Re: [obm-l] [(n^m) - n] multiplo de m ?
Caro Felipe: Infelizmente o resultado não é verdadeiro. Por exemplo, tome n=2 e m=9. Neste caso,9 e2 são primos entre si mas2^9 - 2 = 510, o qual não é múltiplo de 9. No entanto, existe um teoremaimportante de teoria dos números que diz o seguinte: Sejam m e ninteiros positivos primos entre si. Seja Phi(m) o número de inteiros positivos menores ou iguais que m e primos com m. Então, n^Phi(m) - 1 é múltiplo de m. Um caso particular deste teorema é quando m é primo. Neste caso Phi(m) = m - 1 (por que?), e o teorema diz o seguinte: Se m é primo e n é um inteiro não divisível por m, então n^m - n é múltiplo de m. Uma forma de provar isto é por indução sobre n. Vale o esforço de tentar... Um abraço, Claudio. - Original Message - From: felipe mendona To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 05, 2003 12:49 AM Subject: [obm-l] [(n^m) - n] multiplo de m ? Ola colegas de lista...eu tenho um problema em maos, que me atormenta a tempos,ele tem um aspecto angelical mas é verdadeiramente diabolico, concluam voces mesmos,ele é beeem dificil.Segue abaixo: Se n,m sao inteiros positivos diferentes de 1,prove que [(n^m) - n] é multiplo de m se m é impar. Bonito, nao!Eu provei apenasos casos em que n e m sao primos entre si. Alguem tem uma boa ideia? Fica a cargo de voceis. Ate logo ! nbsp; Felipe Mendonça Vitória-ES. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
Re: [obm-l] geometria
Problema 2: ABCD é um quadrilátero cíclico. Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD. Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. O resultado estará provado se conseguirmos mostrar que os ângulos MAB e MDC são iguais. 1)Tome pontos L em AK e N em MB tais que A esteja entre K e L eque B esteja entre M e N e em seguida use as propriedades dos ângulos e arcos na circunferência: Arco AB = KAB = MDB = KCA = MBA Arco ADC = ABC Arco BCD = BAD 2) Com as igualdades de ângulos deduzidas acima, conclua que certos triângulos são semelhantes: KCA = KABe CKA = AKB == Triângulos KCA e KABsão semelhantes == AC / AB = KC / KA = KA / KB == KA^2 = KB * KC MDB = MBA e DMB = BMA == Triângulos MBD e MAB são semelhantes == BD / AB= MD / MB = MB / MA == MB^2 = MA * MD 3) Levando em conta que KC = 2 * KB e MD = 2 * MA, teremos: KA^2 = 2 * KB^2 e MB^2 = 2 * MA^2 == KA / KB = MB / MA = raiz(2) Ou seja, AC / AB = KA / KB = MB / MA = BD / AB = raiz(2) Assim, AC = BD = AB * raiz(2) 4) Cordas iguais subentendem arcos iguais. AC = BD == Arco ADC = Arco BCD == Ângulo ABC = Ângulo BAD. 5) ABCD é cíclico == ABC + CDA = 180 graus == BAD + CDA = 180 graus Mas, MAB + BAD = 180 graus (são suplementares) == MAB = CDA = MDC == AB // CD e o resultado está provado. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 2:51 PM Subject: [obm-l] geometria Doisproblemas que não estou conseguindo resolver: 1)ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. 2)ABCD é um quadrilátero cíclico.Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. Qualquer ajuda/resolução é bem vinda. Eder
Re: [obm-l] conjuntos abertos na reta real
