Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Henrique Antunes]

Boa noite,

O João Marcos me alertou que só mandei as referências do Nolt no último
email. Obrigado, João.

Abraços,

E. Bencivenga. Free logics. In D. M. Gabbay and F. Guenthner, editors,
Handbook of Philosophical Logic, volume 5, pages 147–96. Springer, 2
edition.

S. Lehmann. More free logic. In D. M. Gabbay and F. Guenthner, editors,
Handbook of Philosophical Logic, volume 5, pages 197–259. Springer, 2
edition.

J. Nolt. Free logics. In D. Jaquette, editor, Philosophy of Logic,
Handbook of the philosophy of logic, pages 1023–60. North Holland, 5
edition.

-- 
Henrique Antunes


On Wed, Oct 11, 2023 at 04:22:28PM -0300, Henrique Antunes wrote:
> Oi, pessoal
> 
> Boa tarde.
> 
> Essa discussão me interessa muito, principalmente porque tenho trabalhado
> com temas relacionados. 
> 
> Só alguns comentários breves: acho que há uma diferença entre lógicas
> inclusivas e lógicas livres. As primeiras são lógicas que permitem
> modelos com domínios vazios, as segundas permitem termos que não
> "denotam" elementos do domínio dos quantificadores. Há lógicas livres
> que não são inclusivas, e há lógicas inclusivas que não são livres.
> 
> (Porém, (i) se uma lógica é inclusiva e a linguagem contém termos (que
> não sejam apenas variáveis ligadas), então ela tem de ser livre também;
> (ii) a maior parte dos sistemas de lógica livre apresentados na
> literatura é inclusiva).
> 
> Outro ponto: nas lógicas livres, nem sempre é preciso recorrer a noção
> de função parcial. Nas semânticas de domínios duplos, a função
> interpretação é total, porém termos vazios são interpretados como
> elementos de um domínio distinto do domínio dos quantificadores (um
> domínio externo). 
> 
> Aqui vão alguns surveys muito bons sobre lógicas livres. Acho o texto do
> Lehmann o melhor, mas o texto do Bencivenga tem uma seção muito
> esclarecedora sobre lógicas inclusivas. Inclusive (rsrs), a primeira
> lógica inclusiva foi criada em 34 pelo Jaskowski!.  
> 
> @incollection{Nolt2007,
>   author = {Nolt, J.},
>   editor = {Jaquette, D.},
>   publisher = {North Holland},
>   title = {Free Logics},
>   booktitle = {Philosophy of Logic},
>   series = {Handbook of the philosophy of logic},
>   edition = {5},
>   pages = {1023-60},
>   date = {2007}
> }
> 
> 
> @incollection{Nolt2007,
>   author = {Nolt, J.},
>   editor = {Jaquette, D.},
>   publisher = {North Holland},
>   title = {Free Logics},
>   booktitle = {Philosophy of Logic},
>   series = {Handbook of the philosophy of logic},
>   edition = {5},
>   pages = {1023-60},
>   date = {2007}
> }
> 
> @incollection{Nolt2007,
>   author = {Nolt, J.},
>   editor = {Jaquette, D.},
>   publisher = {North Holland},
>   title = {Free Logics},
>   booktitle = {Philosophy of Logic},
>   series = {Handbook of the philosophy of logic},
>   edition = {5},
>   pages = {1023-60},
>   date = {2007}
> }
> 
> -- 
> Henrique Antunes
> 
> 
> On Wed, Oct 11, 2023 at 03:36:27PM -0300, Joao Marcos wrote:
> > Viva!
> > 
> > > Vamos aceitar, para efeito de discussão, que pelo menos no que se refere 
> > > à prática matemática existe uma convenção de que
> > > os modelos, os domínios de discurso, são não-vazios (o que também não 
> > > parece claro 100 por cento pelo que eu vi na discussão,
> > > mas só para hoje, pra seguir na discussão, vamos assumir isso).
> > >
> > > OK. Isso é uma assunção, digamos assim, semântica.
> > >
> > > Minha dúvida é: essa assunção tem que chegar no nível sintático ? Ou 
> > > seja, seria necessário um axioma pra dizer isso ?
> > 
> > A alternativa não implicaria acomodar uma instância "desnecessária" de
> > incompletude?  Afinal, a semântica "convencionada" garantiria, por
> > exemplo, que (∃x)x=x é uma fórmula válida, mesmo que tal fórmula não
> > fosse um teorema do sistema dedutivo escolhido...
> > 
> > > Porque, como eu observei e o Juan também, ambos os tipos de livros de Set 
> > > Theory, tanto os que usam o primeiro axioma como sendo "o Axioma do 
> > > Vazio" ou como sendo
> > > "o Axioma da Existência de Conjuntos", que seria o famoso 'existe x tal 
> > > que x = x' que não vale na lógica livre,
> > 
> > Porque a lógica livre não faz a tal assunção sobre a não-vacuidade do
> > domínio (e o sistema dedutivo "correspondente", neste caso, ficaria
> > também liberado de fazê-la), né?
> > 
> > > Os dois axiomas são essencialmente equivalentes na presença do Axioma da 
> > > Separação (de um conjunto que exista eu extraio o vazio usando uma 
> > > fórmula contraditória
> > > como "z diferente de z" aplicada aos elementos desse que existe),
> > 
> > Aqui a lógica subjacente poderia claramente fazer uma diferença.  Do
> > ponto de vista de uma lógica *sem* "fórmulas contraditórias", como a
> > lógica LP, não estaria garantida a existência de um (único) conjunto
> > que seja subconjunto de qualquer outro conjunto.
> > 
> > Além disso, como disse o Anderson, não parece necessário que
> > "um axioma da teoria dos conjuntos se traduza em uma well-formed
> > formula da lógica 

Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Henrique Antunes]

Oi, pessoal

Boa tarde.

Essa discussão me interessa muito, principalmente porque tenho trabalhado
com temas relacionados. 

Só alguns comentários breves: acho que há uma diferença entre lógicas
inclusivas e lógicas livres. As primeiras são lógicas que permitem
modelos com domínios vazios, as segundas permitem termos que não
"denotam" elementos do domínio dos quantificadores. Há lógicas livres
que não são inclusivas, e há lógicas inclusivas que não são livres.

(Porém, (i) se uma lógica é inclusiva e a linguagem contém termos (que
não sejam apenas variáveis ligadas), então ela tem de ser livre também;
(ii) a maior parte dos sistemas de lógica livre apresentados na
literatura é inclusiva).

Outro ponto: nas lógicas livres, nem sempre é preciso recorrer a noção
de função parcial. Nas semânticas de domínios duplos, a função
interpretação é total, porém termos vazios são interpretados como
elementos de um domínio distinto do domínio dos quantificadores (um
domínio externo). 

Aqui vão alguns surveys muito bons sobre lógicas livres. Acho o texto do
Lehmann o melhor, mas o texto do Bencivenga tem uma seção muito
esclarecedora sobre lógicas inclusivas. Inclusive (rsrs), a primeira
lógica inclusiva foi criada em 34 pelo Jaskowski!.  

@incollection{Nolt2007,
  author = {Nolt, J.},
  editor = {Jaquette, D.},
  publisher = {North Holland},
  title = {Free Logics},
  booktitle = {Philosophy of Logic},
  series = {Handbook of the philosophy of logic},
  edition = {5},
  pages = {1023-60},
  date = {2007}
}


@incollection{Nolt2007,
  author = {Nolt, J.},
  editor = {Jaquette, D.},
  publisher = {North Holland},
  title = {Free Logics},
  booktitle = {Philosophy of Logic},
  series = {Handbook of the philosophy of logic},
  edition = {5},
  pages = {1023-60},
  date = {2007}
}

@incollection{Nolt2007,
  author = {Nolt, J.},
  editor = {Jaquette, D.},
  publisher = {North Holland},
  title = {Free Logics},
  booktitle = {Philosophy of Logic},
  series = {Handbook of the philosophy of logic},
  edition = {5},
  pages = {1023-60},
  date = {2007}
}

