Re: [obm-l] Numero redondo
Desculpe,foi mal...temos n celulas em circulo. Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao entendi: se as fichas sao colocadas muma fileira infinita indexadapor |N o processo nao para nunca, nao e'? Ou voce esta' colocando as fichasnum circulo ? Nesse caso, com quantos compartimentos ?Abracos,GuguTurma,tenho uma questao que esta me matando!!!Temos uma sequencia de fichasque devemos colocar em celulas assim:coloca a FICHA 1 NUM espaço,e indutivamenteao se colocar a ficha k em seu compartimento,saltamos k compartimentos epassamos a colocar a ficha k+1 na proxima celula.O processo para quandoalgum compartimento contiver duas fichas.Para quais k o processo para?TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.
Re: [obm-l] Problema
É isso aí. Parabéns.
Esse é o tipo de problema em que persistência é recompensada.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, March 28, 2003 1:49 PM
Subject: Re: [obm-l] Problema
Acho que consegui:
Vamos começar montando partições de forma a usar o menor número de
elementos
necessários e sempre com a exigência de que nenhum elemento pode ser
expresso como soma de outros dois (possivelmente o mesmo).
Considere sempre que os elementos estão ordenados já que toda hora estarei
trabalhando com a diferença de elementos.
Pelo PCP, existe uma partição com pelo menos 330 elementos, seja ela P1 e
{x1, x2, ..., x330} contido em P1
o conjunto D1 = {x2 - x1, x3 - x1, ..., x330 - x1} tem elementos todos
distintos e com certeza nenhum elemento de D1 pode ser colocado em P1.
|D1| = 329, pelo PCP, temos que uma das partições P2, ..., P5 tem pelo
menos
66 elementos.
seja I = {i1, ..., i66} contido em {2, ..., 330} índices tais que:
{ x[i1] - x1, ..., x[i66] - x1 } contido em P2
o conjunto D2 = { (x[i2]-x1)-(x[i1]-x1), ..., (x[i66]-x1)-(x[i1]-x1) }
=
{ x[i2] - x[i1], ..., x[i66] - x[i1] } tem todos os elementos
distintos e com certeza nenhum deles pertence a P1 ou P2 (vc entende por
que?), |D2|=65 e, repetiremos o argumento...
seja J = {j1, ..., j17} contido em I tal que:
{ x[j1] - x[i1], ..., x[j17] - x[i1] } contido em P3
D3 = { x[j2] - x[j1], ..., x[j17] - x[j1] }, com nenhum elemento
em
P1, P2 ou P3
seja K = {k1, ..., k6} contido em J tal que:
{ x[k1] - x[j1], ..., x[k6] - x[j1] } contido em P4
D4 = { x[k2] - x[k1], ..., x[k6] - x[k1] }, com nenhum elemento em
P1, P2, P3 ou P4
seja L = {l1, l2, l3} contido em K tal que:
{ x[l1] - x[k1], ..., x[l3] - x[k1] } contido em P5
D5 = { x[l2] - x[l1], x[l3] - x[l1] }, com nenhum elemento em P1,
P2, P3, P4 ou P5
D5 contido em P6
mas então, se queremos que em P6 não haja nenhum elemento que seja
a
soma de outros dois, então x[l3] - x[l2] não pertence a P6, mas também não
pode pertencer a nenhuma outra partição, basta ver os índices l3 e l2 como
índices em K, J, I e {2, 330} que vemos que esse inteiro é uma diferença
entre dois elementos de cada uma das partições!
Se não tem nenhum erro, acho que matei o problema! (Ufa, eu tinha proposto
um deadline para hj, se não conseguisse ia desistir...).
[ ]'s
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Re: [obm-l] Como resolvo essa??
