[obm-l] Iberoamericana Universitária
Pessoal, Como é que se faz para participar da Olimpíada Iberoamericana de Matemática? Quando vai ser? Mandei um e-mail lá para a OBM perguntando, mas não me responderam. :-( Obrigado Vinicius Fortuna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] abc + p = 0
> Oi Pessoal! > > "Sejam a, b, c, p quatro numeros reais dados tais que > a, b e c não sejam simultaneamente iguais e: > a + 1/b = b + 1/c = c + 1/a = p > > Qual o valor de (abc + p)?" > a + 1/b = b + 1/c acarreta (a - b) = 1/c - 1/b = (b - c)/bc logo [1](a - b) = (b - c)/bc analogamente [2](b - c) = (c - a)/ac [3](c - a) = (a - b)/ab note que se a = b ou b = c ou c = a então a = b = c. Logo a, b, c sao dois a dois distintos. Multiplicando [1], [2] e [3] tem-se (a-b)(b-c)(c-a) = (b-c)(c-a)(a-b)/(abc^2) donde, cancelando 1 = 1/(abc^2) e abc = 1 ou abc = -1 (i)Suponha que abc = -1. Entao p = a + 1/b = a - (abc)/b = a - ac, entao p = a - ac e analogamente p = b - ba p = c - cb logo p + abc = (a-ac) + abc = a(1-c+bc) = a(1 - (c-bc)) = = a(1 - p), isto eh p+abc = a(1-p), entao p + abc = a(1-p) = b(1-p) = c(1-p) como a,b,c sao distintos, p = 1 logo p + abc = 1 - 1 = 0 (ii)Suponha que abc=1 p = a + 1/b = a + abc/b = a + ac, logo p = a + ac e analogamente p = b + ab p = c + bc entao p + abc = (a+ac) + abc = a(1+c+bc) = a(1 + p), isto eh p+abc = a(1 + p), analogamente p+abc = b(1 + p) p+abc = c(1 + p) logo a(1+p)=b(1+p)=c(1+p) como a,b,c sao distintos, entao p = -1 (e abc =1) donde p + abc = -1 + 1 = 0 Abrac,os, Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Outra pegunta..
Obrigado Douglas e os demais que me responderam a mesma questão de tão variadas formas. Aí vai outra pergunta: Seja f uma função de Z em Z definida como f(x)=x/10 se x é divisível por 10 e f(x)=x+1 caso contrário. Se a0=2001 e an+1=f(an), qual é o menor valor de n para o qual an=1? __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re:[obm-l] Outra pegunta..
f(x)=x/10 se x eh mult de 10, f(x)=x+1, caso contrario. vejamos: observando a funcao, veja q a9=2010 (vai soh somando 1...) e a10=201 (pois a9 eh mult. de 10) daih, do mesmo modo, a19=210 => a20=21 => a29=30 => a30=3 => a37=10 => a38=1. Assim o menor n/ an=1 eh 38. []s, Thiago Sobral icq:115100259 > Obrigado Douglas e os demais que me responderam a mesma > questão de tão variadas formas. > Aí vai outra pergunta: > Seja f uma função de Z em Z definida como f(x)=x/10 se x > é divisível por 10 e f(x)=x+1 caso contrário. Se a0=2001 > e an+1=f(an), qual é o menor valor de n para o qual an=1? > __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Iberoamericana Universitária
On Thu, Jun 13, 2002 at 02:31:46PM -0300, Vinicius José Fortuna wrote: > Pessoal, > > Como é que se faz para participar da Olimpíada Iberoamericana de Matemática? Pelo subject, deduzo que você está falando da Iberoamericana *Universitária*. Esta ocorre mais para o fim do ano, depois da 1a fase da OBM nível univ e só é recomendável para quem tem uma certa experiência com olimpíadas de matemática, ou seja, para quem fez pelo menos a 1a fase da OBM e teve um bom resultado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] ????????
Olá colegas de lista, Eu gostaria de ajuda no seguinte problema: Prove que não existe n natural tal que (2^n + 1) seja divisível por 7. Ah!Eu resolvi este outro utilizando congruências: Encontre todos os valores de n para os quais (2^n - 1)seja divisível por 7. Será que há outra maneira? São parecidos...Mas eu ainda não "matei" o último.Desde já,obrigado por qualquer comentário. Eder
RE: [obm-l] Outra pegunta..