-- 
Henrique Antunes


On Wed, Oct 11, 2023 at 03:36:27PM -0300, Joao Marcos wrote:
> Viva!
> 
> > Vamos aceitar, para efeito de discussão, que pelo menos no que se refere à 
> > prática matemática existe uma convenção de que
> > os modelos, os domínios de discurso, são não-vazios (o que também não 
> > parece claro 100 por cento pelo que eu vi na discussão,
> > mas só para hoje, pra seguir na discussão, vamos assumir isso).
> >
> > OK. Isso é uma assunção, digamos assim, semântica.
> >
> > Minha dúvida é: essa assunção tem que chegar no nível sintático ? Ou seja, 
> > seria necessário um axioma pra dizer isso ?
> 
> A alternativa não implicaria acomodar uma instância "desnecessária" de
> incompletude?  Afinal, a semântica "convencionada" garantiria, por
> exemplo, que (∃x)x=x é uma fórmula válida, mesmo que tal fórmula não
> fosse um teorema do sistema dedutivo escolhido...
> 
> > Porque, como eu observei e o Juan também, ambos os tipos de livros de Set 
> > Theory, tanto os que usam o primeiro axioma como sendo "o Axioma do Vazio" 
> > ou como sendo
> > "o Axioma da Existência de Conjuntos", que seria o famoso 'existe x tal que 
> > x = x' que não vale na lógica livre,
> 
> Porque a lógica livre não faz a tal assunção sobre a não-vacuidade do
> domínio (e o sistema dedutivo "correspondente", neste caso, ficaria
> também liberado de fazê-la), né?
> 
> > Os dois axiomas são essencialmente equivalentes na presença do Axioma da 
> > Separação (de um conjunto que exista eu extraio o vazio usando uma fórmula 
> > contraditória
> > como "z diferente de z" aplicada aos elementos desse que existe),
> 
> Aqui a lógica subjacente poderia claramente fazer uma diferença.  Do
> ponto de vista de uma lógica *sem* "fórmulas contraditórias", como a
> lógica LP, não estaria garantida a existência de um (único) conjunto
> que seja subconjunto de qualquer outro conjunto.
> 
> Além disso, como disse o Anderson, não parece necessário que
> "um axioma da teoria dos conjuntos se traduza em uma well-formed
> formula da lógica formal".
> Um dos truques mais sujos feito por lógicos não-clássicos consiste
> justamente em mudar a interpretação das fórmulas tomadas como axiomas
> de uma dada teoria enquanto seguem insistindo que continuam falando da
> _mesma teoria_.  Será que faz sentido dizer que uma teoria é um mero
> conjunto de expressões sintáticas desvinculadas de um certo jogo no
> qual tais expressões ganham significado?
> 
> > Assim, se na teoria já estivesse claro "sintaticamente" que existem 
> > conjuntos, eu pegava qualquer um deles que estivesse dando mole e separava 
> > o Vazio dele.
> >
> > E aí nem o Axioma do Vazio e nem o Axioma da Existência de Conjuntos seriam 
> > necessários na axiomática.
> >
> > Então meu status atual na discussao é:
> >
> > ---> concordo que as apresentaçoes de teorias na lógica clássica acabam 
> > pressupondo domínios não-vazios, na maioria das vezes;
> 

Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Joao Marcos]

Viva!

> Vamos aceitar, para efeito de discussão, que pelo menos no que se refere à 
> prática matemática existe uma convenção de que
> os modelos, os domínios de discurso, são não-vazios (o que também não parece 
> claro 100 por cento pelo que eu vi na discussão,
> mas só para hoje, pra seguir na discussão, vamos assumir isso).
>
> OK. Isso é uma assunção, digamos assim, semântica.
>
> Minha dúvida é: essa assunção tem que chegar no nível sintático ? Ou seja, 
> seria necessário um axioma pra dizer isso ?

A alternativa não implicaria acomodar uma instância "desnecessária" de
incompletude?  Afinal, a semântica "convencionada" garantiria, por
exemplo, que (∃x)x=x é uma fórmula válida, mesmo que tal fórmula não
fosse um teorema do sistema dedutivo escolhido...

> Porque, como eu observei e o Juan também, ambos os tipos de livros de Set 
> Theory, tanto os que usam o primeiro axioma como sendo "o Axioma do Vazio" ou 
> como sendo
> "o Axioma da Existência de Conjuntos", que seria o famoso 'existe x tal que x 
> = x' que não vale na lógica livre,

Porque a lógica livre não faz a tal assunção sobre a não-vacuidade do
domínio (e o sistema dedutivo "correspondente", neste caso, ficaria
também liberado de fazê-la), né?

> Os dois axiomas são essencialmente equivalentes na presença do Axioma da 
> Separação (de um conjunto que exista eu extraio o vazio usando uma fórmula 
> contraditória
> como "z diferente de z" aplicada aos elementos desse que existe),

Aqui a lógica subjacente poderia claramente fazer uma diferença.  Do
ponto de vista de uma lógica *sem* "fórmulas contraditórias", como a
lógica LP, não estaria garantida a existência de um (único) conjunto
que seja subconjunto de qualquer outro conjunto.

Além disso, como disse o Anderson, não parece necessário que
"um axioma da teoria dos conjuntos se traduza em uma well-formed
formula da lógica formal".
Um dos truques mais sujos feito por lógicos não-clássicos consiste
justamente em mudar a interpretação das fórmulas tomadas como axiomas
de uma dada teoria enquanto seguem insistindo que continuam falando da
_mesma teoria_.  Será que faz sentido dizer que uma teoria é um mero
conjunto de expressões sintáticas desvinculadas de um certo jogo no
qual tais expressões ganham significado?

> Assim, se na teoria já estivesse claro "sintaticamente" que existem 
> conjuntos, eu pegava qualquer um deles que estivesse dando mole e separava o 
> Vazio dele.
>
> E aí nem o Axioma do Vazio e nem o Axioma da Existência de Conjuntos seriam 
> necessários na axiomática.
>
> Então meu status atual na discussao é:
>
> ---> concordo que as apresentaçoes de teorias na lógica clássica acabam 
> pressupondo domínios não-vazios, na maioria das vezes;
>
> ---> porém estou na dúvida se seria realmente necessário que essa assunção 
> chegasse ao nível sintático dos axiomas.

