[obm-l] funções
Olá pessoal, Vejam a questão: Se f :N--->N é tal que: f(n)=n/2, se n for par ou f(n)=(n+1)/2, se n for ímpar, Como provar que existem números distintos p e q tais que f(p)=f(q) ?
[obm-l] Esqueçam a questão de trigonometria!
Olá pessoal, Esqueçam esta questão pois o enunciado dá o valor de x , e sendo assim aquelas minhas dúvidas a respeito da questão deixam de existir...desculpem
[obm-l] trigonometria
Olá pessoal, Como calcular esta expressão: (MACK-SP) [sen(x) + 2*cotg(x/2) - cos(2x)]/[tg(x/2)*cossec(x) +sec(4x)] Obs: A minha dúvida na resolução se deve a dois termos desta expressão: cotg(x/2), pois envolve a bissecção de funções derivadas como a cotg, e outra dúvida foi no sec(4x). Eu sei que cotg=1/tg e sec=1/cos mas se eu fosse substituir ficaria estranho: (1/tg)(x/2) e (1/cos)(4x).
[obm-l] Vamos arrumar o meu gabarito :-)
Olá pessoal, Vejam a questão: (FUND. CARLOS CHAGAS-SP) Um avião voa numa reta horizontal de altura 1 em relação a um observador 0, situado na projeção horizontal da trajetória. No instante t_(zero) é visto sob ângulo alfa e no instante t_1sob ângulo beta. A distância percorrida pelo avião no intervalo (t_zero;t_1) é : Resp: cotg(beta) - cotg(alfa) Obs: Descrição da figura: No instante t_0 o avião, o observador e o solo formam um triângulo retângulo onde alfa é o algulo entre o observador e o solo. No instante t_2 o avião, o observador e o solo formam, novamente, um triângulo retângulo onde beta é o ângulo entre o observador e o solo. A alternativa "d" do meu gabarito era cos(beta) - cos(alfa). Será que não é essa a alternativa correta? Digo isto pelo seguinte motivo: Se ele quer as distâncias entre os instantes t_0 e t_1, e o avião caminha sem nenhuma alteração em seu coeficiente angular, então a distancia entre os instantes é a mesma distancia entre a projeção horizontal do avião em t_0 e a projeção horizontal do avião em t_1. A projeção horizontal do avião em t_0 não é igual ao cos(alfa) ? E a projeção horizontal do avião em t_1 não é igual ao cos(beta), portanto t_1 - t_0= cos(beta) - cos(alfa), não estou certo ?
[obm-l] combinatória
Olá pessoal, Vejam a questão:] (UFCE) Um botão de um cofre tem os números 00, 01, 02, 03...,99. O segredo dele é uma sequência de 4 números do botão. Assim, 15-11-18-97 ou 11-15-18-97 ou 00-00-43-62 são exemplos de segredos. O número total dos possíveis segredos é igual a : Resp: 10^8 Obs: Eu até percebi que pode ser resolvido utilizando o principio fundamental da contagem, mas ainda não tenho a "manha" de utilizá-lo.
[obm-l] Re: [obm-l] Subconjuntos de {1,2,...,2n}
>Um problema parecido, mas um pouco mais difícil, é o seguinte:
>Provar que qualquer subconjunto T com n+1 elementos de S = {1, >2, ...,
2n } contém dois números distintos x,y tais que um é >múltiplo do outro.
vamos tentar por indução:
base: n=1
S={1,2}
T={1,2}
x=1, y=2.
hip (caso n):
dado S={1,2,..,2n}, entao em qualquer subconjunto T de S tal que |T|=n+1,
existem x,y tal que y=k.x para algum k natural.
passo (caso n+1):
S={1,2,..,2n,2n+1,2n+2}
preciso provar que em qualquer subconjunto T de S, tal que |T|=n+2, existem
x,y tq y=k.x para algum k natural.
se 2n+1 e 2n+2 nao pertencem a T, basta remover um elemento qualquer de
T e aplicar a hipótese de indução para obter x e y.
se 2n+1 ou 2n+2 (ou exclusivo) nao pertencem a T, entao remova este elemento
e a hipótese de indução faz o serviço.
se 2n+1 e 2n+2 pertencem a T :
se n+1 pertence a T entao x=n+1, y=2n+2
se n+1 nao pertence a T entao seja:
T'=T\{2n+1,2n+2}U{n+1}.