Seja f uma função de Z em Z definida como f(x)=x/10 se x é divisível por 10 e f(x)=x+1 caso contrário. Se a0=2001 e an+1=f(an), qual é o menor valor de n para o qual an=1? a1 = f(a0) = 2002 a2 = f(a1) = 2003 a3 = f(a2) = 2004 . . . a9 = f(a8) = 2010 a10 = f(a9) = 201 a11 = f(a10) = 202 . . . a20 = f(a19) = 21 a30 = f (a29) = 3 a37 = 3 + 7 = 10 a38 = 1 Resposta: a38 -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of leon-17 Sent: quinta-feira, 13 de junho de 2002 15:21 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Outra pegunta.. Obrigado Douglas e os demais que me responderam a mesma questão de tão variadas formas. Aí vai outra pergunta: Seja f uma função de Z em Z definida como f(x)=x/10 se x é divisível por 10 e f(x)=x+1 caso contrário. Se a0=2001 e an+1=f(an), qual é o menor valor de n para o qual an=1? __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Geometry Problem
>Hi. Firstly, this is not homework, I actually want this for a bit of >software I am writing. >Secondly, while I know it would be better if I worked it out myself, I'd >rather get the solution than not, even at the price of missing the >opportunity to brush up my geometry skills. > >I am attempting to lay out points on the Poincare projection of the >hyperbolic plane. I have done up a diagram at >http://www.users.bigpond.com/pmurray/Math1.gif > >I have a unit circle C, with a centre at O. >I have a radius of that circle r. >I have another circle D, that intersects C at right angles at a point P and >that intersects the radius R at point Q. > >Angle POr we shall call theta. >Angle Dr we shall call phi. (that is, the angle between r and the tangent >to >D at Q). >Distance OQ we shall call d. > >1 - given phi and d, what is theta? >2 - given phi and theta, what is d? > >That's all I think I need, although if you feel like working out phi from >theta and d, feel free. > >Please reply to me at [EMAIL PROTECTED] > >.. _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Geometry Problem
Ola Pessoal, Saudações a Todos ! A Mensagem abaixo seguiu para a LISTA OBM-L sem nenhum comentario e em outro idioma por falha minha no momento de encaminha-la para outras pessoas. Peço desculpas a todos. Paulo Santa Rita 5,1840,130602 >From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: [obm-l] Geometry Problem >Date: Thu, 13 Jun 2002 20:11:17 + > > > >Hi. Firstly, this is not homework, I actually want this for a bit of >software I am writing. >Secondly, while I know it would be better if I worked it out myself, I'd >rather get the solution than not, even at the price of missing the >opportunity to brush up my geometry skills. > >I am attempting to lay out points on the Poincare projection of the >hyperbolic plane. I have done up a diagram at >http://www.users.bigpond.com/pmurray/Math1.gif > >I have a unit circle C, with a centre at O. >I have a radius of that circle r. >I have another circle D, that intersects C at right angles at a point P and >that intersects the radius R at point Q. > >Angle POr we shall call theta. >Angle Dr we shall call phi. (that is, the angle between r and the tangent >to >D at Q). >Distance OQ we shall call d. > >1 - given phi and d, what is theta? >2 - given phi and theta, what is d? > >That's all I think I need, although if you feel like working out phi from >theta and d, feel free. > >Please reply to me at [EMAIL PROTECTED] _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] ????????
Oi, Se valesse o que voce escreveu, entao 2^n == 6 mod 7. Como 2^3-1=7, dividindo n por 3 temos n=3m+r. 2^3 == 1 mod 7 => 2^n == 2^r mod 7, que e <> 6 para r=0,1,2. Abraco, Salvador On Thu, 13 Jun 2002, Eder wrote: > Olá colegas de lista, > > Eu gostaria de ajuda no seguinte problema: > > > Prove que não existe n natural tal que (2^n + 1) seja divisível por 7. > > Ah!Eu resolvi este outro utilizando congruências: > > Encontre todos os valores de n para os quais (2^n - 1)seja divisível por 7. > > Será que há outra maneira? > > São parecidos...Mas eu ainda não "matei" o último.Desde já,obrigado por qualquer >comentário. > > > Eder > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] ????????
Caro Eder
(2^{n+3}+1)-(2^n+1)=7*2^n, assim, os restos (por 7, de 2^n+1)
repetem-se, com periodo 3.
Basta entao calcular os 3 primeiros e ver que sao nao nulos:
2^0+1=2,
2^1+1=3,
2^2+1=5.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Geometry Problem
Dear Murray, I found the following relation (considering C a unit circle): d * sin((phi+theta)/2) = sin((phi-theta)/2) More general, if C has a radius r, the relation becomes: d * sin((phi+theta)/2) = r * sin((phi-theta)/2) from which it´s very simple to obtain the value of one variable, knowing the other two. If you wanna know how it came, just send me an e-mail and I will try to write down the solution... yours faithfully, # # MSc. Edson Ricardo de A. Silva# # Computer Graphics Group (CRAB)# # Federal University of Ceara (UFC) # # -- Forwarded message -- Date: Thu, 13 Jun 2002 20:11:17 + From: Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Geometry Problem >Hi. Firstly, this is not homework, I actually want this for a bit of >software I am writing. >Secondly, while I know it would be better if I worked it out myself, I'd >rather get the solution than not, even at the price of missing the >opportunity to brush up my geometry skills. > >I am attempting to lay out points on the Poincare projection of the >hyperbolic plane. I have done up a diagram at >http://www.users.bigpond.com/pmurray/Math1.gif > >I have a unit circle C, with a centre at O. >I have a radius of that circle r. >I have another circle D, that intersects C at right angles at a point P and >that intersects the radius R at point Q. > >Angle POr we shall call theta. >Angle Dr we shall call phi. (that is, the angle between r and the tangent >to >D at Q). >Distance OQ we shall call d. > >1 - given phi and d, what is theta? >2 - given phi and theta, what is d? > >That's all I think I need, although if you feel like working out phi from >theta and d, feel free. > >Please reply to me at [EMAIL PROTECTED] > >.. _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] (nenhum assunto)
Sauda,c~oes,
Calcule S_n = \sum_{k=1}^n cos(k alpha) para n >=
1
e ache F(n+1) - F(1), onde F(k) é uma antidiferença
para
cos(k alpha). Então
F(k) = {sen[k-1/2]alpha} / {2sen(alpha/2)} .