Você conhece aquela história sobre o monoteísta ser um ateu
empedernido mas inconsistente, que abriu mão de todos os deuses do
panteão, menos um?  A insistência do lógico *não-livre* acerca da
existência de "pelo menos um objeto no domínio" é tudo menos
*natural*...  No meu entendimento, ela surge ou deveria surgir como
consequência de uma hipótese presente na teoria (ou na meta-teoria,
quando a teoria não é suficientemente expressiva).  Cancelada a dita
hipótese, estamos livres para _aceitar o vazio_ nas nossas vidas.

{}s,
Joao Marcos

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LOGICA-L
Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica 

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Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Anderson Nakano]

Olá a todos,

Obrigado pela discussão. Minha compreensão é a de que a teoria dos 
conjuntos, tal como pensada por Zermelo, não precisa ser necessariamente 
pensada como uma teoria inscrita num sistema de lógica (p. ex., a lógica 
quantificacional de primeira ordem). Se ela for inscrita num sistema de 
lógica (quantificacional de primeira ordem, por exemplo), é a *convenção* 
de que os domínios de interpretação não são vazios que representa, no 
sistema lógico, que o axioma é satisfeito. Não é necessário se pensar que 
um axioma da teoria dos conjuntos se traduza em uma *well-formed formula* 
da lógica formal. O axioma pode ser satisfeito por outras restrições do 
sistema formal que precedem a construção de teorias nele inscritas.

Abraço,

Anderson

Em terça-feira, 10 de outubro de 2023 às 23:50:54 UTC-3, Joao Marcos 
escreveu:

> Gostei muito destes dois dedos de prosa!
>
> > Acho que de fato o "axioma do vazio" (existe o conjunto vazio) não é
> > necessário em ZF, por conta de que a lógica clássica pressupõe domínios 
> não
> > vacios. O que fica evidente na definição de modelo, onde se exige que os
> > domínios dos modelos sejam não vazios, e levando em consideração que ZF é
> > uma teoria pura (como já falaram anteriormente), qualquer domínio de
> > interpretação deve ter pelo menos um conjunto, e pelo axioma de
> > separação
>
> Hu... E quem vem primeiro? Uma dada semântica para uma teoria de
> primeira ordem com igualdade será correta/sound para uma lógica que
> tem (∃x)x=x como teorema sse ela exigir que os domínios das
> interpretações sejam não vazios. Não podemos pensar, assim, que esta
> é a _razão_ pela qual a lógica clássica faz esta bendita pressuposição
> sobre a não-vacuidade dos domínios? Numa lógica que não seja
> constrangida por tal pressuposto existencial o "normal" não seria que
> os domínios das estruturas de interpretação fossem conjuntos
> arbitrários?
>
> Quando uma dada teoria tem um símbolo de constante qualquer, a
> semântica "standard" poderá justificar: aí está a razão, precisamos de
> um objeto no domínio para interpretar este símbolo de constante. Mas
> neste caso esbarramos em outra pressuposição da semântica "standard",
> a saber, a pressuposição de que as funções de interpretação sejam
> totais (e isto se aplica em particular à operação nulária que
> interpreta o dito símbolo de constante). Como o Henrique já apontou,
> aqui esbarramos na pressuposição de que "todos os termos denotam".
> Mas será que a gente já não sabe, tendo em vista todo o trabalho feito
> nos últimos anos formalizando a noção de *computabilidade*, que no
> mundo real não dá para escapar de _funções parciais_ (que
> eventualmente farão com que alguns termos não denotem)?
>
> Para "facilitar a vida", de todo modo, os algebristas parecem ter
> imposto a convenção dos *domínios não-vazios*, mesmo quando a
> assinatura de suas teorias não contêm símbolos de constante. Será que
> a semântica lógica clássica ---the new kid on the block--- nada mais
> fez do que imitar servilmente as estruturas algébricas que já andavam
> por aí antes de ela chegar?
>
> A propósito, alguém conhece livros-texto de Lógica que _iniciem_ por
> uma apresentação inteiramente *formal* que considere:
> (i) lógicas livres, com domínios eventualmente vazios?
> (ii) símbolos de função interpretados como funções parciais sobre o 
> domínio?
>
> > No livro do Mendelson ("Introduction to Mathematica Logic", 5ed, 2010), a
> > sessão 2.16 fala sobre "Quantification Theory Allowing Empty Domains". 
> Acho
> > que essa sessão pode ser de interesse para o que se está discutindo aqui.
>
> Bem lembrado!
>
> []s, Joao Marcos
>
> -- 
> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
>

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Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Joao Marcos]

Gostei muito destes dois dedos de prosa!

