[obm-l] Re:
Voce conhece a desigualdade do rearranjo*? Eh uma das mais legais que eu ja vi. Alem de super util, ela tem um apelo intuitivo bem razoavel... E eh baseado nela que eu vou dar aqui a minha atual demonstracao favorita da desigualdade das medias.. Ainda nao vi isso escrito, portanto ha chances de eu estar me enganando em algo.. Gostaria que o pessoal desse uma lida a cata de erros! Vou provar aqui o caso n=3. Para o caso geral vc repete a mesma ideia, aumentando o numero de variaveis apenas.. Suponha, s.p.g (pois a desigualdade eh simetrica) que x>y>z (vou omitir o sinal de igual por preguica). Entao, x^(1/3) > y^(1/3) > z^(1/3). Pela desigualdade do rearranjo (do lado esq. vc tem 3 sequencias nao-crescentes, enquanto que no lado direito esse nao eh necessariamente o caso).: [x^(1/3) y^(1/3)z^(1/3)] [x^(1/3) y^(1/3) z^(1/3)] [x^(1/3) y^(1/3)z^(1/3)]>= [y^(1/3) z^(1/3) x^(1/3)] [x^(1/3) y^(1/3)z^(1/3)] [z^(1/3) x^(1/3) y^(1/3)] ou seja, x+y+z > 3(xyz)^(1/3). A igualdade vale se as tres sequencias do lado direito forem nao crescentes, i.e, se x=y=z. A notacao matricial acima tenta imitar um produto escalar (como no livro do Engel, pra quem conhece), no sentido que [a1a2a3] [b1b2b3] =a1b1c1+a2b2c2+a3b3c3 [c1c2c3] *A desigualdade do rearranjo (generalizada ?) diz que se (a_n), (b_n), (c_n) (podem ser mais sequencias) sao permutacoes das sequencias de reais positivos (x_n), (y_n), (z_n) entao dentre as somas do tipo: S = Soma_em_i:(a_i*b_i*c_i) a de valor maximo ocorre quando as sequencias (a_n), (b_n), (c_n) estao ordenadas igual (i.e, todas as tres monotonas crescentes ou todas decrescentes). O resultado pode ser estendido para um numero arbitrario de sequencias. O sentido intuitivo disso geralmente eh comentado com o nome de "algoritmo ganancioso". Por exemplo, suponha que vc tenha 3 caixas, com varias notas de 5, 10, 100 reais. Voce deve pegar um pacote de 3 notas de uma caixa, 4 da outra e 5 de outra. Feito isso, vc encontra tres maquinas multiplicadoras de dinheiro (horrivel essa neh? eh q essa eu tive de inventar :)). Cada uma soh pode ser usada com um pacote. A primeira multiplica qq quantia por 2, a 2a por 5 e a 3a por 10. Pergunta: Como vc deve fazer pra ganhar o maximo de dinheiro com essa brincadeira? Sem pensar mto, vc provavelmente pegaria um pacote de 5 notas de 100 e o colocaria na maquina que multiplica por 10.. Depois vc pegava um pacote de 4 de 10 e o colocaria na multiplicadora por 5.. Viu? Isso eh exatamente a desigualdade do rearranjo pra tres sequencias (cada uma com tres numeros). Fica aqui uma pergunta pro pessoal da lista: Embora eu ja tenha visto referencias a essa versao generalizada da desigualdade do rearranjo (com mais de duas sequencias), eu nao estou conseguindo formalizar uma prova pra isso.. Alguem pode me dar ideias? Abracos, Marcio - Original Message - From: <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, February 11, 2002 11:16 AM > Sejam x, y, z reais positivos. Prove: > > (x+y+z)/3 >= 3rd root de (xyz) > > Depois generalize para n reais. > O caso para n=2 eh o mais simples. > Como provar sem se basear neste caso? > Alguem usaria o Polinomio de Leibniz ? > > Abracos, > Asselin. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: continuacao
As matrizes nao parecem ter saido mto bem.. [x^(1/3) y^(1/3) z^(1/3)][x^(1/3) y^(1/3) z^(1/3)][x^(1/3) y^(1/3) z^(1/3)] >= [y^(1/3) z^(1/3) x^(1/3)][x^(1/3) y^(1/3) z^(1/3)][z^(1/3) x^(1/3) y^(1/3)]
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_ dúvida_trigonometria .
