Re: OBM - Nivel Universitario
On Wed, Nov 28, 2001 at 07:42:38PM -0200, Felipe Pina wrote: Gostaria de saber quando sai o resultado do nivel universitario da OBM. A divulgação do resultado final da OBM, todos os níveis, está prevista para 6a feira, 7/12. []s, N.
Demonstracao do volume/área da esfera
Olás. Obrigado pelas respostas sobre o quadrado repartido. Alguem poderia me demonstrar a formula de como encontrar a área e o volume de uma esfera? Encontrei uma demonstracao na Internet, a Demonstracao de Arquimedes (http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat01193991/alun os/sanjul/gordo/arquim.htm), mas creio haver outro modo de demonstrar, que não o citado, e mais simples que o mesmo. []'s Ricardo Miranda M [EMAIL PROTECTED]
Re: Não deveria existir multiplicação por 0
Multiplicação e adição são operações, i.e., são funções que associam, a cada par de números, um número. Como 0 é um número, não podemos desprezá-lo, proibindo-os de multiplicar alguém. O fato 0x=0 para todo x, não leva a contradição nenhuma. Ao contrário, prova-se que 0x=0. Cuidado, a matemática é cautelosa. Lembre-se: divisão e subtração não são (a princípio) operações. a/b não é uma operação, como a+b, mas é uma abreviatura para: um número x t.q. bx=a. Esse número pode não existir, que é o caso de x/0, para qualquer x. Como eu disse, 0x=0 pode ser provado a partir das propriedades seguintes (válidas para inteiros, racionais e reais): 1. comutatuvidade: a+b=b+a, para todo a, b. ab=ba, para todo a,b 2.associatividade: (a+b)+c=a+(b+c) e (ab)c=a(bc), para todo a,b,c 3. Elemento neutro (da adição): Existe um número x t.q. x+y=y, para todo y (esse x é o famoso 0) 4. Elemento oposto: Para todo x existe y t.q. x+y=0 (costumamos chamar y de -x) 5.Distributividade: x(a+b)=xa+xb Prova de que 0x=0: Por 1, 0x=x0. Como 0=0+0 (por 3), x0=x(0+0)=x0+x0 (por 5). Por 4, existe (-x0), t.q. x0+(-x0)=0. Mas, como x0=x0+x0, temos 0=x0+(-x0)=x0+x0+(-x0)=x0+(x0+(-x0))(por 2). Mas x0+(x0+(-x0))=x0+0=x0. Juntando as igualdades, chegamos em x0=0. Se vc não quer x0=0, vc terá que mudar uma das 5 afirmações acima, o que não parece conveniente. From: Wassermam [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Não deveria existir multiplicação por 0 Date: Tue, 27 Nov 2001 13:48:00 -0200 Na minha opinião particular esta totalmente erronio multiplicação por 0, eu acho errado acho que não deveria existir Eu posso dar mil explicaçòes pq não mas vou dar poucas 0x=1 agora de uma olhada nisto, vc não pode dividir os 2 termos por 0 e se vc fazer o 0x=0 dai isto esta errado e eu 5tb não concordo que 0^0=1 pois todo numero elevado a 0 =1 Deveria ser 0 ou infinito pois 2.2.2= 2^3 2.2=2^2 2=2^1 1=2^0 notem que esta noção deum saiu deste conceito ve que quando mais diminui o elevado vai se dividindo por 0 Mas o 0 é um caso a parte 0=0^x 0.0.0=0^3 Dai como que podeira se dividir por 0 isto não tem lógica, então nunca deveria multiplicação por 0 pois dai vc não tem o processo inverço em uma equação algébrica, e pensando concretamente vc vai pegar uma pessoa e vai multiplicar por 0, isso não deveria existir. Desculpe pela falata de linearidade no pensamento mas acho que deu pra entender _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Reformulando um problema mal definido