T' satisfaz a hipótese, entao basta aplicá-la para obter x,y.
se x e y sao diferentes de n+1 então é pq existe x e y em T.
se y=n+1 entao como 2n+2 é multiplo de n+1, tome y=2n+2. e teremos x e y
pertencentes a T, tal que y=k.x
(note que n+1 nunca pode ser o x pois não existe multiplo de n+1 em {1,2,..,2n}).
o que demonstra o que queríamos.
Gabriel Haeser
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"Mathematicus nascitur, non fit"
Matemáticos não são feitos, eles nascem
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Re: [obm-l] [OFF] Sistemas Operacionais
O Linux é mais eficiente em tudo... O problema é que não há quem faça jogo pra Linux, por exemplo, por que a maioria das pessoas que costuma jogar usa windows. Um dos maiores programas para produzir imagens e filmes 3D, o Maya, usado em muitos filmes famosos que vemos por aí foi desenvolvido para Linux (talvez exista versão para windows, mas não tenho certeza). Com relação a programas matemáticos, o Linux tambem ganha... O Scilab, por exemplo, é um programa muito bom! O único programa matemático do Windows que eu uso é o Matlab por causa de uns pacotes que ele tem para processamento digital de sinais, processamento digital de imagens, redes neurais, etc. Além de tudo no Linux ser melhor, os softwares em sua maioria são gratuitos, livres e open source, então você pode copiar livremente os programas e modificá-los (sempre mantendo o crédito dos autores). Caso você queira mais informações, mande e-mails diretamente para mim, para não atrapalhar: [EMAIL PROTECTED] []s David - Original Message - From: Marcus Alexandre Nunes <[EMAIL PROTECTED]> To: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, January 21, 2003 4:34 PM Subject: [obm-l] [OFF] Sistemas Operacionais Eu gostaria de saber se existem grandes diferenças entre Windows e Linux/Unix ao se trabalhar com programas matemáticos. Sendo mais específico: existem mais aplicativos para Windows ou para Linux/Unix? Eu sei q o Linux é um pouco deficiente em programas como jogos, editores de imagem, editores de vídeo etc. mas para o meio científico ele é mais eficiente, não é? Obrigado pela atenção. -- Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] UIN 114153703 ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] En: Dúvidas sobre duas questões de análise real!!!
- Original Message - From: Robson Monteiro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 14, 2003 5:23 PM Subject: Dúvidas sobre duas questões de análise real!!! Oi Pessoal estou com duas dúvidas(sobre quetões que encontrei no livro do Elon Lages-Análise Real) e gostaria de saber se alguém pode me ajudar: 1º) Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... 2º) Sejam A,B conjuntos não vazios de números reais, tais que x Pertence a A e y pertence a B, com (x<=y). Prove que supA<=infB. Prove que supA=infB, se e somente se, para todo Epsilon>0 dado, podem-se obter x pertencente a A e y pertencente a B tais que: y- x=epsilon
Re:[obm-l] 1+11+111+...111+...111
Calcular a seguinte soma 1+11+111+...111...111, que tem n parcelas. já pensou em fazer isso somatório de (10^x -1)/9 então: x=1 -> (10-1)/9= 9/9 = 1 x=2 -> (100-1)/9 = 99/9 = 11 x=3 -> (1000-1)/9 = 999/9 = 111 . . . x=n+1 -> (1000..001 -1)/9 = 999...999/9 = 111...111, que tem n parcelas se vc somar assim: S = (10^1 -1)/9 + (10^2 -1)/9 + (10^3 -1)/9 +...+ [10^ (n+1) -1)/9 S= 1/9*[10^1 -1 + 10^2 -1 + 10^3 -1 +...+ 10^(n+1) -1] S= 1/9[10^1 + 10^2 + 10^3 + ... + 10^(n+1) -(n+1)] então vc usa a fórmula da soma de uma P.G. finita e descobre um equação geral! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] 1+11+111+...
