[obm-l] Geometria Analítica e Plana
Olá Pessoal, Gostaria que alguém me ajudasse nesses dois exercícios: exercício 1 (geometria analitica) http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic io_geometria_analitica.htm exercicio 2 (geometria plana) http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic io_geometria_area3.htm Grato Mr. Crowley (`-''-/).___..--''`-._ `6_ 6 ) `-. ().`-.__.`) (_Y_.)' ._ ) `._ `.``-..-' _..`--'_..-_/ /--'_.' ,' (il),-'' (li),' ((!.-' __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Angulo de Planificaçao
Me ajudem,seria possivel obter o angulo de planificaçao de um cone, sabendo que ele tem 50cm de altura , 13.6cm de raio da base? Agradeço desde de já. Cláudio Thor. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica e Plana
Estes enderecos nao existem. Artur Olá Pessoal, Gostaria que alguém me ajudasse nesses dois exercícios: exercício 1 (geometria analitica) http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic io_geometria_analitica.htm exercicio 2 (geometria plana) http://www.paraisodovestibulando.kit.net/questoes/exercic io_geometria_area3.htm Grato Mr. Crowley (`-''-/).___..--''`-._ `6_ 6 ) `-. ( ).`-.__.`) (_Y_.)' ._ ) `._ `.``-..-' _..`--'_..-_/ /--'_.' ,' (il),-'' (li),' ((!.-' __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
Isto segue diretamente da desigualdade das medias.Basta substituir cada termo pelo seu inverso, e simplificarArtur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aamedia geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, osnumeros forem todos iguais. Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao haviame dado conta disto.Abracos.Artur =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: [obm-l] Re: Fatorial Quadrado
Bem, esta ideia pode ser util...Tente ver os expoentes de cada cara.Voce começou procurando os doizes que apareciam.Mas eu acho que isso nao passa do teorema de Chebyshev em outra formulaçao.Will [EMAIL PROTECTED] wrote: Pensei um pouco nesse problema e, sei lá porque que razão, parei pra contarquantos "dois" aparecem nas fatorações de números (pares) consecutivos.Encontrei a seguinte sequência:1 (2 contém exatamente um 2)2 (4 contém dois 2...)13 (8 tem 3, deu pra entender né)121412131215(...)Era de se esperar que aparecessem simetrias, mas confesso que me surpreendiem constatar que as somas parciais dessa sequencia nos blocos terminados emposições 2^n são todas forma (2^n) -1 !!Ex:Somando até 4:1+2 = 3Somando até 8:1+2+1+3 = 7Somando até 32:1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5 = 31Depois do choque, vi que o fato é não só razoável como também algo esperado,já que entre 1 e 2^n vão haver 2^(n-1) múltiplos de 2, 2^(n-2) múltiplos de4, 2^(n-3) múltiplos de 8 e assim por diante. Escrevendo essa soma embinário (isso te lembra alguma coisa, Pina ?) vamos tem um cara da forma()base2 onde aparecem n 1´s , o que é justamente algo do tipo2^n -1 !!Bom, isso não me levou a concluir nada sobre fatoriais e quadrados, masachei válido mandar pra lista assim mesmo :-))SaudaçõesWill- Original Message -From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Wednesday, September 17, 2003 9:24 PMSubject: [obm-l] Re: Fatorial Quadradoon 16.09.03 16:46, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Um abraco, Claudio.O que eu acho estranho eh que a demonstracao do postulado de Bertrand (pelomenos a que eu conheco) baseia-se numa analise dos fatores primos deBinom(2n,n) = (2n)!/n!^2. Assim, seria de se esperar que uma analise dosfatores primos de n! fosse mais simples do que a dos fatores de Binom(2n,n)e, portanto, que existisse uma demonstracao do resultado acima que naoenvolvesse o postulado de Bertrand.Eh fato (decorrente do postulado de Bertrand) que se p eh o maior primo =n, entao n 2p e, portanto, o expoente de p em n! eh 1, o que impede que n!seja um quadrado perfeito.O problema eh que sem Bertrand eu nao consigo provar que n 2p, ou seja,que a situacao em que os numeros: p+1, p+2, ..., 2p-1, 2p, ..., n (n = 2p)sao todos compostos nunca ocorre.Um abraco,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Vamos tentar por partes... Quando n eh primo fica facil ver que n! nao eh quadrado Para n nao primos: Usando a sua menssagem Base 2 / Fatoriais / Binom(n,k) 1) O expoente do primo p na decomposicao de n! eh igual a: [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... onde [x] = maior inteiro = x. Soh analizando o expoente de 2 da pra eliminar varios numeros se n = 2^m (m inteiro positivo) entao n!