Oi, Rodrigo: Esse deu um certo trabalho, mas acho que consegui. Veja mais abaixo. - Original Message - From: Rodrigo Badia Piccinini [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, March 28, 2003 10:36 AM Subject: [obm-l] Como resolvo essa?? Notação: sqrt() é a raiz quadrada de em número sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x Por Favor me ajudem!! Imagino que você já tenha tentado elevar ao quadrado, rearranjar e elevar ao quadrado de novo. E que caiu numa equação do 4o. grau com um termo em x, logo, difícil de resolver. Já que resolver a equação em x não deu muito certo, que tal tentar resolver a equação em 5? Primeiro eleve ao quadrado: 5 - sqrt(5 - x) = x^2 == 5 - x^2 = sqrt(5 - x) Agora eleve ao quadrado de novo: 5^2 - 2*x^2*5 + x^4 = 5 - x. Agora rearranje para cair numa equação do 2o. grau em 5: 5^2 - (2*x^2 + 1)*5 + (x^4 + x) = 0 Delta = (2*x^2 + 1)^2 - 4*(x^4 + x) = 4*x^4 + 4*x^2 + 1 - 4*x^4 - 4*x = 4*x^2 - 4*x + 1 = (2*x - 1)^2 == sqrt(Delta) = 2*x - 1 Logo, usando a velha fórmula, teremos: 5 = [ (2*x^2 + 1) +ou- (2*x - 1) ] / 2 == 10 = 2*x^2 + 2*x ou 10 = 2*x^2 - 2*x + 2 == 2*x^2 + 2*x - 10 = 0 ou 2*x^2 - 2*x - 8 = 0 == x^2 + x - 5 = 0 ou x^2 - x - 4 = 0 == As raízes da 1a. equação são: x1 = (-1 + raiz(21))/2 e x2 = (-1 - raiz(21))/2 As raízes da 2a. equação são: x3 = (1 + sqrt(17))/2 e x4 = (1 - sqrt(17))/2 Agora, temos que testar estes quatro valores na equação original para eliminar possíveis raízes falsas introduzidas quando elevamos ao quadrado. Se estivermos interessados em raízes reais, então podemos eliminar de cara x2 e x4, pois ambas são negativas e sqrt(5 - (sqrt(5 - x)) é positivo por definição, logo não pode ser igual a x se x 0. Para testar x1 e x3, o seguinte resultado pode ser útil: Sejam a e b são números reais positivos tais que a = sqrt(b). Então sqrt(a - sqrt(b)) = sqrt(m) - sqrt(n), onde: m e n são as raízes de x^2 - a*x + b/4 = 0 e m = n 0. Dem: sqrt(a - sqrt(b)) = sqrt(m) - sqrt(n) == a - sqrt(b) = m + n - sqrt(4*m*n) == m + n = a e m*n = b/4 == m e n são raízes de x^2 - a*x + b/4 = 0 sqrt(a - sqrt(b)) = 0 == sqrt(m) = sqrt(n) == m = n m + n = a 0 e m*n = b/4 0 == m 0 e n 0 == m = n 0 --- Como x1 e x3 são positivos, podemos elevar a equação original ao quadrado e ter certeza de que se x1 ou x3 satisfaz à equação ao quadrado, então irá satisfazer a equação original. Assim: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x == 5 - sqrt(5 - x) = x^2 == 5 - x^2 = sqrt(5 - x) Testando x1 = (-1 + sqrt(21))/2: 5 - x1^2 = 5 - (11 - sqrt(21))/2 = (-1 + sqrt(21))/2 sqrt(5 - x1) = sqrt((11 - sqrt(21))/2) = sqrt(22 - sqrt(84))/2 = (sqrt(21) - sqrt(1))/2 = (-1 + sqrt(21))/2 Logo, x1 satisfaz à equação original. Testando x3 = (1 + sqrt(17))/2: 5 - x3^2 = 5 - (9 - sqrt(17))/2 = (1 - sqrt(17))/2 sqrt(5 - x3) = sqrt((9 - sqrt(17))/2) = sqrt(18 - sqrt(68))/2 = (sqrt(17) - sqrt(1))/2 = (-1 + sqrt(17))/2 Logo, x3 não satisfaz à equação original. Assim, a única solução real é x1 = (-1+sqrt(21))/2. *** FIM *** Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] fracoes parciais
Sauda,c~oes,
Sejam P(x) e Q(x) polinômios e a_k as
(todas) n raízes simples de Q(x).
Mostre que P(x) / Q(x) = \sum_{k=1}^n
[P(a_k) / Q'(a_k)]. [1 / x -
a_k] (*)
Ou em LaTeX:
\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{k=1}^n
\frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x -
a_k}
Exemplos:
i)
P(x) = 2x + 1
Q(x) = x(x - 1)(x - 2)
Q'(x) = 3x^2 - 6x + 2
P(0) = 1; P(1) = 3; P(2) = 5
Q'(0) = 2; Q'(1) = -1; Q'(2) = 2
P(x) / Q(x) = 1/2x- 3/x-1 + 5/2(x-2)
ii)
se P(x) = Q'(x), então P(x)/Q(x) = \sum {1 / x-a_k}.
Como provar (*) ?? Ou referências???
Obrigado.
