[obm-l] Mísseis
Dois mísseis foram lançados no espaço com uma diferença de 3 minutos. O que partiu primeiro percorre uniformemente 20 km por minuto; o outro, que partiu 3 minutos depois, percorre 8 km no primeiro minuto e acelera de modo a percorrer mais 4 km a cada minuto que passa. Sabendo que os dois percorrem a mesma trajetória, após o lançamento do segundo míssel, este alcançará o primeiro depois de: a) 7 minutos b) 9 minutos c) 10 minutos d) 12 minutos e) 15 minutos Grato. Marcelo.
Re:[obm-l] probabilidade
A solução da banca A questão 5 http://www.obm.org.br/frameset-nivelu.htm ALGUÉM PODERIA ME AJUDAR NESSE AQUI? 1 ) Jogamos 10 dados comuns ( com 6 faces equiprovávei s numeradas de 1 a 6 ). Calcule a probabilidade de que a soma dos 10 resultados seja igual a 20. Valeu pela atenção Isaac. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Mísseis
usando a soma dos termos de uma P.A. temos: ((2*8 + 4(n-1))/2)*n = 20n + 20*3 == (8 + (n-1)2)*n = 20n + 60 == (2n + 6)*n = (2n + 6)*10 == n = 10 ou n = -3 Os dois misseis estao juntos 3 minutos antes do lancamento do segundomissel ou 10 minutos depois. - Auggy - Original Message - From: Marcelo Roseira To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, September 09, 2003 1:36 PM Subject: [obm-l] Mísseis Dois mísseis foram lançados no espaço com uma diferença de 3 minutos. O que partiu primeiro percorre uniformemente 20 km por minuto; o outro, que partiu 3 minutos depois, percorre 8 km no primeiro minuto e acelera de modo a percorrer mais 4 km a cada minuto que passa. Sabendo que os dois percorrem a mesma trajetória, após o lançamento do segundo míssel, este alcançará o primeiro depois de: a) 7 minutos b) 9 minutos c) 10 minutos d) 12 minutos e) 15 minutos Grato. Marcelo.
[obm-l] Conjunto denso em R
Oi, pessoal:
Um dos resultados mencionados na enquete da beleza matematica foi o seguinte
(27.v):
Se a é irracional, então o conjunto A = {m + n*a; m, n inteiros} é denso
em R (ou seja, qualquer intervalo aberto, por menor que seja, contém algum
elemento de A - de fato, contém uma infinidade de elementos de A).
Esse resultado estah proposto como exercicio no livro de analise do Elon
(Curso de Analise - vol. 1 - capitulo III - ex. 58 da 6a. edicao) e pode ser
demonstrado por meio do PCP, particionando o intervalo [0,1) em n
sub-intervalos iguais (todos da forma [k/n,(k+1)/n) e considerando os n+1
numeros:
0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na], onde [x] = maior inteiro = x.
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
Qualquer ajuda serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
x
note que se a -1, então entre {-1, 0} não existe nenhum elemento de B.
que tal impor a condição a 0?
que tal essa idéia?
basicamente B é um conjunto fechado para soma, certo?
pois (na - m) +(ka - l) = (n+k)a - (m+l) e n+k e m+l são inteiros
positivos...
se mostrarmos que é possível obter valores em B tão próximos de zero quanto
se queira, provamos que sempre existe um valor entre dois elementos de B e
logo B é denso.
existem infinitos p, q inteiros positivos (a 0) tq |p/q - a| 1/q² (lindo
teorema!)
sendo assim, para algum |e| 1/q² (**) temos
a = p/q + e
n(p/q + e) - m = np/q - m + ne
tome n = q, m = p, então na + m = ne
|na + m| = |ne| q*1/q² = 1/q
sendo que os valores de q podem crescer a vontade.
(**) uma questão chata agora é provar que sempre existe p, q que tornem e
0, pois aí teríamos 0 na + m 1/q.
pra mim isso parece verdade pois seria extremamente bizarro haver apenas
aproximações por cima com a precisão denominador²!
[ ]'s
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Re: [obm-l] Conjunto denso em R
Espero que esteja certo, de uma conferida..
Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes
continuas de a.
Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0,
p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... )
com n par satisfazem 0 a - p_n/q_n (1/q_n)^2
Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um
eps0 qualquer, escolher n tq 1/q_n eps.
Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 (q_n)*a - p_n eps.
Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum
multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo.
Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora
olhando para as reduzidas de ordem impar.
Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das
relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto
por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado
a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que eh
o algoritmo de euclides).
Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma
(np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo
= 1/q. Em particular, B nao eh denso em R.
Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em
R.
- Original Message -
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 09, 2003 2:08 PM
Subject: [obm-l] Conjunto denso em R
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS}
eh
denso em R.
Qualquer ajuda serah bem-vinda.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Conjunto denso em R
on 09.09.03 14:08, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
Obrigado, Domingos e Marcio:
De fato, a precisa ser positivo. Alem disso, ajuda um pouco sem
enfraquecer muito a hipotese supor que m e n sao NAO-NEGATIVOS ao inves de
estritamente positivos.
Mas o mais importante foi a ideia de separar a demonstracao em duas partes:
1) Provar que B inter R+ eh denso em R+
2) Provar que B inter R- eh denso em R-.
Com essa divisao a coisa vai...
Por exemplo, para a parte 1 teriamos os seguintes passos:
a) Particionamos [0,1) = [0,1/n) U [1/n,2/n) U ... U [(n-1)/n,1)
b) Consideramos os n+1 numeros: 0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na] e
usamos o PCP para concluir que dois deles, digamos ra - [ra] e sa - [sa],
com 0 = r s = n, pertencem ao mesmo sub-intervalo.
c) Isso quer dizer que 0 | (sa - [sa]) - (ra - [ra]) | 1/n, ou seja:
0 | (s - r)a - ([sa] - [ra]) | 1/n
d) Mas a 0 e r s == s - r 0 e [sa] - [ra] = 0.
Assim: 0 (s - r)a - ([sa] - [ra]) 1/n.
e) Mas (s - r)a - ([sa] - [ra]) pertence a B. Como n eh arbitrario,
concluimos que inf(B inter R+) = 0.
f) Agora, sejam os reais u, v tais que 0 = u v. Dado n 1/(v - u), vai
existir um elemento de B, digamos pa - q, tal que 0 pa - q v - u.
g) Seja m o menor inteiro positivo tal que m(pa - q) u.
Naturalmente, m(pa - q) = (mp)a - mq pertence a B.
h) Se m(pa - q) = v, entao:
(m - 1)(pa - q) = m(pa - q) - (pa - q) v - (v - u) = u ==
contradicao a definicao de m ==
m(pa - q) v ==
m(pa - q) pertence ao intervalo (u,v) ==
B inter R+ eh denso em R+.
*
Considerando a particao:
[-1,0) = [-1,-(n-1)/n) U [-(n-1)/n,-(n-2)/n) U... U [-1/n,0)
e os n+1 numeros -1, a - ([a]+1), 2a - ([2a]+1), ..., na - ([na]+1)
e raciocinando de forma analoga, concluimos que B inter R- eh denso em R-.
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] Conjunto denso em R - Domingos
on 09.09.03 18:03, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
x
note que se a -1, então entre {-1, 0} não existe nenhum elemento de B.
que tal impor a condição a 0?
Oi, Domingos:
Realmente, voce tem toda a razao. Temos que supor a 0.
Agora, uma questao interessante:
Se a eh um irracional positivo e C = {n*a + m; m,n: inteiros nao-negativos},
serah que C tem algum ponto de acumulacao ou todos os seus pontos sao
isolados?
Um abraco,
Claudio.