At 19:14 12/02/02 -0300, you wrote: >Mas como eh q vc DEFINE concavidade sem Calculo? Oi David, A definição de convexidade NAO depede de calculo. definimos que f é convexa em um intervalo I se para todo 0<=k<=1 e shttp://www.ime.usp.br/~brleite >-Mensagem original- >De: Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> >Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> >Data: Terça-feira, 12 de Fevereiro de 2002 08:46 >Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria. > > > >Excelente. > >Eu ja tinha constatado que se podia usar a desigualdade das medias para > >transferir o problema do produto de senos para a soma de senos. > >Mas dahi por diante, como se demonstra a desigualdade de Jensen e como sabe > >a concavidade do seno sem usar Calculo Diferencial? > >Bom, a concavidade do seno pode-se considerar como um "dado grafico" > >Mas valeu a elegancia da sua demonstracao. > >JP > > > > > >- Original Message - > >From: Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> > >To: <[EMAIL PROTECTED]> > >Sent: Monday, February 11, 2002 10:49 PM > >Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria. > > > > > >Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8 > >utilizando as desigualdades das médias e de Jensen. > > > >Só relembrando as duas desigualdades: > > > >A desigualdade das médias é a seguinte: dados n > >números reais não negativos, sua média aritmética é > >maior ou igual à média geométrica, com igualdade se, e > >somente se, todos os n números são iguais. > > > >A desigualdade de Jensen é a seguinte: seja f uma > >função com convexidade para baixo num intervalo. > >Então, dados n números pertencentes ao intervalo, a > >média aritmética das f's dos números é menor ou igual > >à f da média aritmética dos números. > > > >A função seno tem concavidade para baixo no intervalo > >[0;pi] e é não negativa nesse intervalo. Logo: > >sen a sen b sen c > > <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3 > > <= [sen((a+b+c)/3)]^3 > > = [sen((pi/2)/3)]^3 > > = 1/8 > > > >Bom, a solução acaba dependendo um pouco de cálculo > >para mostrar que a função sen tem concavidade para > >baixo. Existe uma solução totalmente elementar que > >prova que > > sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2 > >para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. Só que não lembro > >direito a identidade. > > > >[]'s > >Shine > > > > > >--- Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > >> 1) Usando as formulas de transformacao de soma em > >produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a: > > 4 sen 2a sen 2b sen 2c, > >> enquanto o lado direito eh igual a: > > 4 cos a cos b cos c. Verifique se confere. > >> 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a, > >etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) = > >sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com > >a+b+c=pi/2). > > > >> Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se > >puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de > >Lagrange mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c) > >com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8. > >> JP > >> > > > > > > > >__ > >Do You Yahoo!? > >Send FREE Valentine eCards with Yahoo! Greetings! > >http://greetings.yahoo.com > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >= > > > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > >= > > > > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Fisica em 82 e 88 no ITA
Alguem pode me passar as provas de física do ITA para ingresso nos anos de 1982 e 1988 (dizem que foram as mais dificeis)?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.
Mas como eh q vc DEFINE concavidade sem Calculo? -Mensagem original- De: Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Terça-feira, 12 de Fevereiro de 2002 08:46 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria. >Excelente. >Eu ja tinha constatado que se podia usar a desigualdade das medias para >transferir o problema do produto de senos para a soma de senos. >Mas dahi por diante, como se demonstra a desigualdade de Jensen e como sabe >a concavidade do seno sem usar Calculo Diferencial? >Bom, a concavidade do seno pode-se considerar como um "dado grafico" >Mas valeu a elegancia da sua demonstracao. >JP > > >- Original Message - >From: Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Monday, February 11, 2002 10:49 PM >Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria. > > >Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8 >utilizando as desigualdades das médias e de Jensen. > >Só relembrando as duas desigualdades: > >A desigualdade das médias é a seguinte: dados n >números reais não negativos, sua média aritmética é >maior ou igual à média geométrica, com igualdade se, e >somente se, todos os n números são iguais. > >A desigualdade de Jensen é a seguinte: seja f uma >função com convexidade para