[]'s
Luís
[obm-l] Probabilidade de dados
Estou com dificuldades em entender a lógica desse exercício que encontrei no livro MATEMÁTICA E VIDA 2ª edição : 163 - Dois dados são jogados. Qual é a probabilidade a soma dos pontos ser um número primo? Resposta: p = 5/36 Existem somas que podem dar mais vezes (7 que pode dar com vários como por exemplo 3+4 e 5+2) do que outras (2 e 12 que só podem dar apenas com 1+1 e 6+6 respectivamente). Acho que não estou conseguindo expressar direito a dúvida... Em todo o caso acho que deu pra compreender. Grato, Victor Luiz Salgado de Lima. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Como resolvo essa??
raiz(5 - raiz(5 - x)) = x Pode ser assim também: Veja que se x = raiz(5 - raiz(5 - x)), podemos colocar o valor de x no segundo lado da equação: x = raiz(5 - raiz(5 - x)) x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - x Podemos fazer isso quantas vezes quisermos, infinitas vezes. Suponha que você faça isso infinitas vezes: x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) Agora veja que elevando os dois membros ao quadrado: x² = 5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) x² - 5 = - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) Mas o segundo membro é igual a x!!! Então: 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) 5 - x² = x x² + x - 5 = 0 x = [-1 +- raiz(21)]/2 Como x tem que ser positivo porque é uma raiz, a resposta é: x = [raiz(21) - 1]/2 Abraços, Rafael. ___ Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re[3]: [obm-l] Limites Trigonométricos
Essa pretensa soluçao do iezzi nao eh soluçao nem deve ser do Iezzi. Ela usa duas vezes que o limite de (pi)x/sen(pi*x)vale 1 quando x tende para 1, O QUE EH FALSO. Em Fri, 28 Mar 2003 16:36:47 -0300, Igor GomeZZ [EMAIL PROTECTED] disse: Em 28/3/2003, 16:17, Igor ([EMAIL PROTECTED]) disse: Jah último, o niski resolveu com mudança de variável tb. O Oswaldo me enviou a resolução do Iezzi: Lim[x1]((1-x^2)/(sin(Pi*x)) = Lim[x1](1/sin(Pi*x) - x^2/sin(Pi*x)) = Lim[x1]([(1/Pi*x) * (Pi*x/sin(Pi/*x))] - [(Pi*x)/sin(Pi*x) * x/Pi]) = (1/Pi * 1) - (1 * 1/Pi) = 0 Melhor, a resposta do niski eh a que tah certa (conferi com o Maple), pq a resolução do Iezzi dah 0? Tb não vejo erro nela... A resposta da resolução difere da resposta do livro Fui! ### Igor GomeZZ UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 28/3/2003 (16:31) Pare para pensar: Preocupe-se mais com seu caráter do que com sua reputação, porque seu caráter é o que você realmente é, enquanto a reputação é apenas o que os outros pensam que você é. (Henfil) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Probabilidade de dados
Nao estah nao! O ponto critico voce entendeu:Existem somas que podem dar mais vezes (7 que pode dar com vários como por exemplo 3+4 e 5+2) do que outras (2 e 12 que só podem dar apenas com 1+1 e 6+6 respectivamente). Agora, eh so fazer as contas. Ha 36 resultados possiveis igualmente provaveis: 1+1, 1+2,..., 6+6. As somas primas sao 2(1+1), 3(1+2 e 2+1), 5(1+4, 2+3, 3+2, 4+1), 7 (6 casos), 11 (5+6 e 6+5). A resposta eh 15/36 = 5/12. A resposta do livro estah errada. Em Fri, 28 Mar 2003 18:24:59 -0300, Victor Luiz [EMAIL PROTECTED] disse: Estou com dificuldades em entender a lógica desse exercício que encontrei no livro MATEMÁTICA E VIDA 2ª edição : 163 - Dois dados são jogados. Qual é a probabilidade a soma dos pontos ser um número primo? Resposta: p = 5/36 Existem somas que podem dar mais vezes (7 que pode dar com vários como por exemplo 3+4 e 5+2) do que outras (2 e 12 que só podem dar apenas com 1+1 e 6+6 respectivamente). Acho que não estou conseguindo expressar direito a dúvida... Em todo o caso acho que deu pra compreender. Grato, Victor Luiz Salgado de Lima. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Como resolvo essa??
