[obm-l] retorno da questão do polinômio
Olá pessoal, Ontem eu enviei a seguinte questão: (UFPA) O polinômio x^3 - 5x^2 + mx - n é divisível por x^2 - 3x + 6. Então,os números m e n são tais que m + n é : Obs: Meu gabarito diz que é zero e todos concordaram, mas vejam só, se fizermos a prova, substituindo m=12 e n=-12 no polinômio (dividendo) a condição de divisão exata não existirá. Eu calculei, novamente, e cheguei a 24 (que é uma das alternativas), até ai eu pensei que essa era a resposta mas substituindo o resultado não mostrava resto nulo. Se o resultado realmente é zero por favor desenvolvam a divisão euclidiana, pois fiz várias vezes e não cheguei a zero para a soma de m + n. Eu fiz download do novo ICQ para aqueles que querem resolver questões de matemática on-line comigo, meu número é 337140512. Fuii!!
[obm-l] Problemas
Dois problemas interessantes: 1)(HUNGRIA) Sejam n um número natural e f(n) o número de zeros que aparece na representação decimal de n. Por exemplo f(23) = 0, f(100) = 2, f(1989) = 0, f(105) = 1 etc. Considerando 2^f(i) como sendo "2 elevado a f(i)", Calcule o valor da expressão E = 2^f(1) + 2^f(2) + 2^f(3) + ...+ 2^f(999.999.999) 2) Um polígono convexo possui 2n lados. Prove que o polígono contém no mínimo n diagonais que não são paralelas a qualquer de seus lados. Benedito Freire
[obm-l] Combinatória IME
Alguém poderia me ajudar com esta questão do IME: (IME-97) - Uma embarcação deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais só remam do lado direito e apenas um, do lado esquerdo. Determine de quantos modos esta tripulação pode ser formada, se de cada lado deve haver quatro homens. Obs.: a ordem dos homens de cada lado distingue a tripulação. Muito Obrigado Wander
Re: [obm-l] teorema de fermat
Na revista Eureka no. 7 existe um artigo (muito bom, aliás) sobre Equações Diofantinas escrito pelo Antonio Caminha Muniz Neto, que trata desta equação além de várias outras. Você encontrará este número da revista ou o artigo avulso no site http://www.obm.org.br/eureka.htm Um abraço, Claudio. - Original Message - From: matteus barreto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 8:57 PM Subject: [obm-l] teorema de fermat Um colega outro dia me disse que não seria tão difícil demostrar o último teorema de fermat para o caso n = 4, a saber: Não existe uma tripla de inteiros (x, y, z), para n > 2, que satisfaça a equação: x^n + y^n = z^n. No entanto não consegui resolver tal problema... Se alguém puder me ajudar, agradeço! Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] funções
Caro Eduardo:
Ponha u(x0) = U e v(x0) = V.
Assim, U*V <> 0 ; f(1/(U*V)) = 2 ; U^2 + V^2 = 1
Usando a relação: f(x + 1/x) = f(x) + 1/f(x) com x = U/V, teremos:
f(U/V + V/U) = f(U/V) + 1/f(U/V)
Mas: f(U/V + V/U) = f[(U^2 + V^2)/(U*V)] = f(1/(U*V)) = 2
Assim: f(U/V) + 1/f(U/V) = 2 ==>
f(U/V)^2 - 2*f(U/V) + 1 = 0 ==>
[ f(U/V) - 1 ]^2 = 0 ==>
f(U/V) = 1 ==> alternativa (b).
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: "Eduardo Henrique Leitner" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "lista de matemática" <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Tuesday, January 28, 2003 1:57 AM
Subject: [obm-l] funções
Sejam três funções f, u, v: R -> R tais que:
f{x + (1/x)} = f(x) + [1/f(x)] para todo x não nulo e (u(x))^2 + (v(x))^2 =
1 para todo x real.
