Espero que esteja certo, de uma conferida.. Se a eh irracional positivo, olhe para as aproximacoes por fracoes continuas de a. Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+.... e as reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0, p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... ) com n par satisfazem 0 < a - p_n/q_n < (1/q_n)^2 Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para infinito, podemos, dado um eps>0 qualquer, escolher n tq 1/q_n < eps. Nesse caso, a desigualdade acima implica 0 < (q_n)*a - p_n < eps. Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps) de R+, sempre existe algum multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse intervalo. Para intervalos em R-, voce pode adotar uma ideia parecida, mas agora olhando para as reduzidas de ordem impar.
Obs: As demonstracoes desses resultados sobre as reduzidas decorrem das relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n), satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por inducao, e pode ser conjecturado a partir de uma analise das fracoes continuas de numeros racionais (que "eh" o algoritmo de euclides). Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os elementos de B sao da forma (np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro, todos os elementos de B tem modulo >= 1/q. Em particular, B nao eh denso em R. Se a for negativo, entao B soh tem elementos negativos e nao eh denso em R. ----- Original Message ----- From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, September 09, 2003 2:08 PM Subject: [obm-l] Conjunto denso em R > Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum > contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh > denso em R. > > Qualquer ajuda serah bem-vinda. > > Um abraco, > Claudio. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================