Re: [obm-l] recifense
1- sen1.sen3.sen 5sen87.sen89=sen1.sen3.sen 5 sen89.sen 2 .sen 4 .sen 6 sen 88/sen 2.sen 4 .sen 6 ...sen 88= sen 1. sen 89 .sen 2 sen 88 .sen3 .sen 87sen 44. sen 46 .sen 45/sen2 .sen 4 .sen6 sen88= sen1cos1.sen2.cos2.sen3.cos3...sen44.cos44.sen45/sen2. sen 4. sen6sen88= como sen 2a=2sena.cosa concluimos = (1/2)^44.sen 45= (1/2)^44,5 logo n=44,5 -Mensagem original-De: gabriel guedes <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Segunda-feira, 25 de Fevereiro de 2002 14:48Assunto: [obm-l] recifense Ola a todos, participei neste sabado da primeira fase da regional(pernambuco),e fiquei sem saber resolver algumas questões , nestas pedirei ajudade vocês: 1) sen1 * sen 3 * sen 5 * ...sen 89 =1/(2^n) 2) 1+ tgx^2 =2 quanto vale cos3x
Re: [obm-l] geometria-ajuda
Title: Re: [obm-l] geometria-ajuda Sinto muito, mas essa propriedade nao é verdadeira. O que é verdade eh o seguinte: Sendo O o centro de um octógono regular e se P pertence a uma circunferência de centro O então a soma dos quadrados das distâncias de P aos vértices do octógono é constante. Alias, essa propriedade é valida para qualquer polígono regular. Abraco, Wagner. From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] geometria-ajuda Date: Sun, Feb 24, 2002, 13:34 Mostre que num octógono regular a soma dos quadrados das distâncias de um ponto qualquer no interior do octógono aos vértices é constante.
Re: [obm-l] Muito interressante
Amigos, sou meio atrasado na lista, tenho umas aulinhas pra dar, e jah estah quase tudo dito a respeito do problema do Raul. Acrescentaria apenas a observacao de que o problema foi criado por ela, de onde deduzimos ser tal extraordinaria professora uma muito longeva macrobia. Do alto das minhas brancas e venerandas barbas, lembro do problema desde meus verdes anos, que jah se esvaem na nevoa do tempo. Fui procurar nos incunabulos, mas o meu exemplar de "O homem que Calculava" estah perdido nas mudancas da minha quase tao macrobia vida, mas acho que o nosso Julio Cesar jah o mencionava, quando eu ainda tinha a ilusao de aprender Matematica. Abracos, olavo. >From: [EMAIL PROTECTED] >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Muito interressante >Date: Fri, 22 Feb 2002 14:29:11 EST > >Oi pessoal, >uma professora me apresentou um problema interessante criado por >ela e >cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que >explica essa solução tão curiosa. >Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta >pesos >numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a >quarenta >quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que >queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as >partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a >mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? >Solução : 1, 3, 9 e 27. >Obrigado pela atenção, > Raul _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Curiosidade
Olá, pessoal! Antes de mais nada, vou me apresentar. O meu nome é Claudio Téllez, e eu estudo matemática na PUC-Rio. Tenho uma pergunta: A limitação de idade para o recebimento da Medalha Fields tem alguma coisa a ver com a duração da vida de Riemann (1826 - 1866)? []s, Claudio. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.325 / Virus Database: 182 - Release Date: 19/2/2002
Re: [obm-l] recifense
-Mensagem original- De: gabriel guedes <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Segunda-feira, 25 de Fevereiro de 2002 13:59 Assunto: [obm-l] recifense > Ola a todos, > participei neste sabado da primeira fase da regional(pernambuco),e fiquei sem saber >resolver algumas questões , > nestas pedirei ajudade vocês: > 1) sen1 * sen 3 * sen 5 * ...sen 89 =1/(2^n) Nao sei como fazer. Nao obtive uma solucao nem mesmo usando o Maple. Cheguei a no máximo 0.83373 * 10^-12=1/2^n. Daí nao saiu. > 2) 1+ tgx^2 =2 quanto vale cos3x Bom Este tgx^2 é tg(x^2) ou é tg^2(x) ? Para tg(x^2), temos: 1+tg(x^2)=2 tg(x^2) = 1 Como tg(45)=1, x^2=45, x=sqrt(45). Entao cos(3x) = cos[3*sqrt(45)] = cos[9*sqrt(5)] = 0.29145 Creio que o enunciado correto seja tg^2(x), assim: 1+tg^2(x)=2 tg^2(x)=1 tg(x)*tg(x)=1 x=45º (essa parte me parece estranha..) Entao, cos(3x)=cos(135)= -sqrt(2)/2 []s Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Muito interessante