> Acho que de fato o "axioma do vazio" (existe o conjunto vazio) não é
> necessário em ZF, por conta de que a lógica clássica pressupõe domínios não
> vacios. O que fica evidente na definição de modelo, onde se exige que os
> domínios dos modelos sejam não vazios, e levando em consideração que ZF é
> uma teoria pura (como já falaram anteriormente), qualquer domínio de
> interpretação deve ter pelo menos um conjunto, e pelo axioma de
> separação

Hu...  E quem vem primeiro?  Uma dada semântica para uma teoria de
primeira ordem com igualdade será correta/sound para uma lógica que
tem (∃x)x=x como teorema sse ela exigir que os domínios das
interpretações sejam não vazios.   Não podemos pensar, assim, que esta
é a _razão_ pela qual a lógica clássica faz esta bendita pressuposição
sobre a não-vacuidade dos domínios?  Numa lógica que não seja
constrangida por tal pressuposto existencial o "normal" não seria que
os domínios das estruturas de interpretação fossem conjuntos
arbitrários?

Quando uma dada teoria tem um símbolo de constante qualquer, a
semântica "standard" poderá justificar: aí está a razão, precisamos de
um objeto no domínio para interpretar este símbolo de constante.  Mas
neste caso esbarramos em outra pressuposição da semântica "standard",
a saber, a pressuposição de que as funções de interpretação sejam
totais (e isto se aplica em particular à operação nulária que
interpreta o dito símbolo de constante).  Como o Henrique já apontou,
aqui esbarramos na pressuposição de que "todos os termos denotam".
Mas será que a gente já não sabe, tendo em vista todo o trabalho feito
nos últimos anos formalizando a noção de *computabilidade*, que no
mundo real não dá para escapar de _funções parciais_ (que
eventualmente farão com que alguns termos não denotem)?

Para "facilitar a vida", de todo modo, os algebristas parecem ter
imposto a convenção dos *domínios não-vazios*, mesmo quando a
assinatura de suas teorias não contêm símbolos de constante.  Será que
a semântica lógica clássica ---the new kid on the block--- nada mais
fez do que imitar servilmente as estruturas algébricas que já andavam
por aí antes de ela chegar?

A propósito, alguém conhece livros-texto de Lógica que _iniciem_ por
uma apresentação inteiramente *formal* que considere:
(i) lógicas livres, com domínios eventualmente vazios?
(ii) símbolos de função interpretados como funções parciais sobre o domínio?

> No livro do Mendelson ("Introduction to Mathematica Logic", 5ed, 2010), a
> sessão 2.16 fala sobre "Quantification Theory Allowing Empty Domains". Acho
> que essa sessão pode ser de interesse para o que se está discutindo aqui.

Bem lembrado!

[]s, Joao Marcos

-- 
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

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Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

['Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L]

Olá

Obrigado pelos comentários! E pela referência principalmente.

Este fio de mensagens ficou bem interessante, obrigado a todos de novo.

Em tempo: eu agradeci a Lídia pela palestra mas esqueci de agradecer a Gisele e 
ao Encontro Brasileiro de Filosofas Analíticas pela organização da mesa, muito 
bom ver jovens lógicas trabalhando.

Abraços

[]s Samuel


- Mensagem original -
De: Juan Carlos Agudelo Agudelo 
Para: Samuel Gomes da Silva 
Cc: Daniel Durante , Walter Carnielli 
, Lista Lógica , Joao Marcos 

Enviadas: Tue, 10 Oct 2023 10:52:50 -0300 (BRT)
Assunto: Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

Bom dia para tod@s,

Acho que de fato o "axioma do vazio" (existe o conjunto vazio) não é
necessário em ZF, por conta de que a lógica clássica pressupõe domínios não
vacios. O que fica evidente na definição de modelo, onde se exige que os
domínios dos modelos sejam não vazios, e levando em consideração que ZF é
uma teoria pura (como já falaram anteriormente), qualquer domínio de
interpretação deve ter pelo menos um conjunto, e pelo axioma de
separação

A dedução do axioma do vazio pode se obter particularizando sobre o axioma
de separação, usando qualquer variável (que representa um conjunto
arbitrário) e usando uma fórmula contraditória (por exemplo P(x) := x \neq
x).

No livro do Mendelson ("Introduction to Mathematica Logic", 5ed, 2010), a
sessão 2.16 fala sobre "Quantification Theory Allowing Empty Domains". Acho
que essa sessão pode ser de interesse para o que se está discutindo aqui.