Colocando
alpha=2pi/(2n+1), obtemos S_n = -1/2.
Para n=3, S_3 = cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) =
-1/2.
Conclua que
cos (pi/7) - cos (2.pi/7) + cos (3.pi/7) =
1/2
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Marcelo Rufino de Oliveira
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: segunda-feira, 20 de maio de
2002 08:03
Assunto: Re: [obm-l] (nenhum
assunto)
Considere o podlinômio P(x) = x^7 - 1,
que possui as 7 seguintes raízes complexas:
z(k) = cos (2.k.pi/7) + i.sen
(2.k.pi/7), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Como o coeficiente de x^6 em P(x) é 0 então
a soma das raízes de P(x) é 0, implicando que:
cos 0 + cos (2.pi/7) + cos (4.pi/7) + cos
(6.pi/7) + cos (8.pi/7) + cos (10.pi/7) + cos (12.pi/7) = 0
Como 2.pi/7 + 12.pi/7 = 2.pi
=> cos (12.pi/7) = cos (2.pi/7)
Como 4.pi/7 + 10.pi/7 = 2.pi
=> cos (10.pi/7) = cos (4.pi/7) = - cos (3.pi/7)
Como 6.pi/7 + 8.pi/7 = 2.pi
=> cos (8.pi/7) = cos (6.pi/7) = - cos
(pi/7)
Portanto:
1 + cos (2.pi/7) - cos (3.pi/7) - cos (pi/7)
- cos (pi/7) - cos (3.pi/7) + cos (2.pi/7) = 0 =>
cos (pi/7) - cos (2.pi/7) + cos (3.pi/7) =
1/2
Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
- Original Message -
From:
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, May 18, 2002 6:15
PM
Subject: [obm-l] (nenhum assunto)
(IMO-1963) PROVE QUE
COS(PI/7)-COS(2PI/7)+COS(3PI/7)=1/2.COMECEI A FAZER E FOI FICANDO
GRANDE...CADA VEZ MAIOR...RISOS...ALGUEM CONSEGUE ACHAR UM TRUQUIINHO
AI??
VALEU!
CROM
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Iberoamericana Universitária
> On Thu, Jun 13, 2002 at 02:31:46PM -0300, Vinicius José Fortuna wrote: > > Pessoal, > > > > Como é que se faz para participar da Olimpíada Iberoamericana de Matemática? > > Pelo subject, deduzo que você está falando da Iberoamericana *Universitária*. > Esta ocorre mais para o fim do ano, depois da 1a fase da OBM nível univ > e só é recomendável para quem tem uma certa experiência com olimpíadas > de matemática, ou seja, para quem fez pelo menos a 1a fase da OBM e teve > um bom resultado. > > []s, N. Tudo bem, mas como proceder para participar? Abrac,os, Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] ????????
Oi! (IMO-63) Se vc resolveu o de baixo entaum viu q soh eh divisivel por 7 qnd n=3k k inteiro (2^n==1(mod7) ); dae sabemos q n soh pode ser da forma 3k,3k+1 ou 3k+2, logo: 2^3k -1=7x => 2^3k +1=7x +2 2^(3k+1) -1 =7y +1 => 2^(3k+1) +1=7y+3 2^(3k+2) -1=7z+3 => 2^(3k+2)+1=7z+5 logo, 2^n==/ -1(mod7) pra todo n inteiro :) []´s Fê >Olá colegas de lista, > >Eu gostaria de ajuda no seguinte problema: > > >Prove que não existe n natural tal que (2^n + 1) seja divisível por 7. > >Ah!Eu resolvi este outro utilizando congruências: > >Encontre todos os valores de n para os quais (2^n - 1)seja divisível por 7. > >Será que há outra maneira? > >São parecidos...Mas eu ainda não "matei" o último.Desde já,obrigado por >qualquer comentário. > > >Eder _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] difícil
Essa é de Olimpíada! Se a, b, c são números reais tais que: (bc - a²)^(-1) + (ca - b²)^(-1) + (ab - c²)^(-1) = 0 Então: a.(bc - a²)^(-2) + b.(ac - b²)^(-2) + c.(ab -c²)^(-2) é igual a... A resposta é zero, mas nunca consegui resolver esse exercício e nunca vi a resolução. Se alguém conseguir fazer... Abraços, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup http://fifaworldcup.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