From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> > Olá Pessoal! > > Recebi essa questão para resolver: > Encontre a soma 1 + 11 + 111 + 111...111, que tem n > parcelas. 1 + 11 + 111 + 111...111 = (10^1 - 1)/9 + (10^2 - 1)/9 + ... + (10^n - 1)/9 = 1/9 [ (10^(n+1) - 1)/9 - n ] = ( 111...111 - n )/9 Onde aparecem (n+1) alagarismos 1 na fórmula final. > > Abaixo vou colocar o que melhor consegui responder. > Porém achei meio vago, sem muita teoria, meio intuição > sem provar por a + b, entendem? Vejam o que eu fiz e > tentem mostrar por que, ou então achar um jeito melhor > de responder. > > Resolução: > Você pode escrever a conta para n pequeno, tipo se n = > 1, 2, 3, 4, 5... > n = 1 > soma = 1 > > n = 2 > soma = 1 + 11 = 12 > > n = 3 > soma = 1 + 11 + 111 = 123 > > n = 4 > soma = 1 + 11 + 111 + = 1234 > > n = 5 > soma = 1 + 11 + 111 + + 1 = 12345 > > E assim vai. Agora precisamos ver o que acontece > quando n passa de 9 porque até aí você pode ver que se > n = 9 o resultado será 123456789, mas aí começa o > problema de "vai um". Se n = 10 teremos: > n = 10 > soma = 1234567900 > > n = 11 > soma = 12345679011 > > E você já pode ver como deve ser a resposta. Ela vai > ser algo do tipo: > 123456790123456790123456790... > > Para ver se é isso mesmo você pode fazer uma conta > maior, como por exemplo para n = 25, por exemplo. Ou > então você pode colocar uma conta grande com > reticências no lugar de algumas parcelas e deduzir o > que acontece. > > 1 > 11 >111 > > 1 > 11 >111 > ... > > 1 > 11 >111 > > 1 > - > > Você pode ver que os primeiros algarismos serão 1, 2, > 3, 4...até 7. Depois viria o 8 e o nove. Mas em > seguida viria 10, que não pode ser, tem que ir 1. > Então no lugar do 9, você somaria 1 e ficaria com 10. > Então fica o zero e vai um que soma com o oito, onde > você tem 9 e aí não vai mais 1! Por isso você tem a > sequência 1234567900. > > Aí você pode ir mais pra frente e ver que depois tem > 11 uns que somam 11 e vai 1 que vai somar com o zero > do 10 e o resto é o que nós vimos antes, então você > terá 12345679011. > > E assim, você pode concluir o resto que vai ser > sempre: > 12345679012345679012345679... > > Sendo que o último algarismo será o último algarismo > do número n de parcelas. > > Abraços, > > Rafael. > > __ > Do you Yahoo!? > Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. > http://mailplus.yahoo.com > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l]
Ola pra todos da lista. Bem, eu estava fazendo algumas questoes que um amigo meu me passou e estanquei numa que era a seguinte: Um numero (de n digitos) é dito automorfico se quando elevamos ele ao quadrado e este aparece nos ultimos n digitos de seu quadrado. Ex: 5^2 = 25 25^2 = 125 76^2 = 5776 Ache alguma relacao que define os numeros automorficos. Obrigado antes de tudo, Eduardo __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] duvida
Cluadio , valeu .entendi a sua solução foi bem detalhada e me facilitou muito. Obrigado, um abraço. Amurpe. > Acho que o segundo problema sai assim: > > Numere os setores 1, 2, ..., n de forma que k seja adja cente a k+1 (1 <= k > <= n-1) e n seja adjacente a 1. > > Inicialmente, temos k escolhas para a cor do setor 1. > Após colorido 1, temos k- 1 escolhas para a cor do setor 2, que tem de ser > diferente da do setor 1. > Após coloridos 1 e 2, temos k- 1 escolhas para a cor do setor 3, que tem de > ser diferente da do setor 2. > .. > Após coloridos 1, 2, ..., n-2, temos k- 1 escolhas para a cor do setor n-1, > que tem de ser diferente da do setor n-2. > Finalmente, após coloridos 1, ..., n-1, temos apenas k- 2 escolhas para a cor > do setor n, uma vez que esta cor tem de ser diferente d a cor dos setores n-1 > e 1. > > Número de