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=
[obm-l] Desigualdade com Binom(2n,n)
on 06.09.03 19:46, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Esse eu preciso mesmo resolvido por indução, mas não consigo ver uma saída de forma alguma. Se alguém puder ajudar... Prove que 4^n/(n+1) (2*n)!/n!^2 para todo n = 2. Grato, Henrique. Oi, Henrique (e demais colegas): Eu acho que consegui estreitar esta desigualdade: Para n = 2, vale o seguinte: 4^n/(2*raiz(n)) Binom(2n,n) 4^n/raiz(2n+1) Dica: Estabeleca a relacao algebrica entre Binom(2n,n) e Binom(2n-2,n-1) e proceda telescopicamente. * Tambem eh verdade que, se 0 b 4, entao existe uma constante a (que depende soh de b) tal que Binom(2n,n) a*b^n, para todo n = 1. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto denso em R - Marcio
on 09.09.03 20:10, Marcio Afonso A. Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote: Espero que esteja certo, de uma conferida.. Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes continuas de a. Oi, Marcio: Realmente, com fracoes continuas o resultado sai, mas eu estava pensando numa solucao mais elementar, usando apenas o PCP. Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0, p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... ) com n par satisfazem 0 a - p_n/q_n (1/q_n)^2 Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um eps0 qualquer, escolher n tq 1/q_n eps. Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 (q_n)*a - p_n eps. Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo. Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora olhando para as reduzidas de ordem impar. Esse eh a ideia chave: separar os casos B inter R+ e B inter R-. Obvia, depois que alguem pensa nisso! Vou mandar uma msg com a solucao mais elementar usando essa ideia. Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que eh o algoritmo de euclides). Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma (np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo = 1/q. Em particular, B nao eh denso em R. Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em R. Bom ponto. O Domingos tambem observou isso. Com a negativo, serah que B tem algum ponto de acumulacao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
(**) uma questão chata agora é provar que sempre existe p, q que tornem e 0, pois aí teríamos 0 na + m 1/q. pra mim isso parece verdade pois seria extremamente bizarro haver apenas aproximações por cima com a precisão denominador²! nossa, agora que percebi, isso é completamente desnecessário... tome x y em B, então para algum q inteiro positivo tq 1/q y - x. se -1/q² e 0, então -1/q na + m 0 x y + na + m y, e segue que existe um elemento entre x, y em B. no caso de 0 na + m 1/q tomamos x x + na + m y. uma pergunta: eu conheci a definição de conjunto denso com base no que você (Cláudio) me disse, é assim mesmo que se prova que um conjunto é denso ou existe alguma condição adicional? vou pensar na questão dos pontos de acumulação... [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto denso em R - FURADA
on 09.09.03 14:08, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum
contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh
denso em R.
Infelizmente a demonstracao abaixo tem um furo...veja o item (d):
a) Particionamos [0,1) = [0,1/n) U [1/n,2/n) U ... U [(n-1)/n,1)
b) Consideramos os n+1 numeros: 0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na] e
usamos o PCP para concluir que dois deles, digamos ra - [ra] e sa - [sa],
com 0 = r s = n, pertencem ao mesmo sub-intervalo.
c) Isso quer dizer que 0 | (sa - [sa]) - (ra - [ra]) | 1/n, ou seja:
0 | (s - r)a - ([sa] - [ra]) | 1/n
d) Mas a 0 e r s == s - r 0 e [sa] - [ra] = 0.
A PASSAGEM A SEGUIR NAO EH VALIDA
Assim: 0 (s - r)a - ([sa] - [ra]) 1/n.
Isso nao eh sempre verdade. Por exemplo:
a = 1,501..., r = 1, s = 2 ==
(s - r)a = 1,501...
[sa] - [ra] = 3 - 1 = 2 ==
(s - r)a - ([sa] - [ra]) = 0,002... - 1,501... = -0,491... 0
Foi mal!
OBS: A demonstracao mais sofisticada do Marcio, usando a representacao de a
em fracao continua (cujas reduzidas de ordem par sao sempre a), continua
valendo. Ou seja, o resultado eh verdadeiro.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] localizar reta que secciona um quadrado
Antes disso vc tem que fixar um ponto da reta ... vc pode tracar a mediatriz de um lado qq que vc conseguira uma area igual a 50 tbm ... talvez pra mim nao tenha ficado tao claro o que vc pediu !! caso alguem tenha entendido, desconsidere esse meu email. J Augusto tavares \\*fim*\\ Imagine q eu tenha um quadrado e saiba o tamanho do lado e, obviamente, da area total. Eu quero descobrir a posicao da reta q secciona esse quadrado, d forma q uma das duas figuras formadas tenha uma dada area, q eu chamarei d parcial, dado tb um determinado coeficiente angular dessa reta. Pode-se arbitrar q a area parcial e' sempre referente a area abaixo da reta. Por exemplo, dados: area total = 100, area parcial = 50, inclinacao da reta = 45 graus, a reta esta exatamente na diagonal do quadrado e as 2 figuras formadas sao triangulos iguais e de area igual a 50. A resposta ao problema pode ser o coeficiente linear da reta ou os 2 pontos, nos quais a reta secciona o quadrado. Gostaria d obter uma solucao q fizesse o menor numero d testes possiveis, ou seja uma equacao q pudesse satisfazer qq caso. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