Sauda,c~oes, Considere o problema 131 do livro "É divertido resolver problemas", que escrevi juntamente com Josimar Silva: Qual é o menor número de pesos (com massas diferentes) que pode ser usado numa balança de dois pratos para medir qualquer massa variando de 1 a 40 quilogramas, se ... a) os pesos devem ser colocados num prato e o objeto a ser ``pesado'', no outro? b) o objeto a ser ``pesado'' puder ficar junto com pesos, ou seja, colocando pesos em ambos os pratos? O item b) foi objeto das recentes mensagens. No livro, colocamos como resposta 5 pesos. Vejo agora que está errada. E vou alterar a solucão, que está para ser publicada: \item[b)] precisamos de massas de $\rm1\,kg$, $\rm3\,kg$, $\rm6\,kg$, $\rm12\,kg$ e $\rm24\,kg$. Logo, um m\'\i nimo de 5~``pesos''. Ou seja, precisamos de massas de $\rm1\,kg$, $\rm3\,kg$, $\rm9\,kg$ e $\rm27\,kg$. Logo, um m\'\i nimo de 4~``pesos''. Vivendo e aprendendo. Evito dizer a nossa resposta/solução para o item a). Acho que poderão aparecer algumas surpresas. Aguardo comentários. []´s Luís -Mensagem Original- De: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: domingo, 24 de fevereiro de 2002 09:49 Assunto: Re: [obm-l] Muito interressante > On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: > >Oi pessoal, > >uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e > > cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que > > explica essa solução tão curiosa. > >Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos > > numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta > > quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que > > queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as > > partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a > > mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? > >Solução : 1, 3, 9 e 27. > > O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na base 3 > com os "algarismos" -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4 algarismos. > Por exemplo: > > -5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1 > 13 = 0+++ = 9 + 3 + 1 > 20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1 > > Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução. > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Muito interressante
SIM, É POSSÍVEL...
Ou seja, podemos escrever qualquer número de (1 - 3^n)/2 a (3^n - 1)/2
com no máximo n "algarismos" (-1, 0 ou 1) na base 3.
Demonstracao:
1) Se vale de 0 a (3^n - 1)/2, vale de (1 - 3^n)/2 a 0: (conclusao I)
Para verificar isto, basta trocarmos (-1) por (1) e (1) por (-1), mantendo o
(0).
2) Vale para 0 a (3^n - 1)/2? --> Princípio da Inducao
2.1) Vale para n = 1 --> podemos escrever 0 como 0 ("base" 3) e 1 como
1 ("base" 3)
2.2) Se vale para n, vale para n+1:
Ora, com n algarismos podemos escrever todos os números entre 0 e (3^n -
1)/2.
Assim, adicionando um algarismo 1 na posicao "n+1" (o que nos dá 3^n na base
10), e sabendo que podemos formar qualquer número de (1 - 3^n)/2 a 0
(vide conclusao I), fica claro que formamos assim qualquer número de:
3^n + (1-3^n)/2 a 3^n, ou seja, de (3^n + 1)/2 a 3^n.
Da mesma maneira, podemos adicionar a 3^n os números formados de 0 a
(3^n -1)/2, obtendo todos os números de:
3^n a 3^n + (3^n - 1)/2, ou seja, de 3^n a (3^(n+1) - 1)/2
Entao, podemos formar todos os números de 0 a (3^n - 1)/2 e de (3^n + 1)/2
a (3^(n+1) - 1)/2.