Abraços,
Juan Carlos


On Mon, Oct 9, 2023 at 1:47 PM 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L <
logica-l@dimap.ufrn.br> wrote:

> Obrigado Henrique, obrigado Daniel,
>
> Achei legal isso de "teoria impura" (!!!), vou pensar depois com calma.
>
> Obrigado mesmo !
>
> Pelo visto a observação do aluno tem sim "alguma graça", hehe.
>
> Abraços
>
> []s  Samuel
>
> --
> *De: *"Daniel Durante" 
> *Para: *"Walter Carnielli" 
> *Cc: *"samuel" , "Lista Lógica" ,
> "Joao Marcos" 
> *Enviadas: *Segunda-feira, 9 de outubro de 2023 15:38:01
> *Assunto: *Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica
>
> Fala Samuel, Walter e Henrique,
>
> O estudante é criativo ,mas está enganado: una das leis da Igualdade diz
> que "qualquer coisa é igual a si própria",  mas não diz que existe algo.
>
>
> É Walter, mas se esta lei da igualdade está na lógica clássica, então tem
> uma prova de duas linhas do argumento
>
> Vx(x=x)  |–  Ex(x=x)
>
> Aliás, na lógica clássica em geral vale:
>
> (1) |-VxPx => |-ExPx
>
> Ou seja, na lógica clássica, se uma dada propriedade 'P' vale para
> qualquer um, então existe alguém que a instancia.
>
> Aí, então, eu acho que o estudante está certo em dispensar o axioma, desde
> que aceite a lógica clássica.
>
> Mas o que eu acho mais interessante ainda que isso é pensar no contrário.
> Será que tem algum teorema existencial que não é universal na lógica
> clássica? Será que vale:
>
> (2) |-ExPx => |-VxPx
>
> Na lógica clássica, “infelizmente”, (2)  não vale. Existem teoremas
> clássicos existenciais cujas contrapartes universais não são teoremas
> clássicos. E  digo infelizmente  porque eu acho isso é MUITO estranho.
>
> Não deveria ser papel da  lógica postular a existência de coisas
> específicas. Esse, me parece, é um papel das teorias, não das lógicas. A
> teoria de conjuntos (ou qualquer outra  teoria), me parece, pode postular a
> existência de alguma coisa que seja diferente de todas as outras. (Existe o
> conjunto vazio, existem unicórnios,...). Mas se alguma lógica faz isso, me
> parece que ela está extrapolando seu papel. A lógica deveria cuidar do que
> é comum a todos, do que é universal.
>
> É como se a lógica clássica fosse meio elitista, preconceituosa, como se
> ela discriminasse os indivíduos.
>
> A lógica intuicionista, por exemplo, não é assim elitista. Nela vale (2).
> Todo teorema existencial é também universal. Não existe discriminação
> intuicionista entre os indivíduos, só discriminação clássica.
>
> Então, todos os exemplos de teoremas existenciais ExP(x) tais que a
> contraparte universal VxP(x) não é teorema, são aqueles casos estranhos (e
> duvidosos ?) de teoremas clássicos que não são teoremas intuicionistas.
>
> Aqui  um exemplo que o João Marcos me mostrou certa vez:
>
> (3) Ex(P(x) -> VyP(y))
>
> (4) Vx(P(x) -> VyP(y))
>
> (3) é teorema clássico, mas (4) não é.
>
> Só que (3) não é teorema intuicionista. Então (3) não é nada mais que um
> modo estranho de afirmar o princípio do terceiro excluído.
>
> Enfim, voltando para a questão do Samu

Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Juan Carlos Agudelo Agudelo]

Bom dia para tod@s,

Acho que de fato o "axioma do vazio" (existe o conjunto vazio) não é
necessário em ZF, por conta de que a lógica clássica pressupõe domínios não
vacios. O que fica evidente na definição de modelo, onde se exige que os
domínios dos modelos sejam não vazios, e levando em consideração que ZF é
uma teoria pura (como já falaram anteriormente), qualquer domínio de
interpretação deve ter pelo menos um conjunto, e pelo axioma de
separação

A dedução do axioma do vazio pode se obter particularizando sobre o axioma
de separação, usando qualquer variável (que representa um conjunto
arbitrário) e usando uma fórmula contraditória (por exemplo P(x) := x \neq
x).

No livro do Mendelson ("Introduction to Mathematica Logic", 5ed, 2010), a
sessão 2.16 fala sobre "Quantification Theory Allowing Empty Domains". Acho
que essa sessão pode ser de interesse para o que se está discutindo aqui.