Duas coisas: 1) Embora a soluçao do Claudio tenha sido muito interessante, o problema admite uma soluçao muito mais natural e elementar. Chame raiz(5-x)de y e temos um sistema y = raiz(5-x) ; x = raiz(5-y) Fazendo as simplificaçoes naturais, y^2 = 5 - x x^2 = 5 - y Basta subtrair e chega-se a resposta facilmente (claro que a elevaçao ao quadrado introduz falsas raizes etc.) 2) A soluçao do Rafael supoe certas coisas que nao estao explicitas e muito menos provadas. Morgado Em Fri, 28 Mar 2003 19:38:14 -0300 (ART), Rafael [EMAIL PROTECTED] disse: raiz(5 - raiz(5 - x)) = x Pode ser assim também: Veja que se x = raiz(5 - raiz(5 - x)), podemos colocar o valor de x no segundo lado da equação: x = raiz(5 - raiz(5 - x)) x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - x Podemos fazer isso quantas vezes quisermos, infinitas vezes. Suponha que você faça isso infinitas vezes: x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) Agora veja que elevando os dois membros ao quadrado: x² = 5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) x² - 5 = - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) Mas o segundo membro é igual a x!!! Então: 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) 5 - x² = x x² + x - 5 = 0 x = [-1 +- raiz(21)]/2 Como x tem que ser positivo porque é uma raiz, a resposta é: x = [raiz(21) - 1]/2 Abraços, Rafael. ___ Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] duvidas de calculo
Epa, ha um errinho de conta por aih. Morgado Em Fri, 28 Mar 2003 20:30:12 -0300, Henrique Branco [EMAIL PROTECTED] disse: 1- Como posso provar que ((sen(x)/x)-1)/x é 0 quando x tende a 0? Tentei chegar em alguma desigualdade e usar o teorema do confronto..mas não tive sucesso...alguem tem alguma ideia? Decompondo essa função em duas frações, temos: ((sen(x)/x) - 1)/x = (sen(x)/x)/x^2 - 1/x Multiplicando em cima e embaixo de ambas por x e fazendo somando novamente, temos: sen(x)-x Portanto ((sen(x)/x) - 1)/x = sen(x) -x Agora é só aplicar o limite novamente. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] duvidas de calculo
1) Esse negocio eh (senx - x)/ x^2. Calcule o limite quando x tende a zero (L1Hopital duas vezes) que voce acha zero. 2) f(x) = f(-x) Derive (regra da cadeia no lado direito!) f'(x) = f'(-x) * (-1) Faça x=0. f'(0) = - f'(0) 2 f'(0) = 0 f'(0) = 0 Em Fri, 28 Mar 2003 12:06:49 -0300, niski [EMAIL PROTECTED] disse: Ola pessoal...se possivel gostaria que me ajudassem com essas duvidas..fiquei um tempo pensando e conclui que estou empacado mesmo :) 1- Como posso provar que ((sen(x)/x)-1)/x é 0 quando x tende a 0? Tentei chegar em alguma desigualdade e usar o teorema do confronto..mas não tive sucesso...alguem tem alguma ideia? 2- Gostaria de saber, qual é o melhor caminho que devo seguir para provar que uma funcao f que é derivavel em 0 e é par , tem f'(0) = 0. obrigado a todos! niski -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] dúvida álgebra linear
Minha dúvida é bem básica, referente a seguinte afirmação: - Dois vetores quaiquer são sempre coplanares. Mas podemos imaginar dois segmentos orientados não coplanares.Só que a teoria diz tbm que os vetores representados por tais segmentos orientados são coplanares pois podemos tomar representantes desses vetores num único ponto. Minha dúvida é: pq dizer que os dois vetores( o conjunto dos segmentos equipolentes) são coplanares se apenas alguns de seus representantes( parte do conjunto) são coplanares? Uma parte vale pelo todo? obrigado Rafael __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] __ VEJA E CONFIRA !! 125l_d
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Re: [obm-l] duvidas de calculo
Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: 1) Esse negocio eh (senx - x)/ x^2. Calcule o limite quando x tende a zero (L1Hopital duas vezes) que voce acha zero. É verdade..mas o professor poderia resolver sem Lopitar?! 2) f(x) = f(-x) Derive (regra da cadeia no lado direito!) f'(x) = f'(-x) * (-1) Faça x=0. f'(0) = - f'(0) 2 f'(0) = 0 f'(0) = 0 Perfeito! Em Fri, 28 Mar 2003 12:06:49 -0300, niski [EMAIL PROTECTED] disse: Ola pessoal...se possivel gostaria que me ajudassem com essas duvidas..fiquei um tempo pensando e conclui que estou empacado mesmo :) 1- Como posso provar que ((sen(x)/x)-1)/x é 0 quando x tende a 0? Tentei chegar em alguma desigualdade e usar o teorema do confronto..mas não tive sucesso...alguem tem alguma ideia? 2- Gostaria de saber, qual é o melhor caminho que devo seguir para provar que uma funcao f que é derivavel em 0 e é par , tem f'(0) = 0. -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Regra da cadeia : esta demonstracao é valida?