=2^a*3^b*... (a impar) quadrado se n = 2k ou 2k + 1 (k par) o coeficiente de 2 tb eh sempre impar faltam soh os n nao primos da forma 2k ou 2k +1 (k impar) ... no caso de k primo acho ki e facil ver que o coeficiente de k eh impar... deve ter uma maneira de escolher o melhor coeficiente pra analizar quando k eh impar. De qualquer forma isso foi o ki eu pensei ate agora, pode servir ou nao, e nao ofereco garantia nenhuma :). Se estiver totalmente errado nao eh a primeira vez e certamente nao sera a ultima. -Auggy - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, September 16, 2003 3:46 PM Subject: [obm-l] Fatorial Quadrado Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Mesma pergunta para este aqui: Se P(n) = n-esimo primo (P(1) = 2, P(2) = 3, P(3) = 5, ...), entao prove que para n = 5, P(n)^2 P(1)*P(2)*...*P(n-1). Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Valores de aderencia
Oi, pessoal: Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer ponto no intervalo [-1,1]. Pergunta: O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar sequencias com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao? Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas: 1) Ela eh limitada; 2) Ela eh periodica de periodo irracional; 3) Ela eh continua; 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1]. O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh uma condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh uma sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero. Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Resultados da Ibero 2003
Oi pessoal, Já saíram os resultados da Ibero 2003: Aluno Problema 1 2 3 4 5 6 Total BRA1 (Alex) 7 6 7 7 7 7 41 BRA2 (Davi) 5 7 6 2 7 7 34 BRA3 (Fábio)7 7 7 7 7 7 42 BRA4 (Samuel) 7 7 0 5 7 3 29 Vocês podem ver a prova em http://www.campus-oei.org/oim/xviiioim.htm []s do Alex, Davi, Fábio, Samuel, Morgado e Luzinalva, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] probleminha
um terreno de 5.400 m^2 foi dividido em 4 lotes com as seguintes áreas: A^2, B^2, C^2 e D^2. Determine os valores de A,B,C e D, sabendo que eles estão entre si como 2:3:4:5 ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linera
Prezado felipe, muito obrigado pela sua atenção.
creio que na minha primeira pergunta eu não fui claro.
Sem problemas. Se me permite vou fazer uma tentativa...
Sendo V um espaço vetorial de dimensão n. Se tomarmos um conjunto X
linearmente independente com n vetores desse espaço.
é possível afirmar que esse conjunto X é uma base do espaço vetorial V ?
ou seja num espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto de vetores LI
com n vetores será uma base desse espaço?
Seja X o conjunto LI de n vetores(x_i, i=1..n). Como dim(V) = n, sabemos
que qualquer conjunto com mais de n elementos será LD. Seja v um elemento
de (V-X) nao nulo e seja Y = X U {v}. Entao Y é LD.
= Existem a_i, i=1..(n+1) no corpo (o coitado nao ganhou nem um nome) nao
todos nulos tais que
soma( a_i*x_i, i=1..n ) + a_(n+1)*v = 0
Suponha a_(n+1) = 0, entao a_i = 0 para 1=i=n pois X é LI.
Isto contradiz o fato de nem todos os a_i serem nulos. Logo a_(n+1) != 0.
Entao v = (1/a_(n+1)) * (-soma(a_i*x_i,i=1..n)) = soma( -(a_i/a_(n+1)) *
x_i, i=1..n ).
Ou seja, v pertence ao conjunto gerado por X. Obviamente qualquer vetor em
X também pode ser gerado por X. Ah, e o vetor nulo também... Então qualquer
elemento de V pode ser gerado por X.
Isto, juntamente com o fato de X ser LI significa que X é uma base. H,
será que isto vale também para espaços de dimensão infinita ?
Espero ter ajudado e nao ter cometido nenhum engano.