Caro Artur: Seja X um conjunto aberto da reta real. Então, pelo teorema da existência (para cada aberto X, existe uma família enumerável de intervalos abertos disjuntos dois a dois cuja união é X), podemos escrever X = UNIÃO A(i), onde i pertence a N e os A(i) são intervalos abertos disjuntos dois a dois. Em algum ponto da demonstração da existência dos A(i) deve ter aparecido o seguinte fato: Se x pertence a X, então x pertence a A(i), para algum i, e A(i) é o maior sub-intervalo de X que contém x Suponhamos que X = UNIÃO B(j) ( j em N, e os B(j) intervalos abertos disjuntos dois a dois) e que as duas representações são distintas. Neste caso, existirá um índice r tal que B(r) será diferente de A(i) para todo i. Seja x pertencente a B(r). Então B(r) é o maior sub-intervalo de X que contém x. Por outro lado, existe um índice s tal que x pertence a A(s), e A(s) é o maior sub-intervalo de X que contém x. Assim, A(s) = B(r) == Contradição pois, por hipótese, B(r) é diferente de A(i) para todo i == As duas representações são idênticas. Espero que isto seja útil. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 04, 2003 11:33 PM Subject: [obm-l] conjuntos abertos na reta real Feliz 2003 para todos! Sabemos que, na reta real, todo conjunto aberto é dado por uma união disjunta e numerável de intervalos abertos. Quase todos os livros de Análise Real apresentam a prova deste teorema. Estou agora tentanto provar que esta representação de conjuntos abertos é única, e estou encontrando alguma difculdade. Deve haver algum detalhe, talvez trivial, que esteja me passando. Alguém poderia ajudar? Obrigado. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] teoria dos grupos
Oi pessoal ! Alguém conhece um site sobre teoria dos grupos que tenha os conceitos básicos ?
Re: [obm-l] geometria
Problema 1: ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. Tome o ponto N no mesmo semi-plano que C em relação a DM e de forma que o segmento DN seja paralelo a MC e tenha o mesmo comprimentodeste == MDNC é paralelogramo == triângulos DNA e MCB são congruentes e CN // MD. triângulos DNA e MCB serão congruentes == ângulo AND = ângulo BCM e ângulo NAD = ângulo CBM CN // MD == ângulo DCN = ângulo CDM ângulo DCN = ângulo CDM = ângulo CBM = ângulo NAD == ADNC é cíclico == ângulos AND e DCA compreendem o mesmo arco (AD) == ângulo AND = ângulo ACD Mas, ângulo AND = ângulo BCM == ângulo ACD = ângulo BCM e o resultado está provado. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 2:51 PM Subject: [obm-l] geometria Doisproblemas que não estou conseguindo resolver: 1)ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. 2)ABCD é um quadrilátero cíclico.Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. Qualquer ajuda/resolução é bem vinda. Eder
[obm-l] Um paradoxo de deixar os cabelos em pé
;; + + | _ Ele não pode se barbear porque só barbeia aqueles que não se barbeiam a si mesmos. Mas se ele não se barbeia a si mesmo, faz parte dos que não se barbeiam a si mesmos, logo, pode se barbear... mas não pode se barbear porque só barbeia aqueles que não se barbeiam a si mesmos... etc, etc,.
