Re: ajuda
Use um pouquinho de Cálculo ... Considere f(x) = e^x - (1+x). Daí, f `(x) = e^x - 1. f ` (x) = 0 implica x=0. É fácil notar que x=0 é minimante de f, pois f ``(0) = 1 >0. Então f(0) = 0 é o menor valor que f(x) assume, logo f(x) = e^x - (1+x) >=0, e segue-se que e^x >= 1+x :)) Abraços, Villard -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:36Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
ajuda
Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: Teoria dos números
Pô pessoas, tentem indução... Eu fiz essa prova do IME. Sai fácil.(Tem que desenvolver o binômio de Newton, se não me engano, duas vezes echamar n de (a + b) no final, onde a é múltiplo de dez e b é, de fato, oúltimo algarismo.)[ ]'sFred- Original Message -From: <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Sunday, December 09, 2001 2:41 PMSubject: Teoria dos números> Olá colegas,> obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, ondeencontro a RPM 26 ?> Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei resolverusando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há outra resolução.> Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para todoK inteiro.> Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa opequeno teorema).> Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queriacobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ?> Obrigado pela atenção,> Raul>
Re: Teoria dos números
At 16:17 09/12/01 -0200, you wrote: >At 11:41 09/12/01 -0500, you wrote: >> Olá colegas, >> obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde >> encontro a RPM 26 ? >> Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei >> resolver usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há >> outra resolução. >> Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para >> todo K inteiro. >> Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa >> o pequeno teorema). >> Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria >> cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ? >> Obrigado pela atenção, >> Raul > >Se k é ímpar, k^5 é impar. Se k é par, k^5 é par. Logo k^5-k é par sempre. >Agora vamos mostrar que k^5-k é multiplo de 5. Divida k por 5. teremos >k=5a+b com 0<=b<=4. Então k^5-k=k(k^4-1)=(5a+b)[(5a+b)^4-1]. fazendo as >contas e testando os 5 valores possiveis para b, temos que k^5-k é >múltiplo de 5. (há várias outras maneiras de fazer isso sem usar teorema >de Fermat) > >Bruno Leite pensei em outra maneira de resolver isto. Temos que k(k^4-1) é múltiplo de 5 se e só se k(k^4-5k^2+4) é multiplo de 5. mas k(k^4-5k^2+4)=k(k^2-1)(k^2-4)=(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2), e o produto de 5 números consecutivos é múltipo de 5! Bruno Leite
Re: Teoria dos números
Pô pessoas, tentem indução... Eu fiz essa prova do IME. Sai fácil. (Tem que desenvolver o binômio de Newton, se não me engano, duas vezes e chamar n de (a + b) no final, onde a é múltiplo de dez e b é, de fato, o último algarismo.) [ ]'s Fred - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, December 09, 2001 2:41 PM Subject: Teoria dos números > Olá colegas, > obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde encontro a RPM 26 ? > Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei resolver usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há outra resolução. > Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para todo K inteiro. > Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa o pequeno teorema). > Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ? > Obrigado pela atenção, > Raul >
Re: Teoria dos números
O problema se reduz a verificar a validade da seguinte equação: K^5 mod 10 = K mod 10 onde "a mob b" é o resto da divisão inteira de a por b. A equação é equivalente a: (K mod 10)^5 mod 10 = K mod 10 Dessa forma testando todos os valores possíveis para (K mod 10) resolve o problema. Para facilitar as contas, (K^5 mod 10) é facilmente calculado da seguinte forma: K^5 mod 10 = (K mod 10).(((K mod 10)^2 mod 10)^2 mod 10) mod 10 Até mais [ Vinicius José Fortuna ] [ [EMAIL PROTECTED] ] [ Visite www.viniciusf.cjb.net ] On Sun, 9 Dec 2001 [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá colegas, > obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde encontro a >RPM 26 ? > Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei resolver usando o >pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há outra resolução. > Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para todo K inteiro. > Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa o pequeno >teorema). > Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria cobrar o >pequeno teorema de Fermat, ou será possível ? > Obrigado pela atenção, > Raul >