maneiras = k * (k-1)^(n-2) * (k-2) > > Uma variante interessante é usar setores iguais e consi derar indistinguíveis > duas configurações de cores que podem ser obtidas uma d a outra por meio de > uma rotação (assim, por exemplo, com 5 setores e 3 core s, as configurações > ABACB, BACBA, ACBAB, CBABA e BABAC seriam contadas como uma só). > > Um abraço, > Claudio. > > - Original Message - > From: "amurpe" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Monday, January 13, 2003 3:25 PM > Subject: [obm-l] duvida > > > Oi pessoal , meu nome é antonio murpe sou novo na lista . > tenho 16 anos e gosto de estudar matemática. > estou tentando resolver alguns problemas do livro > matematica do ensino médio volume : 2 , da coleção do > professor de matematica , os problemas são muito > interessantes , mas muito dificeis , gostaria que voces > me dessem uma ajuda. > > 1)sheila e helena disputam uma serie de partidas.cada > partida é iniciada por quem venceu a partida anterior.e m > cada partida , quem a iniciou tem a probabilidade de 0, 6 > de ganhá-la e probabilidade 0,4 de perdê-la . Se Helena > iniciou a primeira partida , qual é a probabilidade de > Sheila ganhar a n-ésima partida? > > 2) um circulo foi dividido em n( maior ou igual a 2) > setores .de quantos modos podemos colori-los , cada > setor com uma cor , se dispomos de k ( maior que 2) > cores diferentes e setores adjacentes não devem ter a > mesma cor?. > > Os problemas estão ligados as sequencias recorrentes. > > desde já , obrigado. > > abraços, Amurpe > > > ___ ___ > E-mail Premium BOL > Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! > http://email.bol.com.br/ > > > === == > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > === == > > === == > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > === == > __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] 1+11+111+...
Olá Pessoal! Recebi essa questão para resolver: Encontre a soma 1 + 11 + 111 + 111...111, que tem n parcelas. Abaixo vou colocar o que melhor consegui responder. Porém achei meio vago, sem muita teoria, meio intuição sem provar por a + b, entendem? Vejam o que eu fiz e tentem mostrar por que, ou então achar um jeito melhor de responder. Resolução: Você pode escrever a conta para n pequeno, tipo se n = 1, 2, 3, 4, 5... n = 1 soma = 1 n = 2 soma = 1 + 11 = 12 n = 3 soma = 1 + 11 + 111 = 123 n = 4 soma = 1 + 11 + 111 + = 1234 n = 5 soma = 1 + 11 + 111 + + 1 = 12345 E assim vai. Agora precisamos ver o que acontece quando n passa de 9 porque até aí você pode ver que se n = 9 o resultado será 123456789, mas aí começa o problema de "vai um". Se n = 10 teremos: n = 10 soma = 1234567900 n = 11 soma = 12345679011 E você já pode ver como deve ser a resposta. Ela vai ser algo do tipo: 123456790123456790123456790... Para ver se é isso mesmo você pode fazer uma conta maior, como por exemplo para n = 25, por exemplo. Ou então você pode colocar uma conta grande com reticências no lugar de algumas parcelas e deduzir o que acontece. 1 11 111 1 11 111 ... 1 11 111 1 - Você pode ver que os primeiros algarismos serão 1, 2, 3, 4...até 7. Depois viria o 8 e o nove. Mas em seguida viria 10, que não pode ser, tem que ir 1. Então no lugar do 9, você somaria 1 e ficaria com 10. Então fica o zero e vai um que soma com o oito, onde você tem 9 e aí não vai mais 1! Por isso você tem a sequência 1234567900. Aí você pode ir mais pra frente e ver que depois tem 11 uns que somam 11 e vai 1 que vai somar com o zero do 10 e o resto é o que nós vimos antes, então você terá 12345679011. E assim, você pode concluir o resto que vai ser sempre: 12345679012345679012345679... Sendo que o último algarismo será o último algarismo do número n de parcelas. Abraços, Rafael. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Prof.: Wagner e Morgado
