[obm-l] Polinômios
Este problema é do livro do Iezzi de polinômios. alguém poderia me ajudar?? O Polinômio P(x) é igual ao produto de sua derivada P´(x) por (x - a). Calcule o grau do polinômio P(x) obs: favor usar apenas conhecimentos básicos de derivada para a resolução Alexandre Daibert = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sistema de duas equações e duas incógnitas. Como resolver???
Um colega meu está procurando uma solução para este problema. Alguém ajudaria? Calcule x e y, x e y pertencentes a R+ x^y = 3 y^x = 2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] de novo
Nicolau obrigado . pelo menos uma resposta. Eduardo - Original Message - From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, July 30, 2003 6:32 AM Subject: Re: [obm-l] de novo > On Wed, Jul 30, 2003 at 12:23:38AM -0300, Eduardo Soares wrote: > > Será que alguém da lista pode me ajudar? > > Por que ignoram meus problemas será que são muito fáceis para vcs se > > preocuparem com eles? aí vão eles novamente. * Sejam dados dois segmentos > > de reta desiguais. Se, subtraindo sucessivamente o menor do maior; o resto de > > cada subtração nunca é um submúltiplo do resto anterior (isto é, o processo > > nunca termina), então os segmentos são incomensuráveis.Prove essa afirmação > > acima. > > Isto é uma definição boa para segmentos incomensuráveis. > Acho que isto é um exemplo de problema que faz sentido > dentro do contexto de um livro mas fora dele fica meio > sem sentido, não temos como saber o que deve ser demonstrado. > > > Diz-se que o ponto C, sobre o segmento AB, divide AB em média e extrema > > razão quando AB/AC=AC/BC. > > Isto é uma maneira a meu ver complicada de dizer que AC = (-1+sqrt(5))/2 * AB. > Não sei de onde saiu este nome complicado, aliás. > > > Prove que a divisão em média e extrema razão é > > hereditária, no seguinte sentido: se o ponto C divide o segmento AB em média > > e extrema razão então, tomando D tal que AD=CB, o ponto D divide o segmento > > AC em média e extrema razão. > > Vamos paramertizar o segmento por A = 0, B = 1. > Temos C = x = (-1+sqrt(5))/2 e D = 1 - x = x^2, > o que demonstra o que foi pedido. > > Esta solução talvez esteja totalmente fora do espírito > do que se espera no livro de onde este problema saiu. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] de novo
Túlio. Obrigado pela sua contribuição Eduardo - Original Message - From: Túlio Beronha To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, July 30, 2003 10:52 AM Subject: Re: [obm-l] de novo - Original Message - From: Eduardo Soares To: lista OBM Sent: Wednesday, July 30, 2003 12:23 AM Subject: [obm-l] de novo Será que alguém da lista pode me ajudar? Por que ignoram meus problemas será que são muito fáceis para vcs se preocuparem com eles? aí vão eles novamente. * Sejam dados dois segmentos de reta desiguais. Se, subtraindo sucessivamente o menor do maior; o resto de cada subtração nunca é um submúltiplo do resto anterior (isto é, o processo nunca termina), então os segmentos são incomensuráveis.Prove essa afirmação acima. # Diz-se que o ponto C, sobre o segmento AB, divide AB em média e extrema razão quando AB/AC=AC/BC. Prove que a divisão em média e extrema razão é hereditária, no seguinte sentido: se o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão então, tomando D tal que AD=CB, o ponto D divide o segmento AC em média e extrema razão. Veja as equivalências seguintes: AC/AD=AD/DC sse AC.DC=AD^2 sse AC.[AC - AD]=AD^2 sse AC.[AC - BC]=BC^2 sse AC^2 - AC.BC = BC^2 sse AC^2 = AC.BC = BC^2 sse AC^2=BC[AC + BC] sse AC^2=BC. AB sse AB/AC = AC/BC. Túlio Beronha
[obm-l] Re:[obm-l] quadrado inscrito em um hexágono regular