Torneios das Cidades
Como está cotado ultimamente e essa área de empréstimo de problemas está bem legal, quero dizer que tenho aqui problemas dos torneios das Cidades, desde a décima sétima competição até a vigesima segunda. Quem estiver interessado, pode pedir para mim pelo meu email pessoal, ok? Abraços Marcelo _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Teoria dos números
Bom, é claro que K^5 e K têm a mesma paridade, então sua diferença é par. Agora só falta verificar K^5=K (mod 5), que, como você falou, é um caso especial do pequeno teorema de Fermat. Mas não precisa conhecer o teorema: basta verificar para K=0,±1,±2, o que é bem fácil. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Domingo, 9 de Dezembro de 2001 15:50 Assunto: Teoria dos números Olá colegas, obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde encontro a RPM 26 ? Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei resolver usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há outra resolução. Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para todo K inteiro. Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa o pequeno teorema). Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ? Obrigado pela atenção, Raul
Re: Teoria dos números
Fala Raul, blzura? Seguinte, a RPM está no volume 46, se não me engano.É um pouquinho difícil consegui-la. Mas creio que mandando um email ou carta para o ime-usp vc consigaespero que alguém coloque o endereço. É verdade, pelo teorema de fermat seria muito mais simples resolveer a questão, mas observe: MUITO MAIS SIMPLES! tendo K^5 - K vc pode fatorar K(K^2+1)(K+1)(K-1) daí é so montar uma tabela de valores para K Vc tem que fixar no ultimo algarismo de K, pois ele vai definir tudo. Tente K=0,1,...,9 que são todos os algarismos e observe que funciona. É fácil ver que é divisível sempre por dois (pois tem dois caras consecutivos na história). Pra provar que é por cinco é só fazer o que eu falei acima. corrijam se eu estive4 errado abraços Marcelo >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Teoria dos números >Date: Sun, 09 Dec 2001 11:41:16 EST > > Olá colegas, > obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde >encontro a RPM 26 ? > Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei resolver >usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há outra >resolução. > Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para todo >K inteiro. > Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa o >pequeno teorema). > Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria >cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ? > Obrigado pela atenção, > Raul _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Teoria dos números
At 11:41 09/12/01 -0500, you wrote: > Olá colegas, > obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde > encontro a RPM 26 ? > Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei > resolver usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há > outra resolução. > Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para todo > K inteiro. > Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa o > pequeno teorema). > Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria > cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ? > Obrigado pela atenção, > Raul Se k é ímpar, k^5 é impar. Se k é par, k^5 é par. Logo k^5-k é par sempre. Agora vamos mostrar que k^5-k é multiplo de 5. Divida k por 5. teremos k=5a+b com 0<=b<=4. Então k^5-k=k(k^4-1)=(5a+b)[(5a+b)^4-1]. fazendo as contas e testando os 5 valores possiveis para b, temos que k^5-k é múltiplo de 5. (há várias outras maneiras de fazer isso sem usar teorema de Fermat) Bruno Leite
Teoria dos números
Olá colegas, obrigado pela atenção na questão de potências e, relativo a ela, onde encontro a RPM 26 ? Agora, teve uma questão do IME que um aluno me mostrou e só sei resolver usando o pequeno teorema de Fermat, gostaria de saber se há outra resolução. Trata-se de provar que K e K^5 terminam com o mesmo algarismo para todo K inteiro. Prova-se usando que K^5 - K é divisível por dois e por 5 (onde se usa o pequeno teorema). Acho que pode haver outra resolução pois não acredito que o IME queria cobrar o pequeno teorema de Fermat, ou será possível ? Obrigado pela atenção, Raul
Re: Potência infinita ?