Gostaria de saber quais são os livros , títulos e temas, publicados atualmente ou não e onde posso adquirir. Estou em São Paulo capital. Vale também pra outros autores que dedicam-se a escrever bons livros de matemática teóricos ou de problemas, como esta indicado em http://www.obm.org.br/frameset-apoio.htm . Pena que alguns não são tão facéis de se conseguir. Abraços, HillBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] jogo com números
Estou tentando resolver o seguinte problema: 2)Duas pessoas A e B jogam o seguinte jogo: A começa escolhendo um número natural e logo, cada jogador na sua vez, diz um número de acordo com a seguinte regra: * se o último número dito for ímpar, o jogador soma 7 a este número; * se o último número dito for par, o jogador o divide por 2. Ganha o jogador que repete o número que for escolhido inicialmente. Encontrar todos os números que A pode escolher para ganhar. Justifique a sua resposta. Bom, eu fui fazendo as contas braçalmente mesmo pra ver se encontrava alguma coisa para justificar as coisas matemáticamente. Só encontrei que A ganha apenas se escolher 3, 5, 6, 10 ou 12. E depois disso dá pra perceber (intuitivamente) que não vai mais ter jeito de A ganhar. Na verdade depois de 14 parece que nem A nem B ganham (assim como acontece se A escolher 9, 11 ou 13). Mas eu preciso justificar esse raciocínio todo e não estou conseguindo. Se alguém puder me ajudar... Abraços, Rafael. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Subconjuntos de {1,2,...,2n}
Title: Help
Noutro dia, o Danilo Artigas propôs o seguinte problema:
"Provar que qualquer subconjunto com n+1 elementos de {1, 2, ..., 2n}
contém dois números primos entre si."
Um problema parecido, mas um pouco mais difícil, é o seguinte:
Provar que qualquer subconjunto com n+1 elementos de {1, 2, ..., 2n }
contém dois números distintos tais que um é múltiplo do outro.
Ainda mais difícil (na minha opinião) é este:
Seja P(x) = número de primos <= x (assim, P(1) = 0, P(2) = 1, P(3)
= P(4) = 2, P(5) = P(6) = 3, etc.).
Dado um número positivo x e inteiros A1, A2, ..., An, se 1 < A1 < A2
< ... < An <= x e nenhum dos Ai divide o produto dos demais, então n
<= P(x).
OBS: "<=" quer dizer "menor ou igual que"
Um abraço,
Claudio.
[obm-l] ângulos
Oi Pessoal! Já quebrei a cabeça por horas nesse problema e só consigo encontrar que o ângulo procurado mede c + d. Também já tentei transformar c + d de modo que fique parecido com alguma das alternativas, sem sucesso. Será que alguém consegue me ajudar? Abraços, Rafael. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com <>
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] sen,cos tg no ciclo trigonométrico
faelc, a solução através do desdobramento da definição de tangente , é possivel , basta observar um pequeno detalhe: tgx = senx/cosx , mas seno e cosseno são as razões entre catetos opostos e adjacentes a HIPOTENUSA ( a) do triangulo retangulo. dai tgx = b/a/c/ a onde b=3 c=4 , dai calculamos a que é : a^2=b^2+c^2 , ou a=5 , dai senx=3/5 e cosx=4/5 logo ; cosx-senx= 4/5-3/5 , mas como x está no intervalo mencionado , o sinal será negativo: daí a resposta é - 1/5. um abraço, et: você acessou os sites que te enviei?.Se houver problema me fale . um abraço. Amurpe. > olá, > > Pense na redução deste ângulo ao primeiro quadrante. Es tando no primeiro quadrante vc pode dizer que este ângulo é um dos ângulos de um triângulo pitagórico de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento. o seno do ângulo é 4/5 e o cosseno do ângulo é 3/5. Mas como o ângulo é do segundo quadrante, o seno será positivo e o cosseno negativo. A r esposta será: 3/5 - 4/5 = -1/5 > > []'s MP > - Original Message - > From: [EMAIL PROTECTED] > To: [EMAIL PROTECTED] > Sent: Wednesday, January 22, 2003 2:32 AM > Subject: [obm-l] sen,cos tg no ciclo trigonométrico > > > Olá pessol, > > Como resolver está questão que caiu na fuvest: > > (FUVEST) Se tgx=3/4 e Pi > Resposta:-1/5 > > Eu tentei resolver este exercício transformando a tg em senx/cosx e depois eu tenter aplicar a relação fundame ntal sen^2x + cos^2x=1 para eliminar estas incóginas e fi car com o 1 e apenas uma mas eu rodeava no exercício e ch egava a sen^2x - cos^2x, ou seja com sinal trocado. __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] duvida
Acho que o segundo problema sai assim: Numere os setores 1, 2, ..., n de forma que k seja adjacente a k+1 (1 <= k <= n-1) e n seja adjacente a 1. Inicialmente, temos k escolhas para a cor do setor 1. Após colorido 1, temos k-1 escolhas para a cor do setor 2, que tem de ser diferente da do setor 1. Após coloridos 1 e 2, temos k-1 escolhas para a cor do setor 3, que tem de ser diferente da do setor 2. .. Após coloridos 1, 2, ..., n-2, temos k-1 escolhas para a cor do setor n-1, que tem de ser diferente da do setor n-2. Finalmente, após coloridos 1, ..., n-1, temos apenas k-2 escolhas para a cor do setor n, uma vez que esta cor tem de ser diferente da cor dos setores n-1 e 1. Número de maneiras = k * (k-1)^(n-2) * (k-2) Uma variante interessante é usar setores iguais e considerar indistinguíveis duas configurações de cores que podem ser obtidas uma da outra por meio de uma rotação (assim, por exemplo, com 5 setores e 3 cores, as configurações ABACB, BACBA, ACBAB, CBABA e BABAC seriam contadas como uma só). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: "amurpe" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, January 13, 2003 3:25 PM Subject: [obm-l] duvida Oi pessoal , meu nome é antonio murpe sou novo na lista. tenho 16 anos e gosto de estudar matemática. estou tentando resolver alguns problemas do livro matematica do ensino médio volume : 2 , da coleção do professor de matematica , os problemas são muito interessantes , mas muito dificeis , gostaria que voces me dessem uma ajuda. 1)sheila e helena disputam uma serie de partidas.cada partida é iniciada por quem venceu a partida anterior.em cada partida , quem a iniciou tem a probabilidade de 0,6 de ganhá-la e probabilidade 0,4 de perdê-la . Se Helena iniciou a primeira partida , qual é a probabilidade de Sheila ganhar a n-ésima partida? 2) um circulo foi dividido em n( maior ou igual a 2) setores .de quantos modos podemos colori-los , cada setor com uma cor , se dispomos de k ( maior que 2) cores diferentes e setores adjacentes não devem ter a mesma cor?. Os problemas estão ligados as sequencias recorrentes. desde já , obrigado. abraços, Amurpe __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] A Lei de Newton para o resfriamento
Lei de Newton para o resfriamento? Sei que, na física, Newton se aventurou na mecânica e na ótica. Jamais ouvi falar de incursões dele na termodinâmica. O primeiro a estudar o que acontecia quando dois corpos de temperaturas diferentes eram postos em contacto foi Joseph Black, em 1770, cerca de meio século após a morte de Newton, em 1727. JF PS: Sua solução para o problema está correta. - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 22, 2003 7:47 AM Subject: Re: [obm-l] A Lei de Newton para o resfriamento A Lei de Newton para o resfriamento diz o seguinte: Seja T a temperatura de um corpo no instante t, e seja A a temperatura ambiente (suposta constante) (...)
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência 1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14
Ok, agora faz sentido! Pra mim, o problema está resolvido.