> Preciso de uma ajuda na questão abaixo: > > (Colégio Naval 93) Sendo x o lado o quadrado inscrito em um hexágono regular > convexo de lado 12, tem-se que: > a) 12,5 < x < 13 > b) 13 < x < 13,5 > c) 13,5 < x < 14 > d) 14 < x < 14,5 > e) 14,5 < x < 15 > > > Na verdade, gostaria de saber se existe uma única config uração possível > (esquendo as rotações). > > Marcelo Rufino > > _ > MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos . > http://messenger.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > Acho que como a figura é um quadrado so existiria essa configuraçao por rotaçao já que as diagonais do quadrado cruzariam-se formando angulos de 90 graus o que será sempre constante formando apenas um tipo de arco logo só um tipo de configuraçao no hexagono regular convexo se fosse um paralelogramo excluindo o losango este angulo central poderia variar dando margem a configuraçoes diferentes __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
> EspereO quadrilatero nao precisa ser > quadrado,Nao e so porque tem dois que vai ter > quatro lados iguais. > > --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Ola pessoal, > > > > Tentei fazer mas surgiu um problema de acordo > > com a dica do Fabio, mas surgiu > > um problema, vejamos: > > > > Primeiramente esbocando um quadrilatero > > inscrito, onde A (vertice superior > > esquerdo), B (vertice superir direito), C > > (vertice inferior direito) e D > > (vertice inferior esquerdo). Pode-se notar a > > disposicao horaria dos vertices ! (Fiz > > isso apenas para padronizar o enunciado e o > > esboco de quem ler esta mensagem) > > Se o proprio enunciado diz que AD= DC, > > concluimos que o quadrilatero eh um > > quadrado (vamos supor de lado x). (SE ISSO FOR > > NEGADO, TUDO O QUE FIZ ABAIXO > > ESTA ERRADO, MAS AI ENTRAMOS EM UM PARADOXO, > > POIS O ENUNCIADO PEDE LADO MAIOR, E > > QUADRADO NAO TEM LADO MAIOR) > > Vamos fazer assim: > > Resolverei partindo da tese que ABCD eh > > quadrado, se nao for gostaria que > > alguem provasse !! De acordo com a notacao > > que usei (ou seja, os vertices em > > sentido horario, com AB superior) > > Antes de aplicarmos a lei dos cossenos devemos > > saber que cos(DAI) = cos(pi - > > DIC) > > = - cos (DIC) > > > > Aplicando a lei dos cossenos no triangulo DIC, > > temos: > > x^2 = 3^2 + 4^2 - 2*3*4*cos(DIC) > > x^2 = 25 - 24cos(DIC) (I) > > > > Aplicando a lei dos cossenos no triangulo DAI, > > temos: > > x^2 = 6^2 + 3^2 - 2*6*3*(-cos(DIC) > > x^2 = 45 + 36cos(DIC) (II) > > > > Subtraindo (II) de (I): > > > > x^2 - x^2 = (25 - 24cos(DIC)) - (45 + > > 36cos(DIC)) > > 0 = 25 - 24cos(DIC) - 45 - 36cos(DIC) > > 0 = -20 - 60cos(DIC) > > cos(DIC) = - 1/3 > > Substituindo em (I) ou (II) temos : > > x = raiz(33) > > > > > > Em uma mensagem de 26/7/2003 16:28:08 Hora > > padrão leste da Am. Sul, > > [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > > > > > > > > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- > > > Hash: SHA1 > > > > > > Em Saturday 26 July 2003 15:44, guilherme S. > > escreveu: > > > > Num quadrilatero inscritivel ABCD ,AD=DC. > > Se as > > > > diagonais desse quadrilatero cortam-se em I > > e se > > > > AI=6,CI=4 e BI=8, quanto mede o maior lado > > desse quadrilatero? > > > > [...] > > > > > > Pela potência de D em relação à > > circunferência, DI = 3. Faça uma lei dos > > > cossenos em DIC (lado DC) e em DAI (lado DA) > > para achar o cosseno do ângulo > > > de DIC. > > > > > > []s, > > > > > > - -- > > > Fábio "ctg \pi" Dias Moreira > > > -BEGIN PGP SIGNATURE- > > > > > > > > > > > ___ > Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais pr eciso. > Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova bus ca por imagens! > http://www.cade.com.br > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = se ABCD é um quadrado de lado x pela relaçao de stwart nos triangulos ADC e ABC ( DE ACORDO COM A DISPOSIÇAO HORARIA) tem -se que x^2*6+x^2*4=3^2*10+6*8*10 e que x^2*4+x^2*6=8^2*10+6*4*10 subtraindo tudo chega-se ao resultado : 3^2*10= -8^2*10 ABSURDO > __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] IMC - problema 4
Ops, me esqueci de falar que d>1 (!!) A solução é então (a,b) tais que
a!=b e mdc(a, b)=min{a,b}
-- Mensagem original --
>
> Vou dar minha solução: eu considerei AUB=N partição.