Sabendo-se que x0 é um número real tal que u(x0)*v(x0) != 0 e
f{1/(u(x0)*v(x0))} = 2, o valor de f{u(x0)/v(x0)} é:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 1/2
e) -2
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[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória IME
Minha interpretação do enunciado é que 2 só remam na direita, 1 só na esquerda e os 5 restantes nos dois lados. Chame de D1 e D2 os dois homens que só remam na direita e de E o que só rema na esquerda. Escolha da posição na direita para D1: 4 Escolha da posição na direita para D2, com D1 já posicionado: 3 Escolha da posição na esquerda para E, com D1 e D2 já posicionados: 4 Permutação dos demais nos 5 lugares restantes: 5! = 120 Total: 4*3*4*120 = 5760. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Wander Junior To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 28, 2003 11:55 AM Subject: [obm-l] Combinatória IME Alguém poderia me ajudar com esta questão do IME: (IME-97) - Uma embarcação deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais só remam do lado direito e apenas um, do lado esquerdo. Determine de quantos modos esta tripulação pode ser formada, se de cada lado deve haver quatro homens. Obs.: a ordem dos homens de cada lado distingue a tripulação. Muito Obrigado Wander
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Escolha de um lugar para o primeiro idoso: 5 Escolha de um lugar para o segundo idoso, com o primeiro já sentado: 4 Escolha dos 3 que irão ocupar os lugares vagos restantes: C(5,3) = 10 Permutação dos 3 nestes 3 lugares: 3! = 6 Total = 5 * 4 * 10 * 6 = 1200 Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Marcelo Roseira To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 28, 2003 2:16 AM Subject: [obm-l] Combinatória 7 (sete) pessoas, entre as quais 2 (dois) idosos, sobem num ônibus, com 5 (cinco) lugares vagos. Se os idosos viajarão sentados, o número de maneiras de ocupar os cinco lugares é:
[obm-l] AABBCC numa tabela 3x3
Caros Rafael e Profs. Thyago e Morgado: Realmente, sou forçado a concordar com vocês que a resposta certa é 3348. Na minha solução eu cometi um erro ao calcular o número de configurações com apenas um par de letras iguais na mesma coluna. Segue a solução correta (que, pelo menos, é diferente daquela apresentada pelo Thyago). Um abraço, Claudio. ** De quantos modos se pode colocar na tabelaabaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C,uma em cada casa, de modo que não haja duas letrasiguais na mesma coluna? _ _ _|_|_|_||_|_|_||_|_|_| 1. No. de maneiras de colocar as 6 letras sem restrição: - Escolha das posições para os A's dentre as 9 possíveis: C(9,2) = 36 - Escolha das posições para os B's dentre as 7 restantes: C(7,2) = 21 - Escolha das posições para os C's dentre as 5 restantes: C(5,2) = 10 TOTAL = 36 * 21 * 10 = 7560 Agora, a idéia é subtrair as configurações com duas letras iguais na mesma coluna. 2. No. de configurações com A's, B's e C's numa mesma coluna: - Escolha da coluna dos A's: 3 - Escolha das posições dos A's na coluna: 3 - Escolha da coluna dos B's: 2 - Escolha das posições dos B's na coluna: 3 - Escolha da coluna dos C's: 1 - Escolha das posições dos C's na coluna: 3 TOTAL = 3 * 3 * 2 * 3 * 1 * 3 = 162 3. No. de configurações com A's e B's numa mesma coluna mas com os C's em colunas distintas: - Escolha da coluna dos A's: 3 - Escolha das posições dos A's na coluna: 3 - Escolha da coluna dos B's: 2 - Escolha das posições dos B's na coluna: 3 - Escolhas das posições dos C's sem restrição, dentre as 5 restantes: C(5,2) = 10 - Número de posições com os dois C's na mesma coluna: 3 ==> No. de posições com os C's em colunas distintas = 10 - 3 = 7 TOTAL: 3 * 3 * 2 * 3 * 7 = 378 3.1. De forma análoga, o no. de configurações com apenas A's e C's numa mesma coluna e com apenas B's e C's numa mesma coluna também é igual a 378. Assim: NO. DE CONFIGURAÇÕES COM APENAS DUAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 378 = 1134 4. No. de configurações com os dois A's numa mesma coluna mas com os B's e os C's em colunas diferentes: - Escolha da coluna dos A's: 3 - Escolha das posições dos A's na coluna: 3 - Escolhas das posições dos B's e dos C's sem restrição: C(7,2)*C(5,2) = 21 * 10 = 210 B's numa mesma coluna e C's em colunas diferentes: - Escolha da coluna dos B's: 2 - Escolha das posições dos B's na coluna: 3 - No. de posições com os C's em colunas distintas: 7 Total: 2 * 3 * 7 = 42 Analogamente: C's numa mesma coluna e B's em colunas diferentes - Total = 42 B's e C's numa mesma coluna: 2 * 3 * 1 * 3 = 18 - No. de configurações com pelo menos um dentre B e C numa mesma coluna: 42 + 42 + 18 = 102 Portanto: - No. de configurações com os B's e os C's em colunas distintas, uma vez colocados os A's: 210 - 102 = 108 TOTAL: 3 * 3 * 108 = 972 4.1. De forma análoga, o no. de configurações com apenas os B's ou apenas os C's numa mesma coluna também é igual a 972. Assim: NO. DE CONFIGURAÇÕES COM APENAS UMA DAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 972 = 2916 TOTAL GERAL = 7560 - 162 - 1134 - 2916 = 3348.
[obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferente! Combinatória
> (FGV-SP) Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas, dispostas em 4
> linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal
> forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De
> quantas maneiras as peças poderão ser colocadas?
Sei que um monte de gente já respondeu esta mas não resisto a mandar
a minha resposta já que acho que ela é de certa forma mais simples.
Para começar vamos trocar 4 por n e 16 por n^2 no enunciado.
O enunciado não deixa muito claro se devemos considerar as n peças
como iguais (n torres brancas) ou diferentes (as torres são numeradas
de 1 a n); vamos resolver as duas versões.
Se as peças são iguais as suas posições são o gráfico de uma permutação
de {1,2,...,n} (ou seja, para cada linha i, 1 <= i <= n,
uma peça ocupa a posição (i,f(i)) onde f: {1,2,...,n} -> {1,2,...,n}).
Assim há n! soluções.
Se as peças são diferentes precisamos de uma segunda permutação
para indicar o índice da peça. Se preferirem, podem também considerar
que uma permutação indica a linha e outra a coluna. De qq forma a
resposta é (n!)^2.
4! = 24, (4!)^2 = 576
[]s, N.
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[obm-l] RES: [obm-l] Combinatória
primeiro idoso: 5 possibilidades segundo idoso: 4 possibilidades Agora escolho três pessoas jovens para sentar: C5,3 = 10 primeira pessoa jovem sentada: 3 segunda pessoa jovem sentada: 2 terceira pessoa jovem sentada: 1 Total: 5*4*10*3*2*1=200*6 = 1200 -Mensagem original-De: Marcelo Roseira [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Enviada em: terça-feira, 28 de janeiro de 2003 01:16Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Combinatória 7 (sete) pessoas, entre as quais 2 (dois) idosos, sobem num ônibus, com 5 (cinco) lugares vagos. Se os idosos viajarão sentados, o número de maneiras de ocupar os cinco lugares é:
[obm-l] Re: [obm-l] retorno da questão do polinômio
On Tue, Jan 28, 2003 at 03:37:22AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Olá pessoal, > > Ontem eu enviei a seguinte questão: > > (UFPA) O polinômio x^3 - 5x^2 + mx - n é divisível por x^2 - 3x + 6. Então,os > números m e n são tais que m + n é : Podemos escrever x^3 - 5x^2 + mx - n = (x - a)(x^2 - 3x + 6) pois o quociente deve ser mônico e de grau 1. Calculando o coeficiente de x^2 dos dois lados temos a = 2. Multiplicando o lado direito temos x^3 - 5x^2 + mx - n = x^3 - 5x^2 + 12x - 12 donde m = n = 12 e m+n = 24. Só para verificar, fiz no maple simplify((x^3 - 5*x^2 + 12*x - 12)/(x^2 - 3*x + 6)); e deu x-2, como deveria. > Obs: Meu gabarito diz que é zero e todos concordaram, mas vejam só, se > fizermos a prova, substituindo m=12 e n=-12 no polinômio (dividendo) a > condição de divisão exata não existirá. Eu calculei, novamente, e cheguei a > 24 (que é uma das alternativas), até ai eu pensei que essa era a resposta mas > substituindo o resultado não mostrava resto nulo. Se o resultado realmente é > zero por favor desenvolvam a divisão euclidiana, pois fiz várias vezes e não > cheguei a zero para a soma de m + n. Talvez o fato de m aparecer com sinal + e n com sinal - seja a fonte da confusão. Parece que seu gabarito não está bom. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] funções compostas
--- Eduardo Henrique Leitner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > (ITA-92) Considere as funções: f: R* -> R, g: R -> R > e h: R* -> R definidas por: > > f(x) = (tres elevado a x) + (1/x) , g(x) = x² , h(x) > = (81/x) > > O conjunto dos valores de x em R* tais que (fog)(x) > = (hof)(x) é subconjunto de: > a) [0,3] > b) [3,7] > c) [-6,1] > d) [-2,2] > e) n.d.a > > > > eu tentei calcular (fog)(x) e (hof)(x) e igualar os > dois... mas cheguei à uma equação que, putz, sem > comentários... > > alguém pode me ajudar? Estive olhando o problema.Como nao estava saindo, resolvi verificar e descobri que, na verdade, f(x)= 