baixo num intervalo. >Então, dados n números pertencentes ao intervalo, a >média aritmética das f's dos números é menor ou igual >à f da média aritmética dos números. > >A função seno tem concavidade para baixo no intervalo >[0;pi] e é não negativa nesse intervalo. Logo: >sen a sen b sen c > <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3 > <= [sen((a+b+c)/3)]^3 > = [sen((pi/2)/3)]^3 > = 1/8 > >Bom, a solução acaba dependendo um pouco de cálculo >para mostrar que a função sen tem concavidade para >baixo. Existe uma solução totalmente elementar que >prova que > sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2 >para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. Só que não lembro >direito a identidade. > >[]'s >Shine > > >--- Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >> 1) Usando as formulas de transformacao de soma em >produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a: > 4 sen 2a sen 2b sen 2c, >> enquanto o lado direito eh igual a: > 4 cos a cos b cos c. Verifique se confere. >> 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a, >etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) = >sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com >a+b+c=pi/2). > >> Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se >puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de >Lagrange mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c) >com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8. >> JP >> > > > >__ >Do You Yahoo!? >Send FREE Valentine eCards with Yahoo! Greetings! >http://greetings.yahoo.com >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Livros importantes
Pisei na bola ao dizer que o representante da Dover eh a Livraria Castelo. Na realidade eh a Livraria Kosmos. Desculpem. Morgado (Rio) Rogério Possi Júnior wrote: > Se alguém se interessar ... moro em São Paulo ... e tenho o número 3. > É um excelente livro. > Qualquer coisa ... (0XX11) 9672-9256 > Abraços a todos da lista, Rogério. > > >> From: Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >> To: [EMAIL PROTECTED] >> Subject: Re: [obm-l] Livros importantes >> Date: Sun, 10 Feb 2002 17:21:09 -0300 >> >> O de numero 6 foi reeditado pel Dover. >> Pode ser comprado em www.dover.com ou, no representante brasileiro que >> eh a livraria castelo. >> Insisto que essas mensagens sobre livros deveriam sempre vir >> acompanhadas da cidade do remetente. >> Morgado, Rio de Janeiro. >> >> Pedro Costa wrote: >> >>> Alguém da lista tem esses livros: >>> >>> >>> >>> 1º ENGEL, Artur >>> >>> Mathematische Olympiade-aufgaben aus der UDSSR >>> >>> Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1979 >>> >>> >>> >>> 2º ENEL, Wolfgang e PIRL, Udo >>> >>> Mathematische Olympiade-Aufgaben mit lösungen >>> >>> Aulis Verlag Deubner,Köln,1979 >>> >>> >>> >>> 3º FADDEEV, D. e SOMINSKY >>> >>> Problems in Higher Algebra >>> >>> Mir Pubilshers, Moscow,1968 >>> >>> >>> >>> 4º KRECHMAR,V. A >>> >>> A Problem Book in Álgebra >>> >>> Mir Publishes,Moscou,1974 >>> >>> >>> >>> 5º KUTEPOV,A. e RUBANOV, A >>> >>> Problems in Geometry >>> >>> Mir Publishers,Moscow, 1975 >>> >>> >>> >>> 6º SHKLYARSKY, D.O. e outros >>> >>> Selected Problems and Theorems in Elememtary Mathematics >>> (Arithmetic and Álgebra) >>> >>> Mir Publishers,Moscow,1979 >>> >>> >>> >>> >>> >>> Se alguém tiver, por favor entre em contato no E-mail [EMAIL PROTECTED] >>> >> > > > > > _ > Join the world's largest e-mail service with MSN Hotmail. > http://www.hotmail.com > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Livros importantes
Se alguém se interessar ... moro em São Paulo ... e tenho o número 3. É um excelente livro. Qualquer coisa ... (0XX11) 9672-9256 Abraços a todos da lista, Rogério. >From: Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Livros importantes >Date: Sun, 10 Feb 2002 17:21:09 -0300 > >O de numero 6 foi reeditado pel Dover. >Pode ser comprado em www.dover.com ou, no representante brasileiro que >eh a livraria castelo. >Insisto que essas mensagens sobre livros deveriam sempre vir >acompanhadas da cidade do remetente. >Morgado, Rio de Janeiro. > >Pedro Costa wrote: > >>Alguém da lista tem esses livros: >> >> >> >>1º ENGEL, Artur >> >> Mathematische Olympiade-aufgaben aus der UDSSR >> >> Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1979 >> >> >> >>2º ENEL, Wolfgang e PIRL, Udo >> >> Mathematische Olympiade-Aufgaben mit lösungen >> >> Aulis Verlag Deubner,Köln,1979 >> >> >> >>3º FADDEEV, D. e SOMINSKY >> >> Problems in Higher Algebra >> >> Mir Pubilshers, Moscow,1968 >> >> >> >>4º KRECHMAR,V. A >> >> A Problem Book in Álgebra >> >> Mir Publishes,Moscou,1974 >> >> >> >>5º KUTEPOV,A. e RUBANOV, A >> >> Problems in Geometry >> >> Mir Publishers,Moscow, 1975 >> >> >> >>6º SHKLYARSKY, D.O. e outros >> >> Selected Problems and Theorems in Elememtary Mathematics >>(Arithmetic and Álgebra) >> >> Mir Publishers,Moscow,1979 >> >> >> >> >> >> Se alguém tiver, por favor entre em contato no E-mail [EMAIL PROTECTED] >> > _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