Pessoal, meu professor de calculo divulgou uma demonstracao da regra da cadeia que eu nunca vi antes...Ela me parece simples, e eu não consigo identifcar erro algum nela. Gostaria de saber o que acham da demonstracao : http://www.linux.ime.usp.br/~niski/rcadeia.pdf obs: meu professor disse que essa demonstracao foi primeiramente divulgada pelo Professor Trajano Machado do IME-USP Obrigado Niski -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ajuda
Haha, o problema dois foi exatamente um problema que eu tive em aula com o Prof. Morgado na última terça feira! (para o primeiro eu preciso de mais tempo...eu nãosou muito experiente em resolver esse tipo de problema...)2) Existem três possibilidades de escolha; entre o 33 e o 75, depois do 75 e antes do 33. Escolhendo 76, por exemplo, estaria-se cobrindo uma faixa de 24 números; entre esses númeroslimita-sea uma faixa muito pequena(20 números se a escolha fosse o 54), e escolhendo o 32, cobre-se uma faixa de 32 números (todos os anteriores ao 33). Logo, a melhor escolha é o 32.3) Desmembrando... (talvez exista outra linha de raciocínio mais 'convencional', eu ficaria feliz se alguém apresentasse uma solução melhor)Cubo: 6 faces e 8 vértices. Para todos os vértices iguais a um, teríamos 6 + 8=14. Para que uma face seja negativa é necessário que um dos vértices seja negativo; um vértice toca em três faces; logo se apenas um dos vértices for negativo ele reduz a soma inicial (para todos os valores dos vértices positivos) em quatro (um para o vértice e três para as faces). Resp. B From: "Daniel Pini" Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] ajuda Date: Fri, 28 Mar 2003 19:34:11 -0300 Alguem poderia me ajuadr com esses problemas? Obrigado. 1) Na equação abaixo, cada uma das letras representa um digito da base dez: (YE) . (ME)= TTT A soma E+M+T+Y é igaul a: 21 2) A, B e C tentam adivinhar um número selecionado ao acaso no conjunto (1,2,3...,100). Ganha um premio quem mais se aproximar do número selecionado. Se A decidiu-se por 33 e B escolheu 75, qual a melhor escolha que C pode escolher? R: 32 3)A cada um dos vértices de um cubo, é atribuido um dos números +1 ou -1. A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultantedo produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é: a)12 B)10 c) 7 d)4 e)0 Add photos to your messages with MSN 8. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] fracoes parciais
Caro Luis,
Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao e'
igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria...
Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]).
R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando
entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por
Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor desse
polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o
termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo
e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de derivada,
lim(x-a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples
de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para todo
k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e'
um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos a_1,a_2,...,a_n.
O item ii) e' um corolario imediato do item i).
Abracos,
Gugu
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Sauda,c~oes,
Sejam P(x) e Q(x) polin=F4mios e a_k as
(todas) n ra=EDzes simples de Q(x).
Mostre que P(x) / Q(x) =3D \sum_{k=3D1}^n
[P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k] (*)
Ou em LaTeX:
\frac{P(x)}{Q(x)} =3D \sum_{k=3D1}^n
\frac{[P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x - a_k}
Exemplos:
i)
P(x) =3D 2x + 1
Q(x) =3D x(x - 1)(x - 2)
Q'(x) =3D 3x^2 - 6x + 2
P(0) =3D 1; P(1) =3D 3; P(2) =3D 5
Q'(0) =3D 2; Q'(1) =3D -1; Q'(2) =3D 2
P(x) / Q(x) =3D 1/2x - 3/x-1 + 5/2(x-2)=20
ii)
se P(x) =3D Q'(x), ent=E3o P(x)/Q(x) =3D \sum {1 / x-a_k}.
Como provar (*) ?? Ou refer=EAncias???
Obrigado.