3^(x + 1/x) e nao como vc colocou acima. Vc pode dar uma olhada no site do estudemais, se quiser. Agora o problema fica mais fácil. Se vc nao se importar, aí vai uma solucao: Fazendo f(g(x))= h(f(x)) teremos uma eq. exponencial que, por sua vez, vai resultar na seguinte eq.: x^4+x³-4x²+x+1=0 Como 1 é raiz dupla, vc recai em uma eq. de grau 2 cujas raizes sao (-3-sqrt5)/2 e (-3+sqrt5)/2. Logo, as raizes sao subconjunto de [-6,1]. Tertuliano Carneiro. = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > <[EMAIL PROTECTED]> > = ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Problemas
1)(HUNGRIA) Sejam n um número natural e f(n) o número de zeros que aparece na representação decimal de n. Por exemplo f(23) = 0, f(100) = 2, f(1989) = 0, f(105) = 1 etc. Considerando 2^f(i) como sendo "2 elevado a f(i)", Calcule o valor da expressão E = 2^f(1) + 2^f(2) + 2^f(3) + ...+ 2^f(999.999.999) Inicialmente, observe que: E = N(0)*2^0 + N(1)*2^1 + N(2)*2^2 + ... + N(8)*2^8 onde N(s) = número de inteiros positivos de 9 algarismos ou menos que têm "s" zeros ( 0 <= s <= 8 ) em sua representação decimal. A fim de avaliar N(s), definamos: N(r,s) = número de inteiros positivos de "r" algarismos ( 1 <= r <= 9 ) que têm "s" zeros ( 0 < = s <= r-1 ) em sua representação decimal Cálculo do valor de N(r,s): Escolha do algarismo da primeira posição (tem de ser <> 0): 9 Escolha de s das r-1 posições para os zeros: C(r-1,s) Escolha dos algarismos para as r-s-1 posições remanescentes (também <> 0): 9^(r-s-1) Assim: N(r,s) = 9 * C(r-1,s) * 9^(r-s-1) = C(r-1,s) * 9^(r-s) Agora, N(s) = N(s+1,s) + N(s+2,s) + ... + N(9,s) = = C(s,s)*9^(s+1-s) + C(s+1,s)*9^(s+2-s) + ... + C(8,s)*9^(9-s) = = C(s,s)*9 + C(s+1,s)*9^2 + ... + C(8,s)*9^(9-s) = = 9 * [ C(s,s) + C(s+1,s)*9 + C(s+2,s)*9^2 + ... + C(8,s)*9^(8-s) ] Tenho certeza de que deve haver uma fórmula macetosa para a soma entre colchetes, mas achei mais fácil usar uma planilha. Assim: N(0) = 9 * [ 1 + 9 + 9^2 + ... + 9^8 ] = 9 * (9^9 - 1) / 8 = 435.848.049 N(1) = 762.734.088 N(2) = 584.157.456 N(3) = 255.730.032 N(4) = 69.990.624 N(5) = 12.263.040 N(6) = 20.988 N(7) = 657 N(8) = 9 Substituindo estes valores na expressão para E em função dos N(s), teremos: E = 2.122.152.921 = 3^2 * 7 * 19 * 1.772.893 Curioso é que, mesmo com uma fórmula para a soma, este problema ainda envolve uma quantidade razoável de contas braçais - estranho para um problema de olimpíada. É claro que pode haver alguma solução "mágica" que não envolve conta nenhuma.apesar de a fatoração de E não dar nenhuma indicação disso. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: bene To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 28, 2003 9:45 AM Subject: [obm-l] Problemas Dois problemas interessantes: 1)(HUNGRIA) Sejam n um número natural e f(n) o número de zeros que aparece na representação decimal de n. Por exemplo f(23) = 0, f(100) = 2, f(1989) = 0, f(105) = 1 etc. Considerando 2^f(i) como sendo "2 elevado a f(i)", Calcule o valor da expressão E = 2^f(1) + 2^f(2) + 2^f(3) + ...+ 2^f(999.999.999) 2) Um polígono convexo possui 2n lados. Prove que o polígono contém no mínimo n diagonais que não são paralelas a qualquer de seus lados. Benedito Freire
[obm-l] Número Irracional
Title: Help Seja K um inteiro >= 2. infinito Seja S = SOMATÓRIO 1 / K^(n^2) = 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + ... n = 1 Prove que S é irracional. Será possível generalizar para o caso de: infinito S = SOMATÓRIO Q^f(n) n = 1 onde Q é um racional não nulo entre -1 e 1 (exclusive) e f(n) é um polinômio de grau >=2 com coeficientes inteiros e tal que o coeficiente do termo de maior grau é positivo? Um abraço, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somas de séries
Caro Paulo e demais colegas da lista:
Sobre a soma de 1/(an+b)^2, eu gostaria de saber se é sempre algum múltiplo
racional (ou pelo menos algébrico) de Pi^2 e, em caso afirmativo, qual o seu
valor.
