Re: [obm-l] fracoes parciais
Sauda,c~oes, Obrigado Gugu (como vc mesmo se assina), vou dar uma olhada. Agora podemos demonstrar a la Euler que \sum_{n >= 1} 1 / (n^2 + 1) = (\pi\coth\pi - 1) / 2. Sejam P(z) = 1 + z^2/2 + ... + z^{2n}/(2n)!e Q(z) = z + z^3/3! + ... + z^{2n+1}/(2n+1)! . Observe agora que: i) grau de P < grau de Q; ii) Q' = P; iii) lim P = \cosh z; lim Q = \sinh z iv) \cosh z / \sinh z = \coth z. v) Q tem 2n+1 raízes simples vi) as raízes de \sinh z são ik\pi, k = 0,+-1,+-2,... Conclua que lim P(z)/Q(z)=\coth z = 1/z + 2z [1/(z^2 + \pi^2) + 1/(z^2 + 4\pi^2) + ] E coloque z=\pi no resultado acima. Não é totalmente rigoroso mas é interessante. []'s Luís -Mensagem Original- De: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2003 22:47 Assunto: Re: [obm-l] fracoes parciais > Caro Luis, > Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao e' > igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria... > Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]). > R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando > entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por > Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor desse > polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o > termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo > e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de derivada, > lim(x->a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples > de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para todo > k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e' > um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos a_1,a_2,...,a_n. >O item ii) e' um corolario imediato do item i). >Abracos, >Gugu > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] fracoes parciais
Caro Luis, Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao e' igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria... Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]). R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor desse polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de derivada, lim(x->a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para todo k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e' um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos a_1,a_2,...,a_n. O item ii) e' um corolario imediato do item i). Abracos, Gugu > >This is a multi-part message in MIME format. > >--=_NextPart_000_011C_01C2F540.E6DAB480 >Content-Type: text/plain; > charset="iso-8859-1" >Content-Transfer-Encoding: quoted-printable > >Sauda,c~oes, > >Sejam P(x) e Q(x) polin=F4mios e a_k as >(todas) n ra=EDzes simples de Q(x). > >Mostre que P(x) / Q(x) =3D \sum_{k=3D1}^n > >[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k] (*) > >Ou em LaTeX: > >\frac{P(x)}{Q(x)} =3D \sum_{k=3D1}^n >\frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x - a_k} > >Exemplos: > >i) >P(x) =3D 2x + 1 >Q(x) =3D x(x - 1)(x - 2) >Q'(x) =3D 3x^2 - 6x + 2 > >P(0) =3D 1; P(1) =3D 3; P(2) =3D 5 >Q'(0) =3D 2; Q'(1) =3D -1; Q'(2) =3D 2 > >P(x) / Q(x) =3D 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2)=20 > >ii) > >se P(x) =3D Q'(x), ent=E3o P(x)/Q(x) =3D \sum {1 / x-a_k}. > >Como provar (*) ?? Ou refer=EAncias??? > >Obrigado. > >[]'s >Lu=EDs > > >--=_NextPart_000_011C_01C2F540.E6DAB480 >Content-Type: text/html; > charset="iso-8859-1" >Content-Transfer-Encoding: quoted-printable > > > >content=3Dtext/html;charset=3Diso-8859-1> > >@font-face { > font-family: Tahoma; >} >@page Section1 {size: 8.5in 11.0in; margin: 1.0in 1.25in 1.0in 1.25in; } >P.MsoNormal { > FONT-SIZE: 12pt; MARGIN: 0in 0in 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman" >} >LI.MsoNormal { > FONT-SIZE: 12pt; MARGIN: 0in 0in 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman" >} >DIV.MsoNormal { > FONT-SIZE: 12pt; MARGIN: 0in 0in 0pt; FONT-FAMILY: "Times New Roman" >} >A:link { > COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline >} >SPAN.MsoHyperlink { > COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline >} >A:visited { > COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline >} >SPAN.MsoHyperlinkFollowed { > COLOR: blue; TEXT-DECORATION: underline >} >SPAN.EmailStyle17 { > COLOR: navy; FONT-FAMILY: Arial >} >DIV.Section1 { > page: Section1 >} > > > >Sauda,c~oes, > >Sejam P(x) e Q(x) polin=F4mios e a_k as >(todas) n ra=EDzes simples de Q(x). > >Mostre que P(x) / Q(x) =3D = >\sum_{k=3D1}^n > >[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x -=20 >a_k] (*) > >Ou em LaTeX: > >\frac{P(x)}{Q(x)} =3D \sum_{k=3D1}^n >\frac{size=3D2>[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x -=20 >a_k} > >Exemplos: > >i) >P(x) =3D 2x + 1 >Q(x) =3D x(x - 1)(x - 2) >Q'(x) =3D 3x^2 - 6x + 2 > >P(0) =3D 1; P(1) =3D 3; P(2) =3D 5 > >Q'(0) =3D 2; Q'(1) =3D -1; Q'(2) =3D 2 > >P(x) / Q(x) =3D 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2) > >ii) > >se P(x) =3D Q'(x), ent=E3o P(x)/Q(x) =3D \sum {1 / x-a_k}. > >Como provar (*) ?? Ou refer=EAncias??? > >Obrigado. > >[]'s >Lu=EDs > > >--=_NextPart_000_011C_01C2F540.E6DAB480-- > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] fracoes parciais
Sauda,c~oes, Sejam P(x) e Q(x) polinômios e a_k as (todas) n raízes simples de Q(x). Mostre que P(x) / Q(x) = \sum_{k=1}^n [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k] (*) Ou em LaTeX: \frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{k=1}^n \frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x - a_k} Exemplos: i) P(x) = 2x + 1 Q(x) = x(x - 1)(x - 2) Q'(x) = 3x^2 - 6x + 2 P(0) = 1; P(1) = 3; P(2) = 5 Q'(0) = 2; Q'(1) = -1; Q'(2) = 2 P(x) / Q(x) = 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2) ii) se P(x) = Q'(x), então P(x)/Q(x) = \sum {1 / x-a_k}. Como provar (*) ?? Ou referências??? Obrigado. []'s Luís
Re: fracoes
On Fri, 23 Mar 2001, josimat wrote: > Ola pessoal! Dois amigos meus querem comprar o livro "Problemas Selecionados > de Matematica" do Raul Agostinho e do Antônio Luis, alguem sabe como? Esses > mesmos amigos, passaram-me um problema que nao consegui resolver. Alguem pode > ajudar? 19/n+21 , 20/n+22 , 21/n+23 , ... , 91/n+93 (com 73 fracoes) qual > o valor de n para que todas essas fracoes sejam irredutiveis? []s, Josimar > Que tal n = -1? Com este valor de n as frações são 19/20, 20/21, ..., k/(k+1),..., 91/92, todas claramente irredutíveis. Se você desejar uma resposta positiva pode tomar n = mmc(19,20,21,...,91) - 1: todas serão da forma k/(ak+1) e portanto irredutíveis. Talvez uma pergunta mais difícil seja determinar o menor n positivo para o qual as frações são todas irredutíveis. []s, N.
Re: fracoes
Podemos generalizar todas as fracoes dadas para k / [k + (n+2)], onde k é natural 18 < k < 92. Ora, a fracao k / [k + (n+2)] é irredutível se nao há divisores comuns a {k} e {k + (n+2)}. Isso acontece necessariamente quando (n+2) é um primo que NAO divide k. Logo, basta escolhermos um número (n+2) primo maior que 91, pois este necessariamente nao dividirá nenhum k (visto que um número nao pode ser divisor de outro número menor do que ele). (n + 2) = 97 --> n = 95 é uma solucao possível. Espero ter ajudado... - Original Message - From: josimat To: OBM Sent: Sexta-feira, 23 de Março de 2001 00:26 Subject: fracoes Ola pessoal! Dois amigos meus querem comprar o livro "Problemas Selecionados de Matematica" do Raul Agostinho e do Antônio Luis, alguem sabe como? Esses mesmos amigos, passaram-me um problema que nao consegui resolver. Alguem pode ajudar? 19/n+21 , 20/n+22 , 21/n+23 , ... , 91/n+93 (com 73 fracoes) qual o valor de n para que todas essas fracoes sejam irredutiveis? []s, Josimar
fracoes
Ola pessoal! Dois amigos meus querem comprar o livro "Problemas Selecionados de Matematica" do Raul Agostinho e do Antônio Luis, alguem sabe como? Esses mesmos amigos, passaram-me um problema que nao consegui resolver. Alguem pode ajudar? 19/n+21 , 20/n+22 , 21/n+23 , ... , 91/n+93 (com 73 fracoes) qual o valor de n para que todas essas fracoes sejam irredutiveis? []s, Josimar