Como (3^n - 1)/2 e (3^n + 1)/2 sao naturais consecutivos, podemos formar
qualquer número de:
0 a (3^(n+1) - 1)/2 com (n+1) algarismos, o que conclui a prova por
inducao.
Espero ter ajudado...
[ ]'s
Alexandre Terezan
-Mensagem Original-
De: "Jose Jayme Moraes Junior" <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: Segunda-feira, 25 de Fevereiro de 2002 10:34 Terezan
Assunto: RE: [obm-l] Muito interressante
Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81)
utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo,
sim.
Exemplos:
41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1
42 = 81 - 27 - 9 - 3
45 = 81 - 27 - 9
50 = 81 - 27 - 3 - 1
58 = 81 - 27 + 3 + 1
60 = 81 - 27 + 9 - 3
75 = 81 - 9 + 3
É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Nicolau C.
Saldanha
Sent: domingo, 24 de fevereiro de 2002 09:49
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Muito interressante
On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
>Oi pessoal,
>uma professora me apresentou um problema interessante criado
> por ela e
> cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma
regra que
> explica essa solução tão curiosa.
>Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta
pesos
> numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a
quarenta
> quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático
que
> queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou)
as
> partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com
a
> mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes?
>Solução : 1, 3, 9 e 27.
O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na
base 3 com os "algarismos" -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4
algarismos. Por exemplo:
-5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1
13 = 0+++ = 9 + 3 + 1
20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1
Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Muito interressante
On Mon, Feb 25, 2002 at 10:34:54AM -0300, Jose Jayme Moraes Junior wrote: > > Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) > utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, > sim. > Exemplos: > 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 > 42 = 81 - 27 - 9 - 3 > 45 = 81 - 27 - 9 > 50 = 81 - 27 - 3 - 1 > 58 = 81 - 27 + 3 + 1 > 60 = 81 - 27 + 9 - 3 > 75 = 81 - 9 + 3 > > É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n Estive pensando um pouco mais sobre este problema: o único conjunto de pesos para o problema original é 1, 3, 9, 27. O único conjunto de n pesos somando N = (3^n-1) e capaz de pesar todos os inteiros de -N a N é realmente 1, 3, 3^2, ..., 3^(n-1). A demonstração é legal (dica: tente provar que o menor peso *deve* ser 1). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] recifense
Ola a todos, participei neste sabado da primeira fase da regional(pernambuco),e fiquei sem saber resolver algumas questões , nestas pedirei ajudade vocês: 1) sen1 * sen 3 * sen 5 * ...sen 89 =1/(2^n) 2) 1+ tgx^2 =2 quanto vale cos3x
Re: [obm-l] Muito interressante
On Mon, Feb 25, 2002 at 10:34:54AM -0300, Jose Jayme Moraes Junior wrote: > > Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) > utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, > sim. > Exemplos: > 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 > 42 = 81 - 27 - 9 - 3 > 45 = 81 - 27 - 9 > 50 = 81 - 27 - 3 - 1 > 58 = 81 - 27 + 3 + 1 > 60 = 81 - 27 + 9 - 3 > 75 = 81 - 9 + 3 > > É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n Sim para todas as perguntas. E não é muito difícil demonstrar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
RE: [obm-l] Muito interressante
Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, sim. Exemplos: 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 42 = 81 - 27 - 9 - 3 45 = 81 - 27 - 9 50 = 81 - 27 - 3 - 1 58 = 81 - 27 + 3 + 1 60 = 81 - 27 + 9 - 3 75 = 81 - 9 + 3 É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Nicolau C. Saldanha Sent: domingo, 24 de fevereiro de 2002 09:49 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Muito interressante On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: >Oi pessoal, >uma professora me apresentou um problema interessante criado > por ela e > cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que > explica essa solução tão curiosa. >Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos > numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta > quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que > queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as > partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a > mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? >Solução : 1, 3, 9 e 27. O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na base 3 com os "algarismos" -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4 algarismos. Por exemplo: -5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1 13 = 0+++ = 9 + 3 + 1 20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1 Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