[]'s
Lu=EDs
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] duvidas de calculo
Niski, nao adianta provocar que eu nao vou entrar nessa nao! Quando voce fez a pergunta, eu (e todos aqueles que ja estudaram um pouco mais de Calculo) pensei assim: pelo teorema de Taylor, senx - x = - (x^3)/6 + (x^5)/120 -... Portanto, para x proximo a 0, senx - x comporta-se como -(x^3)/6 e a sua afirmaçao que aquele negocio (desculpe essa linguagem, mas eh mais facil do que escrever aquela expressao) tende a zero eh verdadeira porque -(x^3)/6 dividido por x^2 realmente tende a zero quando x tende a zero. Agora, duas coisas: 1) O L Hopital eh, no fundo, equivalente a usar esse Taylor. 2) Esse Taylor aih garante que ha um pequeno intervalo centrado no zero no qual senx - x fica compreendido, por exemplo, entre - (x^3)/12 e -(x^3)/2 e com um resultado desses bastaria usar um sanduiche e pronto. Eu poderia agora fazer uma magica e provar um tal resultado e a magica teria um efeito bonito, principalmente se eu nao revelasse a fonte primaria da minha inspiraçao (que foi o Taylor, ou, em suma, uma generalizaçao de L Hopital) e assim eu provatria o resultado sem usar L Hopital. Tal magica nao eh muito dificil de ser feita ; essencialmente para provar que senx - x esta entre f(x) e g(x), considere f(x) - (senx -x), veja que isso vale 0 em 0, analise a derivada (se for positiva conclua que isso eh maior que zero para x maior que zero etc e tal Mas isso tudo na minha opiniao eh uma bobagem, alem de ser meio desonesto! No fundo voce estah usando mesmo o L Hopital Em Fri, 28 Mar 2003 16:43:04 -0300, niski [EMAIL PROTECTED] disse: Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: 1) Esse negocio eh (senx - x)/ x^2. Calcule o limite quando x tende a zero (L1Hopital duas vezes) que voce acha zero. É verdade..mas o professor poderia resolver sem Lopitar?! 2) f(x) = f(-x) Derive (regra da cadeia no lado direito!) f'(x) = f'(-x) * (-1) Faça x=0. f'(0) = - f'(0) 2 f'(0) = 0 f'(0) = 0 Perfeito! Em Fri, 28 Mar 2003 12:06:49 -0300, niski [EMAIL PROTECTED] disse: Ola pessoal...se possivel gostaria que me ajudassem com essas duvidas..fiquei um tempo pensando e conclui que estou empacado mesmo :) 1- Como posso provar que ((sen(x)/x)-1)/x é 0 quando x tende a 0? Tentei chegar em alguma desigualdade e usar o teorema do confronto..mas não tive sucesso...alguem tem alguma ideia? 2- Gostaria de saber, qual é o melhor caminho que devo seguir para provar que uma funcao f que é derivavel em 0 e é par , tem f'(0) = 0. -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
=?iso-8859-1?q?Re: [obm-l] Regra da cadeia : esta demonstracao =E9_valida??=
Ja tinha visto essa demonstraçao, se nao me engano no livro de Calculo do Kitchen. Morgado Em Fri, 28 Mar 2003 22:55:03 -0300 (EST), Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] disse: Caro Niski, Eu olhei a demonstracao que voce mencionou e parece estar tudo certo. Nao sei qual demonstracao voce conhece, mas nao achei essa revolucionariamente mais simples que as usuais, embora a tenha achado bem simpatica... Abracos, Gugu Pessoal, meu professor de calculo divulgou uma demonstracao da regra da cadeia que eu nunca vi antes...Ela me parece simples, e eu não consigo identifcar erro algum nela. Gostaria de saber o que acham da demonstracao : http://www.linux.ime.usp.br/~niski/rcadeia.pdf obs: meu professor disse que essa demonstracao foi primeiramente divulgada pelo Professor Trajano Machado do IME-USP Obrigado Niski -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Regra da cadeia : esta demonstracao é valida?
Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote: Caro Niski, Eu olhei a demonstracao que voce mencionou e parece estar tudo certo. Nao sei qual demonstracao voce conhece, mas nao achei essa revolucionariamente mais simples que as usuais, embora a tenha achado bem simpatica... Abracos, Gugu De fato nao eh revolucionário. Mas eh a mais simples em comparacao com a as que eu ja encontrei em todos os livros que de calculo que vi (são poucos...porem os famosos), então resta a duvida: Qual o motivo dos livros nao ao menos citarem essa demonstracao que apesar de ser menos naturual do que as demonstracoes usuais dos livros de calculo, certamente é mais simples para os novatos (eu!) no estudo do calculo ? Niski -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Numero redondo