Re: [obm-l] geometria
Ótimo.Eu juro que tentei pra caramba,mas não saia nada.Valeu! - Original Message - From: larryp To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 05, 2003 9:04 PM Subject: Re: [obm-l] geometria Problema 2: ABCD é um quadrilátero cíclico. Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD. Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. O resultado estará provado se conseguirmos mostrar que os ângulos MAB e MDC são iguais. 1)Tome pontos L em AK e N em MB tais que A esteja entre K e L eque B esteja entre M e N e em seguida use as propriedades dos ângulos e arcos na circunferência: Arco AB = KAB = MDB = KCA = MBA Arco ADC = ABC Arco BCD = BAD 2) Com as igualdades de ângulos deduzidas acima, conclua que certos triângulos são semelhantes: KCA = KABe CKA = AKB == Triângulos KCA e KABsão semelhantes == AC / AB = KC / KA = KA / KB == KA^2 = KB * KC MDB = MBA e DMB = BMA == Triângulos MBD e MAB são semelhantes == BD / AB= MD / MB = MB / MA == MB^2 = MA * MD 3) Levando em conta que KC = 2 * KB e MD = 2 * MA, teremos: KA^2 = 2 * KB^2 e MB^2 = 2 * MA^2 == KA / KB = MB / MA = raiz(2) Ou seja, AC / AB = KA / KB = MB / MA = BD / AB = raiz(2) Assim, AC = BD = AB * raiz(2) 4) Cordas iguais subentendem arcos iguais. AC = BD == Arco ADC = Arco BCD == Ângulo ABC = Ângulo BAD. 5) ABCD é cíclico == ABC + CDA = 180 graus == BAD + CDA = 180 graus Mas, MAB + BAD = 180 graus (são suplementares) == MAB = CDA = MDC == AB // CD e o resultado está provado. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 2:51 PM Subject: [obm-l] geometria Doisproblemas que não estou conseguindo resolver: 1)ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. 2)ABCD é um quadrilátero cíclico.Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. Qualquer ajuda/resolução é bem vinda. Eder
[obm-l] Dúvida em relação a naturais, problemas de raciocínio matemático, múltiplos, etc
Vou lhes apresentar um problema resolvido e no final digo a dúvida. Em um determinado país, o proprietário de um restaurante comprou 100 animais por $ 100,00 a saber: bois a $ 11,00 cada um; cabras $ 3,00 cada uma e galinhas a $ 0,50 cada uma. Quantos animais comprou de cada espécie? Solução: Seja B o número de bois, C o número de cabras e G o número de galinhas. Temos o sistema: B + C + G = 100 e 11B + 3C + 0,5G = 100 . Segue que , -B - C - G = -100 e 22B + 6C + G = 200 . Assim: 21B + 5C = 100. Isolando C teremos: 5C = 100 - 21B. Logo: C = 20 - ( 21 / 5 )B. Como B, C e G são números naturais, segue que B é um multiplo de 5 e B 5. Logo B = 0 , o que implica em C = 20 . Assim, G = 100 - ( 0 + 20 ) = 80. Concluindo: O proprietário comprou zero bois , 20 cabras e 80 galinhas. Por que B é um multiplo de 5 e B 5 (vamos chamar de condição 1)? Seria por que ele, o cinco, está no denominador é B no numerador e como eles são multiplos não pode dar como quociente um número fracionário? Mas mesmo que desse um número fracionário o outro fator ( no caso deste cálculo é o 21) não poderia estar "eliminando" este fracionário transformando em natural? O que eu estou querendo dizer é o seguinte: Primeiro, se possível, esclarecer minha dúvida acima e provar que qualquer número natural além do 21 poderia satisfazer a condição 1.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em relação a naturais, problemas de raciocínio matemático, múltiplos, etc
Por que B é um multiplo de 5 e B 5 (vamos chamar de condição 1)? Seria por que ele, o cinco, está no denominador é B no numerador e como eles são multiplos não pode dar como quociente um número fracionário? Resposta: Sim. C = 20 - ( 21 / 5 )B B e C são números inteiros não negativos. Assim, (21 / 5) B deve ser um número inteiro! Para que ele seja inteiro B deve ser multiplo de 5, mas se ele for um multiplo de 5 maior ou igual a 5, C será negativo, portanto B = 0. Mas mesmo que desse um número fracionário o outro fator (no caso deste cálculo é o 21) não poderia estar eliminando este fracionário transformando em natural? Resposta: Não. Só eliminaria se ele (o outro fator) fosse um múltiplo do denominador. Primeiro, se possível, esclarecer minha dúvida acima e provar que qualquer número natural além do 21 poderia satisfazer a condição 1. Resposta: Isso não é verdade. A solução do problema está certa, e B deve ser um multiplo de 5 (no caso, 0). []s David ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] conjuntos abertos na reta real