Quanto à sua questão:
NIC(1,1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = Ln(2)
e
1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 = Pi^2/6 = 1/6 * (Pi/Ln(2))^2 * NIC(1,1)^2
Ou seja, K = 1/6 * (Pi/Ln(2))^2, o que não tem cara de ser algébrico (muito
menos racional).
Por outro lado:
NIC(1,2) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = Pi/4
e
1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 = Pi^2/8 = 2 * (Pi/4)^2 = 2 * NIC(1,2)^2 ==>
K = 2 !!!
Vale a mesma pergunta, com NIC(X,Y) no lugar de Pi^2.
Vou precisar pensar mais na questão da relação entre o triângulo de
Pascal(K,L) e o Harmônico(K,L).
Já localizei o livro Matemática Quântica - vou dar uma lida - mas, de
qualquer forma, acho pouco provável (pra ser bem otimista!!!) que eu chegue
a alguma conclusão sobre os zeros complexos de Z(r) = SOMA 1/n^r,
especialmente aqueles com parte real entre 0 e 1. Em particular que todos
têm parte real = 1/2. De qualquer forma, US$ 1 milhão mais uma Fields Medal
viriam bem a calhar
De qualquer forma, também acho que tudo isso é muito interessante e não ligo
a mínima pra aplicações práticas.
Mudando um pouco de assunto, eu achei uma demonstração razoavelmente
elementar de que Z(3) = SOMA 1/n^3 é irracional. Uma boa pergunta é: Z(3) é
um múltiplo racional ou algébrico de Pi^3 ?
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Monday, January 27, 2003 6:50 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Somas de séries
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
A ultima pergunta e simples, em determinado sentido ... Use o MAPLE e voce
vera a soma para qualquer "1/(an+b)^2". Mas o MAPLE faz as coisas ao modo
dele, insatisfatorio em certo sentido ...
Por muitas razoes, eu precisei investigar as series da forma :
NIC(a,r)= 1/a - 1/(a+r) + 1/(a+2r) - 1/(a+3r) + ...
Num certo sentido estas series sao "primitivas", vale dizer, supomos que a
funcao NIC : R^2 -> R ( NIC nao existe na literatura, eu fui obrigado a
reconhecer sua importancia ) esta bem definida e vemos o que se pode
produzir de interessante com elas. Claramente que a serie :
1/a + 1/(a+r) + 1/(a+2r) + 1/(a+3r) + ... smepre diverge !
Mas a serie :
1/a^2 + 1/(a+r)^2 + 1/(a+2r)^2 + 1/(a+3r)^2 + ... sempre converge !
Que relacao existe entre o valor para o qual esta serie converge e NIC ?
Existe X e Y tais que :
1/a^2 + 1/(a+r)^2 + 1/(a+2r)^2 + 1/(a+3r)^2 + ... = K*(NIC(X,Y))^2 ?
Para algum K real ?
Claramente que existe alguns reordenamentos evidentes ...
( 1/a - 1/(a+r) ) + ( 1/(a+2r) - 1/(a+3r) ) + ...
NIC serve para caracterizar uma classe de triangulos aritmeticos, conhecidos
como triangulos harmonicos. O exemplo mais simples serie :
1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
...