[]s
Felipe
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Algebra Linera
Sendo V um espaço vetorial de dimensão n. Se tomarmos um conjunto X linearmente independente com n vetores desse espaço. é possível afirmar que esse conjunto X é uma base do espaço vetorial V ? ou seja num espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto de vetores LI com n vetores será uma base desse espaço? É sim, quaisquer n vetores LI dentro de um espaço vetorial de dimensão n formam uma base para esse espaço. E, reciprocamente, toda base desse espaço vai ser formada por n vetores LI. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminha
a[t] = 5400 m^2 a[t] = A^2 + B^2 + C^2 + D^2 (2x)^2 + (3x)^2 + (4x)^2 + (5x)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + D^2 (2x)^2 + (3x)^2 + (4x)^2 + (5x)^2 = 5400 4x^2 + 9x^2 + 16x^2 + 25x^2 = 5400 x^2 = 5400 / 54 x = 10 Substituindo: A^2 = (2x)^2 = A = 20 B^2 = (3x)^2 = B = 30 C^2 = (4x)^2 = C = 40 D^2 = (5x)^2 = D = 50 André Resende - Original Message - From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, September 18, 2003 8:43 PM Subject: [obm-l] probleminha um terreno de 5.400 m^2 foi dividido em 4 lotes com as seguintes áreas: A^2, B^2, C^2 e D^2. Determine os valores de A,B,C e D, sabendo que eles estão entre si como 2:3:4:5 ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Base 2 / Fatoriais / Binom(n,k)
céus ! acabo de chegar em casa e ainda vou levar um tempo pra digerir todos esses fatos ! Valeu pelo feedback :-) Abraços Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, September 18, 2003 1:31 AM Subject: [obm-l] Base 2 / Fatoriais / Binom(n,k) Oi, Will: Se voce achou isso interessante, aqui tem mais alguns: 1) O expoente do primo p na decomposicao de n! eh igual a: [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... onde [x] = maior inteiro = x. 2) Binom(n,k) eh impar == as representacoes binarias de k e n-k nao tem um algarismo 1 nas mesmas posicoes == NURB(n) = NURB(k) + NURB(n-k) one NURB(m) = Numero de 1's na Representacao Binaria de m. 3) Binom(n,k) eh impar para todo k (0=k=n) == n = 2^m - 1 para algum inteiro positivo m. 4) Binom(n,k) eh par para todo k (1=k=n-1) == n = 2^m para algum inteiro positivo m. 5) Se E_2(n!) = expoente de 2 na decomposicao de n! e NURB(n) eh como definido acima, entao E_2(n!) + NURB(n) = n, para todo inteiro positivo n. 6) Para todo n, o numero de coeficientes binomiais Binom(n,k) (0=k=n) que sao impares eh igual a 2^NURB(n). Um abraco, Claudio. on 17.09.03 23:21, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pensei um pouco nesse problema e, sei lá porque que razão, parei pra contar quantos dois aparecem nas fatorações de números (pares) consecutivos. Encontrei a seguinte sequência: 1 (2 contém exatamente um 2) 2 (4 contém dois 2...) 1 3 (8 tem 3, deu pra entender né) 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1 5 (...) Era de se esperar que aparecessem simetrias, mas confesso que me surpreendi em constatar que as somas parciais dessa sequencia nos blocos terminados em posições 2^n são todas forma (2^n) -1 !! Ex: Somando até 4: 1+2 = 3 Somando até 8: 1+2+1+3 = 7 Somando até 32: 1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5 = 31 Depois do choque, vi que o fato é não só razoável como também algo esperado, já que entre 1 e 2^n vão haver 2^(n-1) múltiplos de 2, 2^(n-2) múltiplos de 4, 2^(n-3) múltiplos de 8 e assim por diante. Escrevendo essa soma em binário (isso te lembra alguma coisa, Pina ?) vamos tem um cara da forma ()base2 onde aparecem n 1´s , o que é justamente algo do tipo 2^n -1 !! Bom, isso não me levou a concluir nada sobre fatoriais e quadrados, mas achei válido mandar pra lista assim mesmo :-)) Saudações Will = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Revista do professor de matemática.