Eu acho que poderia escrever: a é o menor n tal que cos(x)=(n-2)/3, para algum e b é o maior n tal que Deveria especificar se n é natural, inteiro ou real. Na verdade, se é inteiro ou real não vai fazer diferença. Mas se é natural, teríamos a=0, pois n não pode ser negativo. From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Reformulando um problema mal definido Date: Fri, 23 Nov 2001 00:35:44 -0200 Gustavo Nunes Martins wrote: Caiu uma pergunta num vestibular e desconfio que ela esteja mal-formulada. Vejam: = significa menor que ou igual a e k^y significa k elevado a y. Questao: Fato 1: Sabe-se que cos(x) = (n-2)/3 Fato 2: E sabido que a=n=b Calcule a+b -Fim da questao- Como os valores de cos(x) so podem estar entre -1 (inclusive) e +1 (inclusive), 'n' pode ser qualquer coisa entre -1 (inclusive) e +5 (inclusive). Essa conclusao sera chamada de conclusao 1. Nada do que foi escrito no enunciado impede que 'b' seja, por exemplo, 10^727, pois esse valor nunca contraria o fato 2, que e o fato de que so e sabido que 'b' e um numero qualquer maior ou igual a 'n'. Tambem pelo fato 2 e pela conclusao 1, o numero 'a' pode ser -10^747, pois e menor que qualquer valor possivel de 'n'. 'a' ainda pode ser -10^767 e muitos outros valores. Concluo que a+b nao tem um valor fixo. Acho a questao mal-feita. Quem a formulou nao perguntou o que desejava perguntar: ache a soma do menor valor possivel de 'n' com o maior valor possivel de 'n'. Conheco gente que resolveu essa questao que que o que foi informado era que 'a' era o minino valor possivel de 'n' e que 'b' era o maximo possivel. Como formular bem esta questao ultizilando apenas simbolos matematicos? Hum... A única maneira que me ocorre é: a=MIN(n) b=MAX(n) Creio q esta seja a forma correta. No entanto, por ser uma questão de um vestiba, não acredito ser a mais apropriada, afinal, os alunos de 2o grau não conhecem esta notação. (Para ser sincero, não estou muito seguro desta notação.) Não sei como faria isto só com notação p/vestibulandos... Eu usaria texto mesmo... []'s Alexandre Tessarollo _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Demonstracao do volume/área da esfera
O volume da esfera pode ser obtido através do uso de Cálculo Integral, bastando porém aplicar um princípio simples, vamos lá: Imagine o plano cartesiano e nele uma função y = r. Se fizermos uma rotação do gráfico entorno do eixo x obtemos um cinlindro, e seu volume é: V = pi * r^2 * h, onde h é uma altura que podemos fixar no eixo x. escrevendo de outra forma temos: V = pi* y^2 *h O princípio que quero mostrar é que volume é obtido pela rotação e devemos integrar o quadrado da função. Para a esfera temos: y = sqrt (r^2 - x^2) eq da circf na origem. V = pi * INT(-r; +r) y^2 dx INT (-r ; +r ) = integral de -r a +r V = pi* INT (-r; +r) r^2 - x^2 dx V = pi * [ r^2 * x - x^3/3] (-r; +r) V= pi* [ r^2 * (r) - (r)^3/3] - [r^2 * (-r) - (-r)^3/3] Simplificando a algebra acima, chegamos sem problemas que V = pi * 4/3 r^3(c.q.d) A área é obtida derivando o volume: A = dv/dr = pi * 4r^2 (c.q.d.) Espero que ajude Daniel O. Costa
Re: Não deveria existir multiplicação por 0
Exatamente isto que eu queria que percebessem, então daria pra adimitir que exite divisão por 0 só não pode dividir mas colocar em fração pode, por isso que exite multiplicação. Se eu estou errado me corrija. Alexandre Tessarollo wrote: Wassermam wrote: queria saber pq a definição de algo infinito é dado por 0/0, que todos falam que é um 8 deitado e cortado. Hum... Observe a equação 0x=0. Qualquer x que colocarmos servirá, certo? Pois então, tente isolar x. Vc fica com x=0/0. Lembra que QUALQUER x servia? Pois é, o 0/0 existe, só que não conseguimos DETERMINAR quanto é 0/0 (o nosso x). Daí dizermos que 0/0 é uma INDETERMINAÇÃO. Quanto ao infinito, vc devia estar se referindo a função y=1/x para x=0. Podemos