Cada termo e a diferenca entre o que esta "acima a esquerda" e o que esta "a
esquerda". As colunas sao numeradas da esquerda para a direita a partir de
-1. O 1/2 da coluna -2 e tal que : 1/2 = 1 - 1/2. E assim para todos os
termos ... Se voce tomar uma coluna qualquer "desde o infinito" ate um
determinado termo, a soma e o termo da esquerda : e o teorema das colunas do
triangulo de pascal estendido a este tipo de triangulo ... Este triangulo e
conhecido tambem como triangulo de Leibniz.
Todo triangulo harmonico tem um numero que o caracteriza univocamente e que
e um valor de NIC. Em particular, no triangulo de Leibniz este valor de NIC
e Ln(2) ..., isto e, NIC(1,1) Um outro triangulo harmonico teria um outro
valor para NIC.
Pode-se dizer que os triangulos harmonicos sao extensoes dos triangulos
aritmeticos tipo triangulo de pascal. Eles sao como as colunas negativas
deste triangulo ...
Considere a relacao de recorrencia :
("n" e a coluna, "p" a linha )
A00 = 1
An,p = An-1,p-1 + An,p-1 n em {0,1,2,...} e p em {0,1,...,n}
Fixado sucessivamente "n", varie "p". Voce vai obter o triangulo de pascal.
Para outros valores de A00 e outras relacoes de recorrencia da forma An,p=
K*An-1,p-1 + L*An,p-1 voce obetera outros triangulos aritmeticos "tipo
pascal". Observe que no triangulo de pascal K=L=1.
Existe alguma relacao entre K e L e o trianngulo harmonico correspondente,
isto e, entre K, L que definem um triangulo "tipo pascal" e NIC(K,L), que
caracteriza um triangulo harmonico ?
Neste momento e imperioso que se perceba o seguinte :
No triangulo de Pascal quando nos olhamos para o N,P em Binom(N,P) nos quase
inadvertidamente imaginamos em "combinacoes de N elementos tomados P a P".
Mas, isto, e ... UMA INTERPRETACAO : nao e A INTERPRETACAO. o Professor
NIColau deixa claro isso em seu livro sobre MATEMATICA QUANTICA. La ele diz
claramente que podemos, sem receios, dar outras interpretacoes aos numeros
binomias, que representariam outras formas de contagem ( as q-contagem ),
vale dizer, indices. A interpretacao que damos e,
[obm-l] Treinamento IMPA
Olá camaradas da lista, A primeira dúvida apareceu durante o treinamento de professores que o IMPA está dando pela internet e a segunda vem do livro "Teorema do Papagaio". 1-) Qual a distancia que pode ir para esquerda do eixo y o gráfico y=2 elevado a x, se traçado com uma lapiseira de 0,02mm, sem que encoste no eixo x ? DÚVIDA : O resultado depende da escala adotada para traçar o gráfico ? 2-) Um tonel está cheio de vinho puro. Cada dia são tirados dele dois baldes, substituídos por dois baldes de água. Ao cabo de seis dias há metade de vinho e metade de água. Qual a capacidade do tonel ? P.S. : Partindo de um tonel cheio de água e acrescendo vinho, a resposta seria a mesma ? Agradeço antecipadamente cada ajuda que receberei, Raul
[obm-l] RE: [obm-l] funções compostas
Eduardo, Nesse tipo de questao, voce tem que usar a identidade: (x + 1/x) ^ 2 = x^2 + (1/x)^2 + 2 Chame de (x+1/x) = t, entao, t^2-2 = x^2+(1/x)^2. Com isso, o problema fica simples. Entao, (f0g)(x) = 3^[(x^2) + (1/x)^2] (h0f)(x) = 81/(f(x)) = 3^4/(3^(x+1/x)) Usando a identidade que lhe mostrei anteriormente voce tera (f0g)(t) = 3^(t^2-2) (h0f)(t) = 3^(4-t) Igualando ambas, teremos que t^2-2 = 4 - t ou ainda, t^2 + t -6 = 0. Resolvendo, voce obtem t=-3 ou t=2. Portanto, x e dado por x = (-3+sqrt(5))/2 x = (-3-sqrt(5))/2 x = 1 Portanto, o conjunto solucao esta entre [-6,1]. Letra (c). -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Tertuliano Carneiro Sent: Tuesday, January 28, 2003 9:52 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] funções compostas --- Eduardo Henrique Leitner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > (ITA-92) Considere as funções: f: R* -> R, g: R -> R > e h: R* -> R definidas por: > > f(x) = (tres elevado a x) + (1/x) , g(x) = x² , h(x) > = (81/x) > > O conjunto dos valores de x em R* tais que (fog)(x) > = (hof)(x) é