1)Certo dia, a relação entre cotações de um grama de ouro e um dolar era de 1 para 12. A partir daí, houve um aumento de 20% no preço do dolar e de 40% no preço do grama de ouro. A nova cotação é de 1 grama de ouro para?? Pra mim é de 1 para 24, mas a resposta pelo gabarito não está batendo... 2) Em um programa de televisão, um candidato deve responder a 10 perguntas. A primeira vale 1 ponto, a segunda vale 2 pontos e assim, sucessivamente, dobrando sempre. O candidato responde a todas as perguntas e ganha os pontos correspondentes às respostas que acertou, mesmo que erre algumas. Se o candidato obteve 610 pontos, quantas perguntas acertou?? Segundo minha análise acertou 4, mas novamente o gabarito da apostila onde vi esses problemas da uma outra resposta Um abraço Korshinói
Re: [obm-l] Valores de aderencia
Meus chutes... (1) deve ser irrelevante e tg(x) talvez seja um bom exemplo disso (3) deve ser irrelevante, já que posso definir f(x) = cos(x) se x é racional e f(x)=1 se x é irracional me parece que os resultados ainda valem. (4)Acho que basta que ela seja uma sobrejeção em um subconjunto enumerável denso num intervalo contendo o limite. E ainda deve ser necessário que, dado um x arbitrariamente grande, exista a sobrejeção do intervalo [x,infinito] no subconjunto da forma descrita acima. Ok, fui tremendamente impreciso e chutei com toda força, mas não pude resistir :-) Aguardo as pedradas Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, September 18, 2003 7:52 PM Subject: [obm-l] Valores de aderencia Oi, pessoal: Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer ponto no intervalo [-1,1]. Pergunta: O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar sequencias com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao? Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas: 1) Ela eh limitada; 2) Ela eh periodica de periodo irracional; 3) Ela eh continua; 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1]. O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh uma condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh uma sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero. Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Valores de aderencia
Claudio e Will, mais algumas algumas reflexoes (eufemismo para chute) neste inicio de manha: Eu acho que a sequencia tg(n) acaba acaindo num caso muito similar aaquele que abordei ontem. Eh periodica, com periodo minimo irracional PI; Eh continua em todo seu dominio, que eh o R exceto os pontos da forma k*PI+PI/2, k inteiro. Os argumentos que dei ontem creio que provam que tg(n) eh densa em R. A tangente so nao eh definida em um subconjunto numeravel de R, ou seja, eh definida e continua em quase todo o R, pois con juntos numeraveis tem medida zero. Se nos pontos da forma k*PI+PI/2 definissemos a tangente no que quer que fosse, teriamos uma funcao definida em todo o R, descontinua nestes pontos e, para nosos objetivos, nada se alteraria. Estah me parecendo que talvez seja importante que a funcao seja continua em quase todo o R. (isto eh, so eh descontinua - ou nao definida - em um subconjunto de medida nula) Aqui nao posso ir muito longe, nao domino a teoria de medidas. (Eh um assunto lindo, jah tentei avancar mas nunca acho tempo). No exemplo que o Will deu, f(x) = cos(x), x irrac, f(x) =1 se x = rac., f gera exatamente a sequencia cos(n), densa em [-1,1]. Esta funcao que ele deu soh nao eh continua em um conjunto numeravel, logo de medida zero. O fato de f ser limitada nao eh mesmo relevante. Se, entretanto, f for continua e periodica em R, entao f eh automaticamente limitada e uniformemente continua em R. Abracos Artur Meus chutes... (1) deve ser irrelevante e tg(x) talvez seja um bom exemplo disso (3) deve ser irrelevante, já que posso definir f(x) = cos(x) se x é racional e f(x)=1 se x é irracional me parece que os resultados ainda valem. (4)Acho que basta que ela seja uma sobrejeção em um subconjunto enumerável denso num intervalo contendo o limite. E ainda deve ser necessário que, dado um x arbitrariamente grande, exista a sobrejeção do intervalo [x,infinito] no subconjunto da forma descrita acima. Ok, fui tremendamente impreciso e chutei com toda força, mas não pude resistir :-) Aguardo as pedradas Will - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, September 18, 2003 7:52 PM Subject: [obm-l] Valores de aderencia Oi, pessoal: Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer ponto no intervalo [-1,1]. Pergunta: O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar sequencias com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao? Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas: 1) Ela eh limitada; 2) Ela eh periodica de periodo irracional; 3) Ela eh continua; 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1]. O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh uma condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh uma sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero. Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