até generalizar para y=k/x, k não nulo. Mas atenhamo-nos ao y=1/x por questões de praticidade. Vc deve saber que o gráfico desta função é uma hipérbole com os eixos cartesianos como assíntotas. Observando o gráfico dela, é fácil ver o que vou falar a seguir. Se vc já tem alguma intimidade com a função y=1/x, pule os 2 próximos parágrafos. Bem, se vc não conhece recomendo que procure saber um pouco mais sobre esta função, ela é muito interessante. A parte que nos cabe agora é o valor que ela assume para x=0. Bem, vamos fazer x ir para 0 pela direita, ou seja, vamos pegar valores POSITIVOS de x, cada vez menores, até chegar BEM perto de zero para ter uma idéia de como a função se comporta. Para x=0,1, y=10. x=0,0001, y=1. Para x=0,01, y = 1000...000. Olhando com carinho, vemos que, quanto menor o x, maior o y. Ou seja, quando x tende a zero pela direita, y tende a infinito. Se fizermos de maneira análoga, só que pela esquerda. Ou seja, tomando valores NEGATIVOS de x cada vez mais próximos de zero, veremos que acontece o mesmo que no caso anterior, só que os valores de y são todos negativos. Adaptando a conclusão anterior, temos que quando x tende a zero pela esquerda, y tende a menos infinito. Ou seja, quando x for zero, y teria um valor infinito, mas não sabemos se com sinal positivo ou negativo. Por isso dizemos que, quando x tende a zero, 1/x tende a infinito. Quanto ao oito deitado e cortado, bem, você deve estar falando do símbolo de infinito. Eu particularmente só conheço como oito deitado mesmo, não me lmbro deste corte q vc está falando. Mas trata-se apenas de um símbolo, um desenho escolhido para representar um idéia, assim como uma bolinha vazia foi escolhida para representar a idéia de nada, ou seja, o zero. Espero que tenha ajudado. :-) []'s Alexandre Tessarollo
Re: 0^0
Pq x^3= x.x.x x^2= x.x x^1= x x^0= 1 pois vai se dividindo por X Tem aquele outro jeito que nosso amigo usou X^0 = X^1-1 = X^1/X^1 Propriedade, divisão mantense a base subtrai-se os expoentes Felipe Pina wrote: Realmente eu estava pensando em termos de limites e nao tinha conhecimento desta definicao. A proposito, qual a motivacao para esta definicao 0^0 = 1 ? []s Felipe
Re: Binomial :)
é isso simeu pereguntei pra dividir somente pois estava errando as contas diretotava dando uma eq do quarto grau...depois que eu me liguei que estava errando num detalhe. abraços M. From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Binomial :) Date: Wed, 28 Nov 2001 22:53:47 -0200 Tente quebrar as expressões... daí, 1/(k-1)!*(n-k+1)! + 1/(k+1)!*(n-k-1)! = 2/k!*(n-k)!, ou seja, 1/(n-k)*(n-k+1) + 1/k(k+1) = 2/k*(n-k) que é equivalente a : k(k+1) + (n-k)*(n-k+1) = 2*(k+1)*(n-k+1)... k^2+k+n^2-nk+n-nk+k^2-k=2nk-2k^2+2k+2n-2k+2 ... 4k^2 + n^2 - 4nk - n -2=0 ... (2k-n)^2 = n+2, ou seja, temos que k = [n + sqrt(n+2)]/2. No entanto k é inteiro, então n = q^2 - 2 e assim , k = (q^2+q-2)/2. E ainda temos que ter kn, logo (q^2+q-2)/2 q^2 - 2 ... (q^2 - q -2)/20 , logo, q =3. Será que valem todos os n da forma q^2 - 2, com q natural =2 ?? Hum... Testei pra q = 3 e q = 4, valeu sim... basta provar por indução em q eu acho :)). Resposta : n = q^2 - 2 , onde q é natural =3. :) Abraços, Villard ! Comentem, por favor... -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 27 de Novembro de 2001 19:23 Por favor, alguém poderia me dizer qto vale ( n ) ( n )( n ) ( n ) ( )+( ) = 2( ) dividindo todo mundo por ( ) (k-1) (k+1)( k ) ( k ) onde ( n ) ( ) = n!/k!(n-k)! ( k ) obrigado abraços _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
9997-urgente!