subconjunto de: > a) [0,3] > b) [3,7] > c) [-6,1] > d) [-2,2] > e) n.d.a > > > > eu tentei calcular (fog)(x) e (hof)(x) e igualar os > dois... mas cheguei à uma equação que, putz, sem > comentários... > > alguém pode me ajudar? Estive olhando o problema.Como nao estava saindo, resolvi verificar e descobri que, na verdade, f(x)= 3^(x + 1/x) e nao como vc colocou acima. Vc pode dar uma olhada no site do estudemais, se quiser. Agora o problema fica mais fácil. Se vc nao se importar, aí vai uma solucao: Fazendo f(g(x))= h(f(x)) teremos uma eq. exponencial que, por sua vez, vai resultar na seguinte eq.: x^4+x³-4x²+x+1=0 Como 1 é raiz dupla, vc recai em uma eq. de grau 2 cujas raizes sao (-3-sqrt5)/2 e (-3+sqrt5)/2. Logo, as raizes sao subconjunto de [-6,1]. Tertuliano Carneiro. = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > <[EMAIL PROTECTED]> > = ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
=?iso-8859-1?q?Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Um_tab uleiro_de_xadrez_=
diferente!_Combinat=F3ria?= MIME-Version: 1.0 X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1 (http://www.centroin.com.br/) Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Claro! Em Mon, 27 Jan 2003 17:22:39 -0200, David Ricardo <[EMAIL PROTECTED]>= disse: >=20 > Seriam 4 possibilidades na primeira coluna, 3 na segunda, duas na terce= ira e > uma na quarta, totalizando 24 possibilidades? >=20 > []s > David >=20 > - Original Message - > From: A. C. Morgado <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Monday, January 27, 2003 1:55 PM > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferen= te! > Combinat=F3ria >=20 >=20 > > Uma observa=E7=E3o: > > =C9 impressionante o prazer que os autores dessas quest=F5es de vesti= bular > > sentem em enrolar desnecessariamente os enunciados.Custava alguma coi= sa > > ter dito no enunciado 4 pe=E7as diferentes? > > =C9 claro que a solu=E7=E3o do Cl=E1udio est=E1 correta e se refere a= 4 pe=E7as > > diferentes. Proponho ent=E3o um outro problema: e se as pe=E7as fosse= m iguais? > > Morgado >=20 > ___= > Busca Yahoo! > O servi=E7o de busca mais completo da Internet. O que voc=EA pensar o Y= ahoo! encontra. > http://br.busca.yahoo.com/ >=20 > =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D > Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista =E9 <[EMAIL PROTECTED]> > =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D >=20 >=20 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Treinamento IMPA
seja 1/p a fraçao da capacidade do tonel representada por dois baldes. apos cada dia, a quantidade de vinho existente eh 1- (1/p) da quantidade do dia anterior. Apos 6 dias havera no tonel (1- 1/p)^6 da quantidade inicial. (1- 1/p)^6 = 0,5 1- 1/p = raiz sexta de 0,5 1/p = 1 - raiz sexta de 0,5 A capacidade do tonel eh 2p baldes. Em Tue, 28 Jan 2003 15:05:55 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: >Olá camaradas da lista, >A primeira dúvida apareceu durante o treinamento de professores que o > IMPA está dando pela internet e a segunda vem do livro "Teorema do Papagaio". > 1-) Qual a distancia que pode ir para esquerda do eixo y o gráfico y=2 > elevado a x, se traçado com uma lapiseira de 0,02mm, sem que encoste no eixo > x ? DÚVIDA : O resultado depende da escala adotada para traçar o gráfico ? > 2-) Um tonel está cheio de vinho puro. Cada dia são tirados dele dois baldes, > substituídos por dois baldes de água. Ao cabo de seis dias há metade de vinho > e metade de água. Qual a capacidade do tonel ? > P.S. : Partindo de um tonel cheio de água e acrescendo vinho, a resposta > seria a mesma ? >Agradeço antecipadamente cada ajuda que receberei, >Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] funções compostas