Obrigado. A representação de fato é única. Um abraço para todos. Artur Costa Steiner -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] rio.br] On Behalf Of larryp Sent: Sunday, January 05, 2003 10:07 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] conjuntos abertos na reta real Caro Artur: Seja X um conjunto aberto da reta real. Então, pelo teorema da existência (para cada aberto X, existe uma família enumerável de intervalos abertos disjuntos dois a dois cuja união é X), podemos escrever X = UNIÃO A(i), onde i pertence a N e os A(i) são intervalos abertos disjuntos dois a dois. Em algum ponto da demonstração da existência dos A(i) deve ter aparecido o seguinte fato: Se x pertence a X, então x pertence a A(i), para algum i, e A(i) é o maior sub-intervalo de X que contém x Suponhamos que X = UNIÃO B(j) ( j em N, e os B(j) intervalos abertos disjuntos dois a dois) e que as duas representações são distintas. Neste caso, existirá um índice r tal que B(r) será diferente de A(i) para todo i. Seja x pertencente a B(r). Então B(r) é o maior sub-intervalo de X que contém x. Por outro lado, existe um índice s tal que x pertence a A(s), e A(s) é o maior sub-intervalo de X que contém x. Assim, A(s) = B(r) == Contradição pois, por hipótese, B(r) é diferente de A(i) para todo i == As duas representações são idênticas. Espero que isto seja útil. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 04, 2003 11:33 PM Subject: [obm-l] conjuntos abertos na reta real Feliz 2003 para todos! Sabemos que, na reta real, todo conjunto aberto é dado por uma união disjunta e numerável de intervalos abertos. Quase todos os livros de Análise Real apresentam a prova deste teorema. Estou agora tentanto provar que esta representação de conjuntos abertos é única, e estou encontrando alguma difculdade. Deve haver algum detalhe, talvez trivial, que esteja me passando. Alguém poderia ajudar? Obrigado. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Re[2]: [obm-l] Procura de Livro
--- Igor GomeZZ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Em 4/1/2003, 17:55, Ricardo ([EMAIL PROTECTED]) disse: Nao era Al Sheik ? É um bom livro.. Talvez não haja mais publicação dele, vou procurar algo na biblioteca da Universidade... Disculpe, escrevi o nome errado. É que nao tinha ideia de como escrevia. Dei uma conferida na biblioteca aqui, o livro é de Al Shenk, editora Campos, o título é Calculo e Geometria Analitica. = []s Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br Matematica - UFV Linux User #93585 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] re:[(n^m) - n] multiplo de m ?
Larryp , parece que eu me distrai na hora de digitar!Ao invez de digitar primo , digiteiimpar . Eu escrevi o e-mail passado embasado no que eu tinha lido em uma reportagem de numeros primos da revista Galileu , e portanto nao estou enganado quanto a minha resposta. Pierre de Fermat criou um teorema que é capaz de testar a nao primalidade de numeros em certos casos.Ele é enunciado asssim: Seja n um numero natural .Sem é primo entao [(n^m)- n]é multiplode m. Eu provei esse fato para alguns casos particulares em que n,m sao primos entre si é só... Felipe Mendonça Vitória-ES. .MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re:Re[2]: [obm-l] Procura de Livro
Deve ser porque o nome é Al Shenk e não sheik... Em 4/1/2003, 17:55, Ricardo ([EMAIL PROTECTED]) disse: Nao era Al Sheik ? É um bom livro.. Tudo que procurei na internet (google e submarino) sobre ess e nome, remetia à Al-kaeda e osama Bin Laden eheheheh Talvez não haja mais publicação dele, vou procurar algo na b iblioteca da Universidade... Valeu Ricardo! Fui! ### Igor GomeZZ UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 4/1/2003 (23:04) Pare para pensar: Preocupe-se mais com seu caráter do que com sua reputação, porque seu caráter é o que você realmente é, enquanto a reputação é apenas o que os outros pensam que você é. (Henfil) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a list a em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = --- UOL, o melhor da Internet http://www.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] re:[(n^m) - n] multiplo de m ?