Como faço para encontrar o menor múltiplo de 9997, que não seja 9997, e tenha todos os dígitos ímpares? abraços M.Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com
Pergunta intrigante
Há pouco tempo um aluno me perguntou sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 = 3r(xyz), x0, y0, z0 onde 3r está representando "raiz cúbica de" e = o sinal de "maior ou igual a" Nós já havíamos trabalhado por alto a desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube responder: "Ora, sabemos que a média aritmética de n termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para n, vale para 3. Resolvido o problema?" Minha opiniao PARTICULAR é q nao... É óbvio que eu nao defendo a teoria de que pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes demonstrá-lo... Mas também acho que deve haver bom senso na resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a dizer? Eu resolveria a questao da seguinte maneira: Seja nr(x) a raiz de índice n do número x. 1) Primeiro provemos que (x+y)/2 = 2r(xy) -- (x+y) = 2* 2r(xy) -- (x+y)^2 = 4xy -- (x-y)^2 = 0, que é sempre verdadeiro. Assim, analogamente (z+w)/2 = 2r(zw) e (c+d)/2 = 2r(cd) Seja (x+y+z+w)/4 = a. a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 = [2r(xy) + 2r(zw)]/2 Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem: a = (c+d)/2 = 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 4r(xyzw) Fazendo w = (x+y+z)/3, vem: a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w Como a = 4r(xyzw),entao: w = 4r(xyzw) -- w^4 =xyzw -- w^3 = xyz Ou: (x+y+z)/3 = 3r(xyz), c.q.d.
Putnam
Depois de amanha, sabado (1/12), ocorre a principal competicao de matematica universitaria dos estados unidos/canada (the willian lowell putnam competition). Eh uma prova longa (duas fases de 4hs acho, uma de manha e outra a tarde) totalizando 12 questoes. Seria legal se o pessoal da lista que participa desse tipo de olimpiada tentasse fazer as questoes e fosse colocando ideias/solucoes/comentarios na lista. Nao sei exatamente quando a prova estara disponivel, mas tmb seria legal que o primeiro que encontrasse a prova a colocasse na lista. Mudando um pouco de assunto, vcs ja devem ter notado que a minha solucao da questao 2000^2000 nao esta correta. Eu achei que era totalmente igual a (mais famosa) da imo. que envolve o 4^. Nao fiz a analise inicial de dispensar os 6000 zeros do final do no 2000^2000. Desse jeito, quem seguisse minhas ideias jamais concluiria que o numero pedido era menor que 13... Mas nao tem problema. Era soh olhar a solucao do Marcelo Rufino em outro email e ver o jeito certo de fazer :) Abracos, Marcio
Re: 9997-urgente!
Hum.. se servir só a resposta... é 9995
Achei com um programinha simples em mirc script :P
check-num {
var %a = 9997,
:start
inc %a 9997
if (0 isin %a) || (2 isin %a) || (4 isin %a) || (6 isin %a) || (8 isin
%a) { goto start }
else { echo -a found: %a }
}
At 15:49 29/11/2001 +, you wrote:
Como faço para encontrar o menor múltiplo de 9997, que não seja 9997, e
tenha todos os dígitos ímpares?
abraços
M.