Eu só acho que, do ponto de vista do encadeamento lógico, a prova de que
m(n) = m(n-1) + k, com k em {0,1} deveria vir antes. Isso porque a inclusão
de M(n-1) em {X(1),...,X(n)} (na minha opinião, a sua grande sacada -
parabéns!), além de ser consequência da equação:
m(n) = m(n-1) + [ X(n) - m(n-1) ] / n,
também decorre do fato de que m(n-1) <= m(n) <= n (consequência direta de
m(n) = m(n-1) + k), de forma que se m(n-1) <> X(k) para todo k < n, então só
pode ser m(n-1) = X(n), já que X(n) >= m(n-1) e X(n) é o menor inteiro ainda
não utilizado que resulta em m(n) inteiro.
Vamos pro próximo...
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Tuesday, January 21, 2003 9:44 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência 1, 3, 2, 6,
8, 4, 11, 5, 14
> Caro Domingos Jr.
>
> Dei uma primeira lida na sua demonstração e acho que a idéia funciona.
> Porém, tem uma passagem que não ficou clara:
>
> "X(n) = m(n-1) + k.n para algum k inteiro
> Essa linha também nos diz que M(i) = {m(1), m(2), ... m(i)}está contido em
> {X(1), X(2),..., X(i+1)}
> pois o valor m(n-1) é o menor que satisfaz o critério de média aritmética
> inteira."
Temos que X(n) ~ m(n-1) (mod n), ou seja m(n-1) aparece nos primeiros n
termos da seqüência pois, se nenhum elemento até X(n) for igual a m(n-1),
então X(n) = m(n-1), isso porque nenhum inteiro menor do que m(n-1) vai
satisfazer o critério da média inteira para o valor de X(n).
> A equação está OK e eu também acho que a sua afirmativa é verdadeira, mas
> não entendi como a afirmativa decorre da equação. Além disso, X(n-1) e não
> m(n-1) é o menor valor que satisfaz o critério de média inteira.
Justificativa acima.
> Também estou convencido de que m(n) = m(n-1) + k com k em {0,1}, mas
preciso
> de um tempinho para me achar com os 6 índices diferentes (n, i, j, u, v,
w)
> que você usa no resto da demonstração.
Também não me agrada usar tantos índices diferentes, mas acho que é melhor
evitar uma confusão usando novos índices do que deixar margem para dúvida.
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Re: [obm-l] A Lei de Newton para o resfriamento
A Lei de Newton para o resfriamento diz o seguinte: Seja T a temperatura de um corpo no instante t, e seja A a temperatura ambiente (suposta constante). Então: dT/dt = - k*(T - A), onde k é constante (determinada experimentalmente): Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução é: T(t) = A + [T(0) - A]*exp(-k*t) Sabemos que A = 20, T(0) = 100 e T(20) = 80. Assim: T(20) = 20 + [T(0) - 20]exp(-k*20) ==> 80 = 20 + (100-20)*exp(-k*20) ==> exp(-k*20) = 3/4 ==> k = -ln(3/4)/20 T(t) = 60 ==> 20 + (100-20)*exp(t*ln(3/4)/20) = 60 ==> exp(t*ln(3/4)/20) = 1/2 ==> t = 20*ln(1/2)/ln(3/4) = 48,1884 min ==> t = 48 min 11,305 seg. - Original Message - From: Edmilson To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 22, 2003 7:55 AM Subject: [obm-l] A Lei de Newton para o resfriamento Por favor resolver o seguinte problema : Se um corpo arrefece de 100º C a 80º C em vinte minutos quando a temperatura ambiente é de 20º C, quanto tempo demora para cair de 100º C a 60º C ? Atenciosamente,Edmilson[EMAIL PROTECTED]
[obm-l] Re: [obm-l] transformação de arcos
A idéia foi muito boa, mas você se enganou no mais fácil - a equação do segundo grau. Na verdade, as raízes são: y = -1 + raiz(2) ou y = -1 - raiz(2) Como 22,5 graus está entre 0 e 90 graus, a tangente é positiva ==> y = -1 + raiz(2). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 22, 2003 3:39 AM Subject: [obm-l] transformação de arcos Olá pessoal, (PUC-SP) A tg 22,5º é igual a: Resposta: (sqrt2) - 1 Obs: Como 22,5º= 45º-22,5º, eu tentei resolver da seguinte maneira: tg22,5º=tg(45º-22,5)=(tg 45º - tg 22,5º)/(1 + tg 45º*tg 22,5º) tg22,5º= (1 - tg 22,5º)/(1+tg22,5º) , passando o denominador para o primeiro membro temos tg^2 (22,5º) + 2*tg22,5º -1=0. Eu arbitrei tg22,5º=y e facilitamos a eq. do 2º- y^2 + 2y - 1=0 resolvendo eu cheguei ao valor de -1 e como eu arbitrei y=tg22,5º temos tg22,5º= -1 (IMPOSSÍVEL) Onde está meu erro?