> Sejam a, b tais que
> a.A= b.B.
> Podemos supor, WLOG, que 1 está em A. Então a está em B, de modo que
existe
>d em B tal que a=b.d. Temos então que b|a, e ainda aA=db.A => d.A=B.
> Nosso problema se restringiu então a acharmos d natural tal que d.A=B,
>onde AUB é alguma partição de N. Afirmo que todo d satisfaz tal condição.
>De fato, cada natural n é representado de modo único na forma d^a.c, onde
>d não divide c. Seja então
> A= {d^a.c ; a é par e d não divide c}
> B= {d^a.c ; a é ímpar e d não divide c}
> Claramente AUB= N e d.A=B.
> Logo, os pares (a,b) que satisfazem são os que satisfazem mdc(a, b)=min{a,
>b}.
> Se virem algum erro, me avisem!!
>
>-- Mensagem original --
>
>>
>>4. Determine the set of all pairs (a,b) of positive integers for which
>the
>>set of positive integers can be decomposed into two sets A and B such
that
>>a.A = b.B.
>>
>>Seja N = conjunto dos inteiros positivos.
>>
>>O enunciado fala em decompor N e não particionar N.
>>Pra mim, isso significa que devemos ter A U B = N, mas não necessariamente
>>A
>>inter B = vazio.
>>Com essa interpretacao, eu fiz o seguinte:
>>
>>Consideremos os pares da forma (a,ka), com k inteiro positivo.
>>Nesse caso, basta tomar A = kN e B = N para garantir que teremos:
>>A U B = N e aA = a(kN) = (ka)N = (ka)B.
>>
>>De forma analoga, podemos tomar todos os pares da forma (kb,b), com k
>>inteiro positivo.
>>
>>Suponhamos agora que algum par (a,b) satisfaz ao enunciado sem que tenhamos
>>a | b ou b | a.
>>Isso significa que d < a e d < b, onde d = mdc(a,b).
>>Podemos escrever a = a1*d e b = b1*d, com mdc(a1,b1) = 1.
>>
>>Sejam os conjuntos correspondentes A e B tais que A U B = N e aA = bB.
>>
>>aA = bB ==>
>>a1*d*A = b1*d*B ==>
>>a1*A = b1*B
>>
>>Podemos supor s.p.d.g. que 1 pertence a A.
>>Nesse caso, a1 pertence a a1*A ==>
>>a1 pertence a b1*B ==>
>>existe m em B tal que a1 = b1*m ==>
>>b1 | a1 ==>
>>b1 = 1 (ja que mdc(a1,b1) = 1).
>>
>>Mas, b1 = 1 ==>
>>a = a1*d, b = b1*d = d ==>
>>b divide a ==>
>>contradicao
>>
>>Logo, se a nao divide b e b nao divide a, entao (a,b) nao satisfaz ao
>>enunciado.
>>
>>Conclusao: os unicos pares ordenados de inteiros positivos que satisfazem
>>ao
>>enunciado sao aqueles nos quais uma das coordenadas eh um multiplo da
outra.
>>
>>
>>Um abraco,
>>Claudio.
>>=
>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>=
>>
>
>[]'s, Yuri
>ICQ: 64992515
>
>
>--
>Use o melhor sistema de busca da Internet
>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
>
>
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>
[]'s, Yuri
ICQ: 64992515
--
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] IMC dia 2
Consegui o item (a). Tou tentando o (b). Sem alguém puder ajudar..
5. (a) Show that for each funtion f:QxQ -> R there exists a fnction g:Q->R
such that f(x,y)<=g(x)+g(y) for all x,y in Q.
(b) Find a function f:RxR -> R for which there is no function g:R->R such
that f(x,y) <= g(x) + g(y) for all x,y in R.