--
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Against stupidity, the Gods themselves contend in vain,
Friedrich von Schiller's
-
[]'s
{O-Grande-Mentecapto}
[EMAIL PROTECTED]
Re: ajuda
Delta S = 200 3x4,5 = 13,5 13,5t = 11t + 200 2,5t= 200 t= 200/2.5 t= 80 80 x 13,5 = 1080 passos [EMAIL PROTECTED] wrote: Um filho sai correndo e quando deu 200 passos o pai parte ao seu encalço. Enquanto o pai dá 3 passos, o filho dá 11 passos, porém 2 passos do pai valem 9 do filho. Quantos passos deverá dar o pai para alcançar o filho?
Por favor me ajude
Eu to pensando em parar de assinar o terra e também fazer um email separado pra listas de discussão Pediria que por favor o administrador quebrasse um galho pra mim e por favor mudasse meu email para [EMAIL PROTECTED] pois eu participo de varias listas de discusão e se for mudar uma por uma vai ser dificil Então por favor remova este e coloque este outro.
Re: Pergunta intrigante
Sauda,c~oes, Esta questão teria sido uma ótima ocasião para o candidato ganhar os pontos rapidamente. A demonstração que segue já apareceu numa RPM. Considere a desigualdade (pulo do gato para este nível) e^x = 1 + x, (*)para todo x em R. E e^x = 1 + x == x=0. Substitua x por a_i/A - 1, com i = 1,2,...,n em (*)e some os n resultados. Você chegará a 1 = G^n / A^n ou A = G. []'s Luis -Mensagem Original- De: Alexandre F. Terezan Para: OBM Enviada em: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2001 17:05 Assunto: Pergunta intrigante Há pouco tempo um aluno me perguntou sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 = 3r(xyz), x0, y0, z0 onde 3r está representando "raiz cúbica de" e = o sinal de "maior ou igual a" Nós já havíamos trabalhado por alto a desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube responder: "Ora, sabemos que a média aritmética de n termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para n, vale para 3. Resolvido o problema?" Minha opiniao PARTICULAR é q nao... É óbvio que eu nao defendo a teoria de que pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes demonstrá-lo... Mas também acho que deve haver bom senso na resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a dizer? Eu resolveria a questao da seguinte maneira: Seja nr(x) a raiz de índice n do número x. 1) Primeiro provemos que (x+y)/2 = 2r(xy) -- (x+y) = 2* 2r(xy) -- (x+y)^2 = 4xy -- (x-y)^2 = 0, que é sempre verdadeiro. Assim, analogamente (z+w)/2 = 2r(zw) e (c+d)/2 = 2r(cd) Seja (x+y+z+w)/4 = a. a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 = [2r(xy) + 2r(zw)]/2 Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem: a = (c+d)/2 = 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 4r(xyzw) Fazendo w = (x+y+z)/3, vem: a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w Como a = 4r(xyzw),entao: w = 4r(xyzw) -- w^4 =xyzw -- w^3 = xyz Ou: (x+y+z)/3 = 3r(xyz), c.q.d.
Re: 0^0
Sauda,c~oes,
Uma poderia ser a seguinte:
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n}{k} a^{n-k} b^k.
Faça b= - a, a != 0. Para n=0 o somatório vale
1. Daí define-se (a-a)^0 = 1.
Agora não vale perguntar por que {0}{0} = 1. ;-)
[]'s
Luis
-Mensagem Original-
De: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2001 19:48
Assunto: 0^0
Realmente eu estava pensando em termos de limites e nao tinha conhecimento
desta definicao.
A proposito, qual a motivacao para esta definicao 0^0 = 1 ?