At 11:28 09/12/01 -0200, you wrote: >- Original Message - >From: "Marcelo Souza" <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Sunday, December 09, 2001 9:10 AM >Subject: Re: Potência infinita ? > > > > Quer ter seu próprio endereço na Internet? > > Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. > > DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br > > > > > > > > > > > > Desculpa, não tinha lido a essencia da sua pergunta. > > > > vejamos x^x^...=k => x^k=k => x=raiz k-ésima de k > > Se vc mudar dois por quatro, vc na realidade, não mudou absolutamente >nada, > > visto que sqrt2 é o mesmo que raiz quarta de 4. Teoricamente, se vc ir > > substituindo k por números 3,4,5,6...cada vez terá um número menor para x, > > pois a sequencia 1, sqrt2,raiz cubica de 3, > > raiz quarta de 4...e assim por diante é decrescente a partir do terceiro > > termo. Isto é fácil de se provar por indução. Há um equivoco em dizer que >a > > potencia infinita pode valer 2 ou 4...A potencia infinita pode valer >quanto > > o cara que montou o problema quiser . Depende do que há do outro lado da > > igualdade. Isso determina o valor da potencia infinita. O fato de ser 2 ou >4 > > implica que valem, na realidade a mesma coisa o valor de x. O que há com o > > seu raciocinio, pelo menos é o que eu estou achando, é uma confusão de > > incognitas. > > se eu disser > > x^x^...=2 e x^x^...=4 aí é um absurdo, pois estou afirmando que 2=4...Vc > > deve estar confundindo as incognitas. > > A resposta disso é sempre x=raiz k-esima de k para x^x^x^...=k > > ok? > > Qquer equivoco, me perdoe > > Um abraço > > Marcelo > > >From: [EMAIL PROTECTED] > > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > > >Subject: Potência infinita ? > > >Date: Sun, 09 Dec 2001 01:49:34 EST > > > > > > Olá colegas da lista, > > > Vi uma resolução de uma interessante questão com potências que muito > > >depois já não me parece correta. Quero saber se há algum erro. Obrigado. > > > Trata-se de uma incógnita que está eleva a ela mesma infinitas vezes > > >(sem parênteses) igual a dois, isto é, x elevado a x, que este está >elevado > > >a x ... igual a dois. A solução vem da percepção de que pode-se esquecer >do > > >primeiro x (da base) e substituir o resto por dois. Têm se assim x ao > > >quadrado igual a dois. Até aí há algum erro ? O x pode valer + ou - a >raiz > > >de dois ? > > > O que me faz parecer que há um erro é que se mudarmos o problema > > >trocando o dois por quatro, a solução permanece a mesma. Assim essa > > >"potência infinita" seria algo indeterminado pois pode valer dois ou > > >quatro. > > > Obrigado pela atenção. > > > Raul > > > > > > _ > > Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp > > > > > >Na realidade só há sentido discutir as soluções para x^x^x^x=k, quando >k<= e. Para maiores detalhes consultar a RPM 26 no artigo "Perigos" da >Profissão do Prof. Vicenzo Bongiovanni. Um abraço a todos, >Poncio Mineiro Só completando: você só poderia substituir os "andares" a partir do segundo por 4 se de fato existisse x tal que a equação x^x...=4 tem solução. Daí vem o erro. Bruno Leite
Re: Potência infinita ?
- Original Message - From: "Marcelo Souza" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, December 09, 2001 9:10 AM Subject: Re: Potência infinita ? > Quer ter seu próprio endereço na Internet? > Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. > DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br > > > > > > Desculpa, não tinha lido a essencia da sua pergunta. > > vejamos x^x^...=k => x^k=k => x=raiz k-ésima de k > Se vc mudar dois por quatro, vc na realidade, não mudou absolutamente nada, > visto que sqrt2 é o mesmo que raiz quarta de 4. Teoricamente, se vc ir > substituindo k por números 3,4,5,6...cada vez terá um número menor para x, > pois a sequencia 1, sqrt2,raiz cubica de 3, > raiz quarta de 4...e assim por diante é decrescente a partir do terceiro > termo. Isto é fácil de se provar por indução. Há um equivoco em dizer que a > potencia infinita pode valer 2 ou 4...A potencia infinita pode valer quanto > o cara que montou o problema quiser . Depende do que há do outro lado da > igualdade. Isso determina o valor da potencia infinita. O fato de ser 2 ou 4 > implica que valem, na realidade a mesma coisa o valor de x. O que há com o > seu raciocinio, pelo menos é o que eu estou achando, é uma confusão de > incognitas. > se eu disser > x^x^...=2 e x^x^...=4 aí é um absurdo, pois estou afirmando que 2=4...Vc > deve estar confundindo as incognitas. > A resposta disso é sempre x=raiz k-esima de k para x^x^x^...=k > ok? > Qquer equivoco, me perdoe > Um abraço > Marcelo > >From: [EMAIL PROTECTED] > >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Subject: Potência infinita ? > >Date: Sun, 09 Dec 2001 01:49:34 EST > > > > Olá colegas da lista, > > Vi uma resolução de uma interessante questão com potências que muito > >depois já não me parece correta. Quero saber se há algum erro. Obrigado. > > Trata-se de uma incógnita que está eleva a ela mesma infinitas vezes > >(sem parênteses) igual a dois, isto é, x elevado a x, que este está elevado > >a x ... igual a dois. A solução vem da percepção de que pode-se esquecer do > >primeiro x (da base) e substituir o resto por dois. Têm se assim x ao > >quadrado igual a dois. Até aí há algum erro ? O x pode valer + ou - a raiz > >de dois ? > > O que me faz parecer que há um erro é que se mudarmos o problema > >trocando o dois por quatro, a solução permanece a mesma. Assim essa > >"potência infinita" seria algo indeterminado pois pode valer dois ou > >quatro. > > Obrigado pela atenção. > > Raul > > > _ > Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp > > Na realidade só há sentido discutir as soluções para x^x^x^x=k, quando k<= e. Para maiores detalhes consultar a RPM 26 no artigo "Perigos" da Profissão do Prof. Vicenzo Bongiovanni. Um abraço a todos, Poncio Mineiro
Re: Potência infinita ?