Abraços,
Juan Carlos


On Mon, Oct 9, 2023 at 1:47 PM 'Samuel Gomes da Silva' via LOGICA-L <
logica-l@dimap.ufrn.br> wrote:

> Obrigado Henrique, obrigado Daniel,
>
> Achei legal isso de "teoria impura" (!!!), vou pensar depois com calma.
>
> Obrigado mesmo !
>
> Pelo visto a observação do aluno tem sim "alguma graça", hehe.
>
> Abraços
>
> []s  Samuel
>
> --
> *De: *"Daniel Durante" 
> *Para: *"Walter Carnielli" 
> *Cc: *"samuel" , "Lista Lógica" ,
> "Joao Marcos" 
> *Enviadas: *Segunda-feira, 9 de outubro de 2023 15:38:01
> *Assunto: *Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica
>
> Fala Samuel, Walter e Henrique,
>
> O estudante é criativo ,mas está enganado: una das leis da Igualdade diz
> que "qualquer coisa é igual a si própria",  mas não diz que existe algo.
>
>
> É Walter, mas se esta lei da igualdade está na lógica clássica, então tem
> uma prova de duas linhas do argumento
>
> Vx(x=x)  |–  Ex(x=x)
>
> Aliás, na lógica clássica em geral vale:
>
> (1) |-VxPx => |-ExPx
>
> Ou seja, na lógica clássica, se uma dada propriedade 'P' vale para
> qualquer um, então existe alguém que a instancia.
>
> Aí, então, eu acho que o estudante está certo em dispensar o axioma, desde
> que aceite a lógica clássica.
>
> Mas o que eu acho mais interessante ainda que isso é pensar no contrário.
> Será que tem algum teorema existencial que não é universal na lógica
> clássica? Será que vale:
>
> (2) |-ExPx => |-VxPx
>
> Na lógica clássica, “infelizmente”, (2)  não vale. Existem teoremas
> clássicos existenciais cujas contrapartes universais não são teoremas
> clássicos. E  digo infelizmente  porque eu acho isso é MUITO estranho.
>
> Não deveria ser papel da  lógica postular a existência de coisas
> específicas. Esse, me parece, é um papel das teorias, não das lógicas. A
> teoria de conjuntos (ou qualquer outra  teoria), me parece, pode postular a
> existência de alguma coisa que seja diferente de todas as outras. (Existe o
> conjunto vazio, existem unicórnios,...). Mas se alguma lógica faz isso, me
> parece que ela está extrapolando seu papel. A lógica deveria cuidar do que
> é comum a todos, do que é universal.
>
> É como se a lógica clássica fosse meio elitista, preconceituosa, como se
> ela discriminasse os indivíduos.
>
> A lógica intuicionista, por exemplo, não é assim elitista. Nela vale (2).
> Todo teorema existencial é também universal. Não existe discriminação
> intuicionista entre os indivíduos, só discriminação clássica.
>
> Então, todos os exemplos de teoremas existenciais ExP(x) tais que a
> contraparte universal VxP(x) não é teorema, são aqueles casos estranhos (e
> duvidosos ?) de teoremas clássicos que não são teoremas intuicionistas.
>
> Aqui  um exemplo que o João Marcos me mostrou certa vez:
>
> (3) Ex(P(x) -> VyP(y))
>
> (4) Vx(P(x) -> VyP(y))
>
> (3) é teorema clássico, mas (4) não é.
>
> Só que (3) não é teorema intuicionista. Então (3) não é nada mais que um
> modo estranho de afirmar o princípio do terceiro excluído.
>
> Enfim, voltando para a questão do Samuel, qualquer interpretação clássica
> tem o domínio não vazio. Isso significa que não há teorias clássicas cujo
> universo  do discurso seja vazio. Todas as teorias clássicas são habitadas.
>
> Isso significa que nenhuma teoria PURA precisa estipular a existência da
> categoria de coisas sobre a qual  teoriza. Esta existência é dada pela
> lógica.
>
> Então, se  ZFC é uma teoria de primeira ordem clássica que só fala de
> conjuntos, não fala de outras coisas, se nem tem um predicado “É_Conjunto”
> porque só pode ter conjunto no domínio, então ela não precisa mesmo de um
> axioma para postular a existência 

Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Daniel Durante]

Fala Samuel, Walter e Henrique,

> O estudante é criativo ,mas está enganado: una das leis da Igualdade diz que 
> "qualquer coisa é igual a si própria",  mas não diz que existe algo.

É Walter, mas se esta lei da igualdade está na lógica clássica, então tem uma 
prova de duas linhas do argumento

Vx(x=x)  |–  Ex(x=x)

Aliás, na lógica clássica em geral vale:

(1) |-VxPx => |-ExPx

Ou seja, na lógica clássica, se uma dada propriedade 'P' vale para qualquer um, 
então existe alguém que a instancia.

Aí, então, eu acho que o estudante está certo em dispensar o axioma, desde que 
aceite a lógica clássica.