[obm-l] Re: [obm-l] sen,cos tg no ciclo trigonométrico
Eu me lembro de já ter visto outra questão sua sobre este mesmo tema. Assim, vou tentar generalizar. Suponha que tg(x) = p/q, onde p e q são inteiros. tg(x) = sen(x)/cos(x) = p/q ==> sen(x) = (p/q) * cos(x) sen^2(x) + cos^2(x) = 1 ==> (p/q)^2 * cos^2(x) + cos^2(x) = 1 ==> [ 1 + (p/q)^2 ] * cos^2(x) = 1 ==> cos^2(x) = 1/[1 + (p/q)^2] = q^2 / ( p^2 + q^2 ) ==> sen^2(x) = p^2 / ( p^2 + q^2 ) Assim, tomando raízes quadradas, teremos: cos(x) = + |q| / raiz(p^2 + q^2) ou cos(x) = - |q| / raiz(p^2 + q^2) e sen(x) = + |p| / raiz(p^2 + q^2) ou sen(x) = - |p| / raiz(p^2 + q^2) Repare que os numeradores contém os valores absolutos de p e q. Os sinais são escolhidos da seguinte forma: cos(x) sen(x) 0 < x < Pi/2 + + Pi/2 < x < Pi -+ Pi < x < 3Pi/2 - - 3Pi/2 < x < 2Pi + - Assim, no caso do seu problema, teremos: tg(x) = 3/4 ==> cos(x) = + ou - 4 / raiz(3^2 + 4^2) = + ou - 4/5 sen(x) = + ou - 3/5 Como Pi < x < 3Pi/2, o seno e o cosseno são ambos negativos (vide a tabela acima). Logo, cos(x) - sen(x) = -4/5 - (-3/5) = -4/5 + 3/5 = -1/5. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 22, 2003 2:32 AM Subject: [obm-l] sen,cos tg no ciclo trigonométrico Olá pessol, Como resolver está questão que caiu na fuvest: (FUVEST) Se tgx=3/4 e Pi Resposta:-1/5 Eu tentei resolver este exercício transformando a tg em senx/cosx e depois eu tenter aplicar a relação fundamental sen^2x + cos^2x=1 para eliminar estas incóginas e ficar com o 1 e apenas uma mas eu rodeava no exercício e chegava a sen^2x - cos^2x, ou seja com sinal trocado.
Re: [obm-l] Teorema de Ceva
Tente entrar no site Cut the Knot através de: http://www.cut-the-knot.com/ Uma vez lá dentro, clique em "Geometry" na coluna da esquerda, e você dará na lista de artigos. - Original Message - From: "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, January 21, 2003 9:45 PM Subject: Re: [obm-l] Teorema de Ceva tenho recebido esse aviso: Forbidden You don't have permission to access /Generalization/Menelaus.shtml on this server. Additionally, a 403 Forbidden error was encountered while trying to use an ErrorDocument to handle the request. Apache/1.3.27 Server at www.cut-the-knot.com Port 80 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] A Lei de Newton para o resfriamento
Por favor resolver o seguinte problema : Se um corpo arrefece de 100º C a 80º C em vinte minutos quando a temperatura ambiente é de 20º C, quanto tempo demora para cair de 100º C a 60º C ? Atenciosamente,Edmilson[EMAIL PROTECTED]