Desculpa, não tinha lido a essencia da sua pergunta. vejamos x^x^...=k => x^k=k => x=raiz k-ésima de k Se vc mudar dois por quatro, vc na realidade, não mudou absolutamente nada, visto que sqrt2 é o mesmo que raiz quarta de 4. Teoricamente, se vc ir substituindo k por números 3,4,5,6...cada vez terá um número menor para x, pois a sequencia 1, sqrt2,raiz cubica de 3, raiz quarta de 4...e assim por diante é decrescente a partir do terceiro termo. Isto é fácil de se provar por indução. Há um equivoco em dizer que a potencia infinita pode valer 2 ou 4...A potencia infinita pode valer quanto o cara que montou o problema quiser . Depende do que há do outro lado da igualdade. Isso determina o valor da potencia infinita. O fato de ser 2 ou 4 implica que valem, na realidade a mesma coisa o valor de x. O que há com o seu raciocinio, pelo menos é o que eu estou achando, é uma confusão de incognitas. se eu disser x^x^...=2 e x^x^...=4 aí é um absurdo, pois estou afirmando que 2=4...Vc deve estar confundindo as incognitas. A resposta disso é sempre x=raiz k-esima de k para x^x^x^...=k ok? Qquer equivoco, me perdoe Um abraço Marcelo >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Potência infinita ? >Date: Sun, 09 Dec 2001 01:49:34 EST > > Olá colegas da lista, > Vi uma resolução de uma interessante questão com potências que muito >depois já não me parece correta. Quero saber se há algum erro. Obrigado. > Trata-se de uma incógnita que está eleva a ela mesma infinitas vezes >(sem parênteses) igual a dois, isto é, x elevado a x, que este está elevado >a x ... igual a dois. A solução vem da percepção de que pode-se esquecer do >primeiro x (da base) e substituir o resto por dois. Têm se assim x ao >quadrado igual a dois. Até aí há algum erro ? O x pode valer + ou - a raiz >de dois ? > O que me faz parecer que há um erro é que se mudarmos o problema >trocando o dois por quatro, a solução permanece a mesma. Assim essa >"potência infinita" seria algo indeterminado pois pode valer dois ou >quatro. > Obrigado pela atenção. > Raul _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Potência infinita ?
Ultimamente ando com tempo para responder mensagens...hehehevantagens de férias Mas vamos lá: x^x^...=2 Esquece o primeiro x. A diante teríamos x^x^... de novo e isso é igual a 2. Logo, aquilo lah em cima é o mesmo que x^2=2 => x=sqrt2 abraços Marcelohehe...ultimamente ando com tempo para respo >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To:<[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Potência infinita ? >Date: Sun, 09 Dec 2001 01:49:34 EST > > Olá colegas da lista, > Vi uma resolução de uma interessante questão com potências que muito depois já não me parece correta. Quero saber se há algum erro. Obrigado. > Trata-se de uma incógnita que está eleva a ela mesma infinitas vezes (sem parênteses) igual a dois, isto é, x elevado a x, que este está elevado a x ... igual a dois. A solução vem da percepção de que pode-se esquecer do primeiro x (da base) e substituir o resto por dois. Têm se assim x ao quadrado igual a dois. Até aí há algum erro ? O x pode valer + ou - a raiz de dois ? > O que me faz parecer que há um erro é que se mudarmos o problema trocando o dois por quatro, a solução permanece a mesma. Assim essa "potência infinita" seria algo indeterminado pois pode valer dois ou quatro. > Obrigado pela atenção. > Raul Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com