Mas o que eu acho mais interessante ainda que isso é pensar no contrário. Será 
que tem algum teorema existencial que não é universal na lógica clássica? Será 
que vale:

(2) |-ExPx => |-VxPx

Na lógica clássica, “infelizmente”, (2)  não vale. Existem teoremas clássicos 
existenciais cujas contrapartes universais não são teoremas clássicos. E  digo 
infelizmente  porque eu acho isso é MUITO estranho.

Não deveria ser papel da  lógica postular a existência de coisas específicas. 
Esse, me parece, é um papel das teorias, não das lógicas. A teoria de conjuntos 
(ou qualquer outra  teoria), me parece, pode postular a existência de alguma 
coisa que seja diferente de todas as outras. (Existe o conjunto vazio, existem 
unicórnios,...). Mas se alguma lógica faz isso, me parece que ela está 
extrapolando seu papel. A lógica deveria cuidar do que é comum a todos, do que 
é universal.

É como se a lógica clássica fosse meio elitista, preconceituosa, como se ela 
discriminasse os indivíduos.

A lógica intuicionista, por exemplo, não é assim elitista. Nela vale (2). Todo 
teorema existencial é também universal. Não existe discriminação intuicionista 
entre os indivíduos, só discriminação clássica.

Então, todos os exemplos de teoremas existenciais ExP(x) tais que a contraparte 
universal VxP(x) não é teorema, são aqueles casos estranhos (e duvidosos ?) de 
teoremas clássicos que não são teoremas intuicionistas.

Aqui  um exemplo que o João Marcos me mostrou certa vez:

(3) Ex(P(x) -> VyP(y))

(4) Vx(P(x) -> VyP(y))

(3) é teorema clássico, mas (4) não é.

Só que (3) não é teorema intuicionista. Então (3) não é nada mais que um modo 
estranho de afirmar o princípio do terceiro excluído.

Enfim, voltando para a questão do Samuel, qualquer interpretação clássica tem o 
domínio não vazio. Isso significa que não há teorias clássicas cujo universo  
do discurso seja vazio. Todas as teorias clássicas são habitadas.

Isso significa que nenhuma teoria PURA precisa estipular a existência da 
categoria de coisas sobre a qual  teoriza. Esta existência é dada pela lógica.

Então, se  ZFC é uma teoria de primeira ordem clássica que só fala de 
conjuntos, não fala de outras coisas, se nem tem um predicado “É_Conjunto” 
porque só pode ter conjunto no domínio, então ela não precisa mesmo de um 
axioma para postular a existência de conjuntos. Sua existência é garantida pela 
lógica clássica.

Agora se a teoria for impura, se admitir outras coisas, então pode não haver 
conjuntos e ela precisa postular de alguma maneira a existência de conjuntos.

Mas veja. Não há nenhum drama aqui. Em qualquer dos casos a existência de 
conjuntos é uma postulação nossa. Seja explicitamente em um axioma da teoria, 
seja implicitamente restringindo a abrangência dos domínios aceitáveis.

Saudações,
Daniel.

-
Departamento de Filosofia - (UFRN)
http://danieldurante.weebly.com 



> O axioma de Kunen assevera a existência.
> 
> Abs,
> 
> W.
> 
> 
> Em seg., 9 de out. de 2023 13:57, 'samuel' via LOGICA-L 
> mailto:logica-l@dimap.ufrn.br>> escreveu:
>> Oi gente,
>> 
>> Aproveitando pra comentar da dúvida que eu apresentei na apresentação da 
>> Lidia Batinga (que pro framework dela
>> deu pra ver que a resposta era "sim").
>> 
>> Aí, todo mundo pode dar aqui um pitaco que eu estou curioso com isso já faz 
>> uns três anos.
>> 
>> Lá vai:
>> 
>> O primeiro axioma de Teoria dos Conjuntos, em muitos livros, é o Axioma do 
>> Vazio:
>> 
>> "Existe x tal que para todo y, y não pertence a x"
>> 
>> (que depois é provado ser o único nessas condições pelo Axioma da Separação).
>> 
>> Pois bem: no livro do Kunen dos anos 80 (referência clássica em conjuntos), 
>> o primeiro axioma
>> é um "axioma de existência de conjuntos":
>> 
>> "Existe x tal que x = x"
>> 
>> (como qualquer coisa é igual a si mesmo, o axioma essencialmente diz que 
>> existe uma "qualquer coisa" pra ser igual a si mesma).
>> 
>> Dada a existência de um conjunto, dada pelo axioma acima, e o Axioma de 
>> Separação, obtemos o conjunto vazio separando,
>> nesse x que foi dito existir digamos, o subconjunto
>> 
>> y = {z pertencente a x   | z é diferente de z   }
>> 
>> e aí esse y não tem elementos (dado que nenhum z satisfaz o pedido) e por 
>> unicidade (dada por Separação) ele é o vazio, OK.
>> 
>> Em resumo, pelo que vocês vêm acima, na presença do