Bem, pela interpretacao abaixo, que parece razoavel, o problema e' achar uma solucao de k(k+1)/2-r(r+1)/2=0 (mod n) com 1=rk e k minimo. Temos que k(k+1)/2-r(r+1)/2=(k-r)(k+r+1)/2. Queremos entao achar dois numeros (k-r e k+r+1) com paridades distintas, cuja diferenca e' pelo menos 3, cujo produto e' multiplo de 2n e cuja soma seja minima. Nesse caso seu produto sera' igual a 2n (senao podemos cortar fatores deles para que seu produto seja 2n fazendo a sua soma diminuir - temos so' que cuidar do caso em que ao cortar esses fatores obtemos dois fatores com diferenca 1, e nesse caso o produto poderia ser igual a 4n no caso otimo - por causa dessas coisas seria mais natural comecar com k=0...), e a maior potencia de 2 que divide 2n dividira' um deles. Devemos escolher uma tal fatoracao de 2n (ou de 4n) de modo que os fatores sejam os mais proximos possiveis. E' claro que a forma da solucao otima depende de n. Se n=2^u, por exemplo, teremos k=2^u e r=2^u-1 ( esse e' o unico caso, alem de n=3, em que k=n), e se n 3 e' um primo impar, devemos ter k=(n+1)/2 e r=(n-3)/2.Por outro lado, se n=(u+2)(u-1)/2 entao k=u e r=1; esse e' o caso em que k=(sqrt(9+8n)-1)/2 e' o menor possivel comparado com n. Abracos, Gugu Obs: Se n=36=8.9/2, o produto no caso otimo (16.9=144) e' 4n, e nao 2n (nesse caso o melhor que podemos conseguir com produto igual a 2n com diferenca pelo menos 3 entre os fatores, dado que os fatores devem ter paridade diferente e' 24.3=72, 24+3=27 25=16+9). Nesse caso, portanto, k=12 e r=3. Esses fenomenos so podem ocorrer quando n e' da forma k(k+1)/2 (e nem sempre ocorrem nesses casos). Claudio, Acho ki o problema inicial nao e so saber que o processo para, mas como = determinar em qual valor de k o processo pararia para a given N. Estou meio ki stuck, quem sabe vc pode me ajudar... vou tentar explicar = minhas observacoes ate agora com alguns exemplos: para N=3D6 1 2 3 4 5 6 1 2 4 3 - para quando k =3D 5 ocupa a celula 3 para N=3D8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 2 7 6 3 5 - para quando k =3D 8 ocupa a celula 4 para N=3D11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 5 34 - para quando k =3D 6 ocupa a celula 10 ficha k sempre ocupa a celula R onde=20 R =3D (1+2+...+k) mod N ou a celula N se R=3D0 ( basta mudar o label da celula N para 0 ) o processo acaba quando celula R ja esta ocupada, ou seja existe um a k para o qual (1+2+...+a) mod N =3D R outras observacoes (talvez obvias ): Sum(1,k) - Sum(1,a) =3D xN onde x =3D 1 Sum(1,k) N Eu tenho ki ralar, entao paro por aki... a minha pergunta e: Sera possivel, escrever k em funcao de N? -Auggy - Original Message -=20 From: Cl=E1udio (Pr=E1tica) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, March 28, 2003 8:31 AM Subject: Re: [obm-l] Numero redondo Oi, JP: De qualquer forma, com um no. finito N de c=E9lulas (contando-se mod N, = ou, equivalentemente, com as c=E9lulas em torno de um c=EDrculo como disse o = Gugu), o processo p=E1ra qualquer que seja k, pois pelo princ=EDpio das casas = de pombos, depois de no m=E1ximo N passos haver=E1 necessariamente uma = c=E9lula com duas fichas. Um abra=E7o, Claudio. - Original Message - From: Cl=E1udio (Pr=E1tica) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 27, 2003 5:36 PM Subject: Re: [obm-l] Numero redondo Quantas c=E9lulas ou compartimentos existem? Se for um n=FAmero = infinito, ent=E3o n=E3o p=E1ra nunca. Se for um n=FAmero finito (digamos N), ent=E3o = qual a regra? Volta ao in=EDcio mod N? Outra d=FAvida: voc=EA coloca a ficha 1 na c=E9lula 1. A=ED, se voc=EA = saltar 1 c=E9lula, ir=E1 colocar a ficha 2 na c=E9lula 3. T=E1 certo isso? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 27, 2003 4:31 PM Subject: [obm-l] Numero redondo Turma,tenho uma questao que esta me matando!!!Temos uma sequencia de fichas que devemos colocar em celulas assim:coloca a FICHA 1 NUM espa=E7o,e indutivamente ao se colocar a ficha k em seu compartimento,saltamos k = compartimentos e passamos a colocar a ficha k+1 na proxima celula.O processo para = quando algum compartimento contiver duas fichas.Para quais k o processo = para? TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =E9 [EMAIL PROTECTED] =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D= =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
Re: [obm-l] Como resolvo essa??