Marcelo, exatamente: 10km/h. :) Qual raciocínio vc utilizou? []´s. Asselin. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
Eu acho que a resposta eh 10 km/h abraços Marcelo >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: >Date: Mon, 11 Feb 2002 20:51:57 -0300 > >Ola. Mais uma pra vcs brincarem: >" > >Tres turistas, que possuem uma bicicleta, devem chegar ao centro turistico >no menor espaco de tempo (o tempo conta-se ate que o ultimo turista chegue >ao centro), >A bicicleta pode transportar apenas duas pessoas e, por isso, o terceiro >turista deve ir a pe. O 1o turista assume-se como ciclista. Este leva o >segundo turista ate um determinado ponto do caminho de onde este continua >a andar a pe e o ciclista regressa para transportar o terceiro. Encontrar >a velocidade media dos turistas, sendo a velocidade de quem vai a pe 4 km/h >e de quem vai na bicicleta 20 km/h. " > >Abracos. > >Asselin. >-- Mensagem original -- > > >Sendo esta uma desigualdade simétrica, assuma x>=y>=z eleve ao cubo ambos > >os > >lados, passe tudo para o lado esquerdo e rearranje de forma que as soma >das > > > >"parcelas", de acordo com as diferenças e produtos dados sejam sempre > >positivos...esta eh uma maneira um pouco suicida de se fazer já que eh >pouco > > > >criativa. > >abraços > >Marcelo > > > > > >>From: [EMAIL PROTECTED] > >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] > >>To: [EMAIL PROTECTED] > >>Date: Mon, 11 Feb 2002 11:16:57 -0300 > >> > >>Sejam x, y, z reais positivos. Prove: > >> > >>(x+y+z)/3 >= 3rd root de (xyz) > >> > >>Depois generalize para n reais. > >>O caso para n=2 eh o mais simples. > >>Como provar sem se basear neste caso? > >>Alguem usaria o Polinomio de Leibniz ? > >> > >>Abracos, > >>Asselin. > >> > >> > >> > >>-- > >>Use o melhor sistema de busca da Internet > >>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > >> > >> > >> > >>= > >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >>O administrador desta lista é<[EMAIL PROTECTED]> > >>= > > > > > >_ > >Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista é<[EMAIL PROTECTED]> > >= > > > > > >-- >Use o melhor sistema de busca da Internet >Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é<[EMAIL PROTECTED]> >= Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria.
Excelente. Eu ja tinha constatado que se podia usar a desigualdade das medias para transferir o problema do produto de senos para a soma de senos. Mas dahi por diante, como se demonstra a desigualdade de Jensen e como sabe a concavidade do seno sem usar Calculo Diferencial? Bom, a concavidade do seno pode-se considerar como um "dado grafico" Mas valeu a elegancia da sua demonstracao. JP - Original Message - From: Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, February 11, 2002 10:49 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida_trigonometria. Ah, pode-se demonstrar que sen a sen b sen c <= 1/8 utilizando as desigualdades das médias e de Jensen. Só relembrando as duas desigualdades: A desigualdade das médias é a seguinte: dados n números reais não negativos, sua média aritmética é maior ou igual à média geométrica, com igualdade se, e somente se, todos os n números são iguais. A desigualdade de Jensen é a seguinte: seja f uma função com convexidade para baixo num intervalo. Então, dados n números pertencentes ao intervalo, a média aritmética das f's dos números é menor ou igual à f da média aritmética dos números. A função seno tem concavidade para baixo no intervalo [0;pi] e é não negativa nesse intervalo. Logo: sen a sen b sen c <= [(sen a + sen b + sen c)/3]^3 <= [sen((a+b+c)/3)]^3 = [sen((pi/2)/3)]^3 = 1/8 Bom, a solução acaba dependendo um pouco de cálculo para mostrar que a função sen tem concavidade para baixo. Existe uma solução totalmente elementar que prova que sen a sen b sen c = (1/8)*(coisas) - (mais coisas)^2 para a,b,c positivos, a+b+c = pi/2. Só que não lembro direito a identidade. []'s Shine --- Jose Paulo Carneiro <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > 1) Usando as formulas de transformacao de soma em produto, voce mostra que o lado esquerdo eh igual a: 4 sen 2a sen 2b sen 2c, > enquanto o lado direito eh igual a: 4 cos a cos b cos c. Verifique se confere. > 2) A partir dahi (e usando sen 2a = 2 sen a cos a, etc.), a questao se resume a mostrar que f(a;b;c) = sen a sen b sen c <= 1/8 (naturalmente, com a+b+c=pi/2). > Agora, pergunto: posso usar Calculo Diferencial? Se puder, uma aplicacao simples de multiplicadores de Lagrange mostra que o unico ponto critico de f(a;b;c) com a restricao dada eh a=b=c=pi/6, onde f vale 1/8. > JP > __ Do You Yahoo!? Send FREE Valentine eCards with Yahoo! Greetings! http://greetings.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