(a) Seja Q= {a_1, a_2,..., a_n,...}. Vamos construir g indutivamente,
seja g(a_1)= f(a_1, a_1)/2. Definimos g(a_2) pondo
g(a_2)= máx{f(a_1, a_2)- g(a_1), f(a_2, a_1)- g(a_1), f(a_2, a_2)/2}
Então a condição f(x,y) <= g(x)+ g(y) vale qdo x,y pertencem a {a_1, a_2}.
Suponha que já definimos g(a_1),...,g(a_n).
Defina g(a_(n+1))= máx{f(x,a_(n+1))- g(x); x=a_i, i<= n}U{f(a_(n+1),x)-
g(x); x=a_i, i<= n}U{f(a_(n+1), a_(n+1))/2}. Dessa forma, f(x,y) <= g(x)+
g(y) vale sempre que x,y pertencem a {a_1, a_2,...,a_(n+1)}. Seguindo dessa
forma, obtemos g:Q->R tal que f(x,y) <= g(x)+g(y), para todos x,y em Q.
[]'s, Yuri
ICQ: 64992515
--
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] IMC - problema 4
Vou dar minha solução: eu considerei AUB=N partição.
Sejam a, b tais que
a.A= b.B.
Podemos supor, WLOG, que 1 está em A. Então a está em B, de modo que existe
d em B tal que a=b.d. Temos então que b|a, e ainda aA=db.A => d.A=B.
Nosso problema se restringiu então a acharmos d natural tal que d.A=B,
onde AUB é alguma partição de N. Afirmo que todo d satisfaz tal condição.
De fato, cada natural n é representado de modo único na forma d^a.c, onde
d não divide c. Seja então
A= {d^a.c ; a é par e d não divide c}
B= {d^a.c ; a é ímpar e d não divide c}
Claramente AUB= N e d.A=B.
Logo, os pares (a,b) que satisfazem são os que satisfazem mdc(a, b)=min{a,
b}.
Se virem algum erro, me avisem!!
-- Mensagem original --
>
>4. Determine the set of all pairs (a,b) of positive integers for which
the
>set of positive integers can be decomposed into two sets A and B such that
>a.A = b.B.
>
>Seja N = conjunto dos inteiros positivos.
>
>O enunciado fala em decompor N e não particionar N.
>Pra mim, isso significa que devemos ter A U B = N, mas não necessariamente
>A
>inter B = vazio.
>Com essa interpretacao, eu fiz o seguinte:
>
>Consideremos os pares da forma (a,ka), com k inteiro positivo.
>Nesse caso, basta tomar A = kN e B = N para garantir que teremos:
>A U B = N e aA = a(kN) = (ka)N = (ka)B.
>
>De forma analoga, podemos tomar todos os pares da forma (kb,b), com k
>inteiro positivo.
>
>Suponhamos agora que algum par (a,b) satisfaz ao enunciado sem que tenhamos
>a | b ou b | a.
>Isso significa que d < a e d < b, onde d = mdc(a,b).
>Podemos escrever a = a1*d e b = b1*d, com mdc(a1,b1) = 1.
>
>Sejam os conjuntos correspondentes A e B tais que A U B = N e aA = bB.
>
>aA = bB ==>
>a1*d*A = b1*d*B ==>
>a1*A = b1*B
>
>Podemos supor s.p.d.g. que 1 pertence a A.
>Nesse caso, a1 pertence a a1*A ==>
>a1 pertence a b1*B ==>
>existe m em B tal que a1 = b1*m ==>
>b1 | a1 ==>
>b1 = 1 (ja que mdc(a1,b1) = 1).
>
>Mas, b1 = 1 ==>
>a = a1*d, b = b1*d = d ==>
>b divide a ==>
>contradicao
>
>Logo, se a nao divide b e b nao divide a, entao (a,b) nao satisfaz ao
>enunciado.
>
>Conclusao: os unicos pares ordenados de inteiros positivos que satisfazem
>ao
>enunciado sao aqueles nos quais uma das coordenadas eh um multiplo da outra.
>
>
>Um abraco,
>Claudio.
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>
[]'s, Yuri
ICQ: 64992515
--
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] quadrado inscrito em um hexágono regular
Preciso de uma ajuda na questão abaixo: (Colégio Naval 93) Sendo x o lado o quadrado inscrito em um hexágono regular convexo de lado 12, tem-se que: a) 12,5 < x < 13 b) 13 < x < 13,5 c) 13,5 < x < 14 d) 14 < x < 14,5 e) 14,5 < x < 15 Na verdade, gostaria de saber se existe uma única configuração possível (esquendo as rotações). Marcelo Rufino _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos grupos.