Caro Rafael: A sua solucao estah correta porem incompleta. Voce ainda precisa provar que a sua sequencia infinita de raizes quadradas converge (o que de fato ocorre). Uma vez que a convergencia tenha sido provada, nao ha duvida de que a sua solucao eh mais elegante. Entretanto, a que vai para o Livro eh a do Morgado. Mais formalmente, voce pode definir: x(1) = 0; x(n+1) = raiz(5 - x(n)) para n = 1 Assim, o que voce fez foi provar que se x(n) converge para um limite L, entao L = raiz(L - 5) == L^2 = L - 5 == (descartando a raiz negativa) L = (-1+raiz(21))/2. No entanto, falta provar que x(n) eh de fato uma sequencia convergente. Eu tentei este caminho mas, francamente, me enrolei na algebra. Pra voce ver que eu nao estou fazendo tempestade em copo d'agua, considere a seguinte sequencia: y(1) = 1 y(n+1) = 3*y(n)^2 Entao, se y(n) converge para M, teremos M = 3*M^2 == M = 0 ou M = 3. No entanto, y(n) eh divergente... Um abraco, Claudio. on 28.03.03 19:38, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: raiz(5 - raiz(5 - x)) = x Pode ser assim também: Veja que se x = raiz(5 - raiz(5 - x)), podemos colocar o valor de x no segundo lado da equação: x = raiz(5 - raiz(5 - x)) x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - x Podemos fazer isso quantas vezes quisermos, infinitas vezes. Suponha que você faça isso infinitas vezes: x = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) Agora veja que elevando os dois membros ao quadrado: x² = 5 - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) x² - 5 = - raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) Mas o segundo membro é igual a x!!! Então: 5 - x² = raiz(5 - raiz(5 - raiz(5 - ......))) 5 - x² = x x² + x - 5 = 0 x = [-1 +- raiz(21)]/2 Como x tem que ser positivo porque é uma raiz, a resposta é: x = [raiz(21) - 1]/2 Abraços, Rafael. ___ Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Problema de geometria.
Oi lista, Mandaram-me hoje o seguinte problema. Seja ABC um triângulo com AB = AC e ^A = 20 graus. Seja P no lado AC com AP = BC. Calcule o ângulo ^CBP. O meu colega de sala Carlos Tomei já conhece vários problemas parecidos e resolveu. A, B e C são os vértices 1, z^4 e z^5 do eneágono regular formado pelas raízes nonas da unidade onde z = exp(2 pi i/9). Trace a reta de z^3 a z^8 = Q e chame o ponto de interseção de R. O triângulo ARQ é equilátero pois seus ângulos ^A e ^Q são claramente iguais a 60 graus. Assim R=P (o ponto pedido no problema) e ^CBP = 70 graus (pois a reta BP é bissetriz de ^APQ). Segue uma figura em attach. []s, N. attachment: c9.png
Re: [obm-l] Problema
Acho que consegui:
Vamos começar montando partições de forma a usar o menor número de elementos
necessários e sempre com a exigência de que nenhum elemento pode ser
expresso como soma de outros dois (possivelmente o mesmo).
Considere sempre que os elementos estão ordenados já que toda hora estarei
trabalhando com a diferença de elementos.
Pelo PCP, existe uma partição com pelo menos 330 elementos, seja ela P1 e
{x1, x2, ..., x330} contido em P1
o conjunto D1 = {x2 - x1, x3 - x1, ..., x330 - x1} tem elementos todos
distintos e com certeza nenhum elemento de D1 pode ser colocado em P1.
|D1| = 329, pelo PCP, temos que uma das partições P2, ..., P5 tem pelo menos
66 elementos.
seja I = {i1, ..., i66} contido em {2, ..., 330} índices tais que:
{ x[i1] - x1, ..., x[i66] - x1 } contido em P2
o conjunto D2 = { (x[i2]-x1)-(x[i1]-x1), ..., (x[i66]-x1)-(x[i1]-x1) } =
{ x[i2] - x[i1], ..., x[i66] - x[i1] } tem todos os elementos
distintos e com certeza nenhum deles pertence a P1 ou P2 (vc entende por
que?), |D2|=65 e, repetiremos o argumento...
seja J = {j1, ..., j17} contido em I tal que:
{ x[j1] - x[i1], ..., x[j17] - x[i1] } contido em P3
D3 = { x[j2] - x[j1], ..., x[j17] - x[j1] }, com nenhum elemento em
P1, P2 ou P3
seja K = {k1, ..., k6} contido em J tal que:
{ x[k1] - x[j1], ..., x[k6] - x[j1] } contido em P4
D4 = { x[k2] - x[k1], ..., x[k6] - x[k1] }, com nenhum elemento em
P1, P2, P3 ou P4
seja L = {l1, l2, l3} contido em K tal que:
{ x[l1] - x[k1], ..., x[l3] - x[k1] } contido em P5
D5 = { x[l2] - x[l1], x[l3] - x[l1] }, com nenhum elemento em P1,
P2, P3, P4 ou P5
D5 contido em P6
mas então, se queremos que em P6 não haja nenhum elemento que seja a
soma de outros dois, então x[l3] - x[l2] não pertence a P6, mas também não
pode pertencer a nenhuma outra partição, basta ver os índices l3 e l2 como
índices em K, J, I e {2, 330} que vemos que esse inteiro é uma diferença
entre dois elementos de cada uma das partições!
Se não tem nenhum erro, acho que matei o problema! (Ufa, eu tinha proposto
um deadline para hj, se não conseguisse ia desistir...).
[ ]'s
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