[]s
Felipe
Re: ajuda
seja f a posicao do filho apos t unidades de tempo entao f = 200 + 11 * t ou seja, comeca com 200 passos de vantagem e anda a 11 passos por unidade de tempo. 2 passos do pai equivalem a 9 do filho, logo 3 do pai equivalem a 27/2 do filho. seja p a posicao do pai apos t unidades de tempo entao p = (27/2) * t para igualar as posicoes, f = p 200 + 11 * t = (27/2) * t (5/2) * t = 200 t = 80 logo o filho andou 80 * 11 = 880 passos durante este tempo o pai andou (27/2) * 80 = 1080 passos ( do filho ) durante este mesmo tempo ( 1080 = 880 + 200 ) isto equivale a (27/2) * (2/9) * 80 = 240 passos do pai At 04:57 PM 11/29/2001 -0500, you wrote: Um filho sai correndo e quando deu 200 passos o pai parte ao seu encalço. Enquanto o pai dá 3 passos, o filho dá 11 passos, porém 2 passos do pai valem 9 do filho. Quantos passos deverá dar o pai para alcançar o filho?
Re: Pergunta intrigante
Mas aí que está o grande problema... Se o candidato pudesse assumir um "É fácil ver que" e^x = 1 + x, tudo bem... Mas a meu ver nao pode... teria de provar tal desigualdade -Mensagem Original- De: Luis Lopes Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2001 21:00 Terezan Assunto: Re: Pergunta intrigante Sauda,c~oes, Esta questão teria sido uma ótima ocasião para o candidato ganhar os pontos rapidamente. A demonstração que segue já apareceu numa RPM. Considere a desigualdade (pulo do gato para este nível) e^x = 1 + x, (*)para todo x em R. E e^x = 1 + x == x=0. Substitua x por a_i/A - 1, com i = 1,2,...,n em (*)e some os n resultados. Você chegará a 1 = G^n / A^n ou A = G. []'s Luis -Mensagem Original- De: Alexandre F. Terezan Para: OBM Enviada em: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2001 17:05 Assunto: Pergunta intrigante Há pouco tempo um aluno me perguntou sobre uma questao do IME 2001, que pedia para demonstrar que (x + y + z)/3 = 3r(xyz), x0, y0, z0 onde 3r está representando "raiz cúbica de" e = o sinal de "maior ou igual a" Nós já havíamos trabalhado por alto a desigualdade das médias, daí ele me fez a pergunta que eu nao soube responder: "Ora, sabemos que a média aritmética de n termos é maior ou igual à média geométrica destes termos. Como vale para n, vale para 3. Resolvido o problema?" Minha opiniao PARTICULAR é q nao... É óbvio que eu nao defendo a teoria de que pra usar "Pitágoras" em uma prova temos de antes demonstrá-lo... Mas também acho que deve haver bom senso na resolucao de uma prova. O que vocês da lista têm a dizer? Eu resolveria a questao da seguinte maneira: Seja nr(x) a raiz de índice n do número x. 1) Primeiro provemos que (x+y)/2 = 2r(xy) -- (x+y) = 2* 2r(xy) -- (x+y)^2 = 4xy -- (x-y)^2 = 0, que é sempre verdadeiro. Assim, analogamente (z+w)/2 = 2r(zw) e (c+d)/2 = 2r(cd) Seja (x+y+z+w)/4 = a. a = [(x+y)/2 + (z+w)/2]/2 = [2r(xy) + 2r(zw)]/2 Se c = 2r(xy) e d = 2r(zw), vem: a = (c+d)/2 = 2r(cd) = 2r[2r(xy) * 2r(zw)] = 4r(xyzw) Fazendo w = (x+y+z)/3, vem: a = [x+y+z + (x+y+z)/3 ]/4 = (x + y + z)/3 = w Como a = 4r(xyzw),entao: w = 4r(xyzw) -- w^4 =xyzw -- w^3 = xyz Ou: (x+y+z)/3 = 3r(xyz), c.q.d.