nao nao, eu escrevih o enunciado exatamente como está no meu livro, e o enuciadoestá (3^x) + (1/x) On Tue, Jan 28, 2003 at 02:52:06PM -0300, Tertuliano Carneiro wrote: > --- Eduardo Henrique Leitner <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > (ITA-92) Considere as funções: f: R* -> R, > g: R -> R > > e h: R* -> R definidas por: > > > > f(x) = (tres elevado a x) + (1/x) , g(x) = x² , h(x) > > = (81/x) > > > > O conjunto dos valores de x em R* tais que (fog)(x) > > = (hof)(x) é subconjunto de: > > a) [0,3] > > b) [3,7] > > c) [-6,1] > > d) [-2,2] > > e) n.d.a > > > > > > > > eu tentei calcular (fog)(x) e (hof)(x) e igualar os > > dois... mas cheguei à uma equação que, putz, sem > > comentários... > > > > alguém pode me ajudar? > > > > > Estive olhando o problema.Como nao estava saindo, > resolvi verificar e descobri que, na verdade, > f(x)= 3^(x + 1/x) e nao como vc colocou acima. Vc pode > dar uma olhada no site do estudemais, se quiser. > Agora o problema fica mais fácil. Se vc nao se > importar, aí vai uma solucao: > > Fazendo f(g(x))= h(f(x)) teremos uma eq. exponencial > que, por sua vez, vai resultar na seguinte eq.: > > x^4+x³-4x²+x+1=0 > > Como 1 é raiz dupla, vc recai em uma eq. de grau 2 > cujas raizes sao (-3-sqrt5)/2 e (-3+sqrt5)/2. Logo, as > raizes sao subconjunto de [-6,1]. > > > Tertuliano Carneiro. > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > O administrador desta lista é > > <[EMAIL PROTECTED]> > > > = > > > > > ___ > Yahoo! GeoCities > Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. > http://br.geocities.yahoo.com/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] o livro
O livro é "Applied Combinatorics" de Fred S. Roberts. Além de todos os outros tópicos que ele aborda( combinatória em geral), o que mais me chamou atenção foi o tópico de Algoritmos. Minha pergunta é: alguém aqui na lista que conheçe o livro, indicaria ele a um aluno do 1 semestre de engenharia para aprender algoritmos? ele aborda esta parte de forma completa e eficiente ? ele é pesado demais para quem está iniciando em algoritmos? obrigado Rafael __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Possivel erro no gabarito
Olá pessoal, Como resolver esta questão: (U.E.BA) A sequência (log 20, log 200, log 2000;...) é uma: Resp: progressão aritmética de razão 1 + log 2. Obs: Eu resolvi da seguinte maneira: log 20=log(2*10)=log2 + log10=log2 + 1 (1º termo) log 200=log(2*100)=log2 + log100=log2 + 2 (2º termo) Fazendo (2º termo)- (1º termo), temos 1. Portanto a resposta certa seria uma progressão aritmética de razão 1, não acham? Pessoal, fiz download (no site: www.superdownloads.com.br) do programa ICQ 2003, para aqueles que queiram resolver questões comigo on-line meu número é 337140512 (Obs: Como não tenho muito experiência com matemática estou mais para aprender do que para ensinar, mas naquilo que for possível eu até ajudo alguém que queira resolver alguns problemas de ensino médio, que eu já aprendi, muito deles aqui na lista.)
[obm-l] Número complexos
Olá pessoal, Vejam a questão: O número complexo (1+i)^11 pode ser posto na forma a + bi, onde a e b são números inteiros, neste caso b é igual a: Resp: 32 Obs: Quando vi este exercício, pensei...como é pontência de complexo só pode ser resolvido por dois métodos ou a notação de Euler ou a fórmula de Moivre. A notação de Euler eu não tenho a mínima intimidade, pois não vi nenhum exercício resolvido por ela, já a fórmula de Moivre foram + ou - 2 questões que eu resolvi no meu fascículo. Para facilitar as coisas ao resolver a questão acima não precisam me explicar os elementos da fórmula como argumento, módulo, etc... Pois eu já os conheço e tbém suas fórmula, a minha dificuldade é mais operacional ou algébrica do que conceitual, por isso que preciso ver como se resolve para eu criar um padrão pois quando eu ver um parecido eu buscarei no meu banco de "dados" [matemáticos(memória)] e saberei como resolver.
[obm-l] logaritmo
Olá pessoal, Como resolver esta questão: (UF-UBERLÂNDIA) Sendo y=raiz oitava de(x^2/t), log_3 (x)=5 e log_3 (t)=4, então log_y (3) vale: Resp:4/3