se m é primo mdc(n, m) = 1 ou m se mdc(n, m) = m então temos n = m.q para algum q inteiro, logo n^m - n = (mq)^n - m.q = m^n.q^n - m.q = m.(m^(n-1).q^n- q) logo m divide n^m - n se mdc(n, m) = 1 n !~ 0 (mod m) [ !~ quer dizer não congruente ] considere o anel dos inteiros módulo m, como m é primo Zm forma um corpo e podemos obter um grupo G contendo os elementos de Zm* (sem o 0) usando a multiplicação dos inteiros módulo m. |G| = m - 1 para todo elemento a de G a^|G| = 1, em particular, podemos tomar a classe de n (_n_)comoum elemento de G pois _n_ != 0. logo _n_^|G| = 1, _n_^(m-1) = 1 _n_^(m-1)._n_ = 1._n_ _n_^m = _n_ usando um resultado de teoria dos grupos, temos: n^m ~ n (mod m) n^m - n ~ 0 (mod m) logo m divide n^m - n - Original Message - From: felipe mendona To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 05, 2003 6:02 PM Subject: [obm-l] re:[(n^m) - n] multiplo de m ? Larryp , parece que eu me distrai na hora de digitar!Ao invez de digitar primo , digiteiimpar . Eu escrevi o e-mail passado embasado no que eu tinha lido em uma reportagem de numeros primos da revista Galileu , e portanto nao estou enganado quanto a minha resposta. Pierre de Fermat criou um teorema que é capaz de testar a nao primalidade de numeros em certos casos.Ele é enunciado asssim: Seja n um numero natural .Sem é primo entao [(n^m)- n]é multiplode m. Eu provei esse fato para alguns casos particulares em que n,m sao primos entre si é só... Felipe Mendonça Vitória-ES. . MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
[obm-l] sistema de equações
Olá pessoal, Estou resolvendo um sistema de equações e não estou chegando no resultado (que segundo o gabarito é zero) de jeito nenhum. Eu vou mostrar a questão e a maneira como eu conduzi para respondê-la, embora não conseguindo chegar na resoposta correta. Vejam: (PUC-SP) Se (3/11)*x + (8/7)*y = 2 (8/11)*x + (1/7)*y = -1 então x + y = é igual a: Resolução falaciosa: Primeiramente, dei a x/11 o valor de "a" e y/7 o valor de "b", ficando (x/11)=a e (y/7)=b. Depois eu subtitui no sistema, ficando: 3a + 8b = 2 8a + b= -1 Multipliquei a 2ª equação por (-8) ficando: 3a + 8b = 2 -64a -8 b= 8 Somando as duas equações encontraremos: -61a = 10 , portanto a = (-10)/61, mas como eu disse no início que (x/11)=a, então temos x= 11*a , que resulta em x= (-110)/61. Substituindo este valor na primeira equação eu obtive y= (791/122). Importantíssimo: O problema pede para calcular x + y, e somando os vermelhos não chegamos ao resultado que o gabarito dá como certo que é 1. Qual o erro que estou cometendo, em vista da resolução acima?
[obm-l] Livro da obm-l
olá pessoal, Alguém pode me informar aonde eu posso conseguir o livro das obm? Muito de vcs aqui da lista têm, vcs podem fazer um breve comentário a respeito deste, ou destes livros (não sei se têm mais do que um) ? Eles são 100% questões resolvidas ou têm teoria ? Qual o número de questões que eles possuem? Para quem puder me indicar algum outro livro que possui a maior quantidade de exercícios resolvidos (nível médio) comparado a qualquer outro livro eu acharia ótimo. Assim, quero dizer, o TOP dos TOP em se tratando de EXERCÍCIOS RESOLVIDOS (ensino médio).