Olá pessoal! Já enviei estes problemas, mas estou enviando novamente pois não obtive resposta e gostaria que alguém os discutisse, pois parecem bem interessantes (e difíceis!). Aí vão eles: 1) Seja G um grupo. Dado um G-set X : a) Mostre q a ação do grupo G induz um homomorfismo T : G em P(X). [P(X) é o grupo das permutações dos elementos de X]. b) Mostre q quando X = G, o homomorfismo T induzido é um monomorfismo. c) Conclua q todo grupo G é isomorfo a um subgrupo de P(G). 2) Dado um subgrupo H < G, considere a ação # : G em G/H dada por # (g,xH) = (gx)H. a) Mostre q o núcleo do homomorfismo induzido por esta ação é um subgrupo de H. b) Mostre q se nenhum subgrupo de H é normal em G e [G : H] = n então G é isomorfo a um subgrupo do grupo de permutações de n elementos. c) Assuma q G é finito e seja p natural o menor primo q divide a ordem de G. Mostre q se [G : H] = p então H < G. Grato, Tertuliano Carneiro.Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
Re: [obm-l] de novo
- Original Message - From: Eduardo Soares To: lista OBM Sent: Wednesday, July 30, 2003 12:23 AM Subject: [obm-l] de novo Será que alguém da lista pode me ajudar? Por que ignoram meus problemas será que são muito fáceis para vcs se preocuparem com eles? aí vão eles novamente. * Sejam dados dois segmentos de reta desiguais. Se, subtraindo sucessivamente o menor do maior; o resto de cada subtração nunca é um submúltiplo do resto anterior (isto é, o processo nunca termina), então os segmentos são incomensuráveis.Prove essa afirmação acima. # Diz-se que o ponto C, sobre o segmento AB, divide AB em média e extrema razão quando AB/AC=AC/BC. Prove que a divisão em média e extrema razão é hereditária, no seguinte sentido: se o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão então, tomando D tal que AD=CB, o ponto D divide o segmento AC em média e extrema razão. Veja as equivalências seguintes: AC/AD=AD/DC sse AC.DC=AD^2 sse AC.[AC - AD]=AD^2 sse AC.[AC - BC]=BC^2 sse AC^2 - AC.BC = BC^2 sse AC^2 = AC.BC = BC^2 sse AC^2=BC[AC + BC] sse AC^2=BC. AB sse AB/AC = AC/BC. Túlio Beronha
Re: [obm-l] primos...
On Wed, Jul 30, 2003 at 02:53:21AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Prove que existem infinitos primos congruos a 3 módulo 4.. > Um abraço, > Crom Sejam p1, p2, ..., pn alguns primos congruos a 3 módulo 4. Tome N = 4*p1*p2*...*pn - 1; N é congruo a 3 módulo 4 logo admite pelo menos um fator primo q congruo a 3 módulo 4. Por outro lado nenhum dos pi pode ser fator de N assim q é diferente de p1, p2, ..., pn. Isto nos dá um algoritmo (muito ineficiente) para obter uma lista infinita de primos distintos congruos a 3 módulo 4. Este é um caso particular fácil do teorema de Dirichlet: se a e b são primos entre si então existem infinitos primos da forma ak + b. Outro caso particular bem fácil é (a,b) = (6,5). Casos um pouco menos fáceis mas ainda elementares são (4,1) e (6,1); o problema 6 da IMO tem bastante a ver com o caso (p,1), p primo. Existe uma demonstração do caso b = 1, a qualquer, que usa polinômios ciclotômicos e ainda é de certa forma elementar. O caso geral usa teoria analítica dos números. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] de novo
