EMAIL PROTECTED]"
type="cite">O que é um polinômio fatorial e uma antidiferença?Luis, O que vc quis dizer com 2(i)^{(2)}?Obrigado[ Vinicius José Fortuna ]On Wed, 5 Dec 2001, Luis Lopes wrote:
Sauda,c~oes tri...,Estas duas somas que apareceram uma em seguida à outrapodem ser resolvidas mecanicamente da seguinte forma:Seja calcular S_n = \sum_{i=1}^n p(i), onde p(i) é um polinômiode grau k em i.Expressamos p(i) em função dos polinômios fatoriais (pf) e achamosuma antidiferença P(i). Então S_n = P(n+1) - P(1).Exemplo: 2*3 + 3*5 + 4*7 + 5*9 + 6*11 + ... + (n+1)*(2n+1) =\sum_{i=1}^n (i+1)(2i+1) = \sum_{i=1}^n p(i)Expressando p(i) em função dos pf, vem: p(i) = 2(i)^{(2)} + 5i + 1.Então P(i) é (observe a semelhança da integral): (2/3) (i)^{(3)} + (5/2) (i)^{(2)} + i.Calculando P(n+1) - P(1) resulta em (2/3) (n+1)n(n-1) + (5/2) (n+1)n + n + 1 - 0 - 0 - 1 = (n/6) * (4n^2 + 15n + 17) []'sLuís