On Wed, Jul 30, 2003 at 12:23:38AM -0300, Eduardo Soares wrote: > Será que alguém da lista pode me ajudar? > Por que ignoram meus problemas será que são muito fáceis para vcs se > preocuparem com eles? aí vão eles novamente. * Sejam dados dois segmentos > de reta desiguais. Se, subtraindo sucessivamente o menor do maior; o resto de > cada subtração nunca é um submúltiplo do resto anterior (isto é, o processo > nunca termina), então os segmentos são incomensuráveis.Prove essa afirmação > acima. Isto é uma definição boa para segmentos incomensuráveis. Acho que isto é um exemplo de problema que faz sentido dentro do contexto de um livro mas fora dele fica meio sem sentido, não temos como saber o que deve ser demonstrado. > Diz-se que o ponto C, sobre o segmento AB, divide AB em média e extrema > razão quando AB/AC=AC/BC. Isto é uma maneira a meu ver complicada de dizer que AC = (-1+sqrt(5))/2 * AB. Não sei de onde saiu este nome complicado, aliás. > Prove que a divisão em média e extrema razão é > hereditária, no seguinte sentido: se o ponto C divide o segmento AB em média > e extrema razão então, tomando D tal que AD=CB, o ponto D divide o segmento > AC em média e extrema razão. Vamos paramertizar o segmento por A = 0, B = 1. Temos C = x = (-1+sqrt(5))/2 e D = 1 - x = x^2, o que demonstra o que foi pedido. Esta solução talvez esteja totalmente fora do espírito do que se espera no livro de onde este problema saiu. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IMC - problema 4
Nesse caso decompor e a mesma coisa q particionar... varias pessoas perguntaram na hora da prova, e isso foi confirmado...E alem disso, vc deveria mostrar a reciproca do q vc provou, ou seja, q se um dos numeros 'e multiplo do outro, entao vc consegue A e B com as propriedades pedidas.AbracosVillard- Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: [obm-l] IMC - problema 4Data: 28/07/03 19:034. Determine the set of all pairs (a,b) of positive integers for which theset of positive integers can be decomposed into two sets A and B such thata.A = b.B.Seja N = conjunto dos inteiros positivos.O enunciado fala em decompor N e não particionar N.Pra mim, isso significa que devemos ter A U B = N, mas não necessariamente Ainter B = vazio.Com essa interpretacao, eu fiz o seguinte:Consideremos os pares da forma (a,ka), com k inteiro positivo.Nesse caso, basta tomar A = kN e B = N para garantir que teremos:A U B = N e aA = a(kN) = (ka)N = (ka)B.De forma analoga, podemos tomar todos os pares da forma (kb,b), com kinteiro positivo.Suponhamos agora que algum par (a,b) satisfaz ao enunciado sem que tenhamosa | b ou b | a.Isso significa que d < a e d < b, onde d = mdc(a,b).Podemos escrever a = a1*d e b = b1*d, com mdc(a1,b1) = 1.Sejam os conjuntos correspondentes A e B tais que A U B = N e aA = bB.aA = bB ==>a1*d*A = b1*d*B ==>a1*A = b1*BPodemos supor s.p.d.g. que 1 pertence a A.Nesse caso, a1 pertence a a1*A ==>a1 pertence a b1*B ==>existe m em B tal que a1 = b1*m ==>b1 | a1 ==>b1 = 1 (ja que mdc(a1,b1) = 1).Mas, b1 = 1 ==>a = a1*d, b = b1*d = d ==>b divide a ==>contradicaoLogo, se a nao divide b e b nao divide a, entao (a,b) nao satisfaz aoenunciado.Conclusao: os unicos pares ordenados de inteiros positivos que satisfazem aoenunciado sao aqueles nos quais uma das coordenadas eh um multiplo da outra.Um abraco,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
On Tue, Jul 29, 2003 at 05:41:54PM -0300, Claudio Buffara wrote: > Interessante! > Essa demonstracao do Morgado mais os seguintes fatos: > 1^(4n) + 2^(4n) + 3^(4n) + 4^(4n) == 1 + 1 + 1 = 1 == 4 (mod 5) > e > 1^(4n+2) + 2^(4n+2) + 3^(4n+2) + 4^(4n+2) == 1 + 4 + 9 + 16 = 30 == 0 (mod > 5) > > provam a seguinte generalizacao: > > 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n eh divisivel por 5 > se e somente se > n NAO for divisivel por 4. Ou melhor ainda, 1^n + 2^n + 3^n + ... + p^n é múltiplo de p se e somente se n não é múltiplo de (p-1), onde p > 2 é um número primo (o caso p = 2 está sendo excluido apenas para evitar vacuidades). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
