Re: [obm-l] Qual resposta
Estive conversando com o Carlos pelo msn e descobri que na verdade a fundação C.CHAGAS acertou na questw e que o problema e muito mais simples do que estava imaginando. Na questw, estava escrito que os multiplos de 4,6 e 12, estavam dentro do conjunto X, logo por exemplo, nw poderiamos ter dentro do conjunto, um múltiplo de 12 que nw fosse múltiplo de 4 e 6 Entw: 12 múltiplos de 4 - 5 múltiplos de 12 = 7 7 múltiplos de 6- 5 múltiplos de 12 = 2 5 múltiplos de 12= 5 8 ímpares = 8 Somando tudo : 7 + 2 + 5 + 8 = 22 Obs. Como vc sabia que era da C Chagas ? From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Date: Tue, 3 Feb 2004 23:15:45 EST A fundacao C.CHAGAS errou nao dizendo se os multiplos deveriam ser ou nao consecutivos. Em todo caso, uma resolucao por Venn-Euler (diagrama) seria bem rapida !!! Em uma mensagem de 3/2/2004 17:22:30 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que tal o conjunto X formado pelos 28 elementos a seguir? 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; A(8) 12, 24, 36, 48, 60; B(5) 6, 18; C(2) 4, 8, 16, 20, 28, 32, 40; D(7) 2, 14, 26, 38, 50, 62; E(6) multiplos de 4: B+D (12) multiplos de 6: B+C (7) multiplos de 12: B (5) impares: A (8) outros: E (6) A resposta seria 22 se o enunciado dissesse que os elementos do conjunto eram apenas os descritos no enunciado. Com o enunciado dado, o numero de elementos _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual resposta
Mas nao estava escrito que APENAS esses... == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Vitor Paizam [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wed, 04 Feb 2004 08:04:36 -0200 Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Estive conversando com o Carlos pelo msn e descobri que na verdade a fundação C.CHAGAS acertou na questw e que o problema e muito mais simples do que estava imaginando. Na questw, estava escrito que os multiplos de 4,6 e 12, estavam dentro do conjunto X, logo por exemplo, nw poderiamos ter dentro do conjunto, um múltiplo de 12 que nw fosse múltiplo de 4 e 6 Entw: 12 múltiplos de 4 - 5 múltiplos de 12 = 7 7 múltiplos de 6- 5 múltiplos de 12 = 2 5 múltiplos de 12= 5 8 ímpares = 8 Somando tudo : 7 + 2 + 5 + 8 = 22 Obs. Como vc sabia que era da C Chagas ? From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Date: Tue, 3 Feb 2004 23:15:45 EST A fundacao C.CHAGAS errou nao dizendo se os multiplos deveriam ser ou nao consecutivos. Em todo caso, uma resolucao por Venn-Euler (diagrama) seria bem rapida !!! Em uma mensagem de 3/2/2004 17:22:30 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que tal o conjunto X formado pelos 28 elementos a seguir? 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; A(8) 12, 24, 36, 48, 60; B(5) 6, 18; C(2) 4, 8, 16, 20, 28, 32, 40; D(7) 2, 14, 26, 38, 50, 62; E(6) multiplos de 4: B+D (12) multiplos de 6: B+C (7) multiplos de 12: B (5) impares: A (8) outros: E (6) A resposta seria 22 se o enunciado dissesse que os elementos do conjunto eram apenas os descritos no enunciado. Com o enunciado dado, o numero de elementos _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual resposta
Entendo a frustração do Morgado perante ao exercício... Mas a discussão vai longe. Ao meu parecer o exercício é claro, o problema todo estava na interpretação do mesmo. Pelo que entendi o Morgado está querendo dizer, que o exercício deixa vago a quantidade de elementos, levando a interpretaçao que a quantidade seja superiorou igual a22. Queria se não for incomodo... pedir para o Morgado uma reformulação no exercício, pois assim acabaria com a discussão, e mostraria o modo correto. [ ] s Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Mas nao estava escrito que APENAS esses...==Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.brTel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online-- Original Message ---From: "Vitor Paizam" <[EMAIL PROTECTED]>To: [EMAIL PROTECTED]Sent:: Wed, 04 Feb 2004 08:04:36 -0200Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Estive conversando com o Carlos pelo msn e descobri que na verdade a fundação C.CHAGAS acertou na questw e que o problema e muito mais simples do que estava imaginando. Na questw, estava escrito que os multiplos de 4,6 e 12, estavam dentro do conjunto X, logo por exemplo, nw poderiamos ter dentro do conjunto, um múltiplo de 12 que nw fosse múltiplo de 4 e 6 Entw: 12 múltiplos de 4 - 5 múltiplos de 12 = 7 7 múltiplos de 6- 5 múltiplos de 12 = 2 5 múltiplos de 12 = 5 8 ímpares = 8 Somando tudo : 7 + 2 + 5 + 8 = 22 Obs. Como vc sabia que era da C Chagas ? From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Date: Tue, 3 Feb 2004 23:15:45 EST A fundacao C.CHAGAS errou nao dizendo se os multiplos deveriam ser ou nao consecutivos. Em todo caso, uma resolucao por Venn-Euler (diagrama) seria bem rapida !!! Em uma mensagem de 3/2/2004 17:22:30 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que tal o conjunto X formado pelos 28 elementos a seguir? 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; A(8) 12, 24, 36, 48, 60; B(5) 6, 18; C(2) 4, 8, 16, 20, 28, 32, 40; D(7) 2, 14, 26, 38, 50, 62; E(6) multiplos de 4: B+D (12) multiplos de 6: B+C (7) multiplos de 12: B (5) impares: A (8) outros: E (6) A resposta seria 22 se o enunciado dissesse que os elementos do conjunto eram apenas os descritos no enunciado. Com o enunciado dado, o numero de elementos _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =--- End of Original Message ---=Innstruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] irracionais
Entao quando decompormos N e verificarmos que as potencias dos primos de N forem multiplos de n a potencia N^(1/n) eh racional ? Eh isso ? Sim, de fato. Neste caso, existe um natural k tal que k^n = N. N^(1/n) neste caso eh nao apenas racional mas inteiro. Se, entrtanto, houver um unico primo p na fatoracao de N cuja potencia nao seja um multiplo de n, entao N^(1/n) eh irracional. Na demonstracao abaixo, na frase Temos entao, para cada um deste r's, que r = q*n + s, q0 inteiro, 0sn inteiro, na realidade eh q=0. q=0 eh possivel. Um abraco Artur Em uma mensagem de 3/2/2004 19:23:43 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Isso pode ser visto como um caso partular de um teorema mais geral. Se N1 e n1 sao inteiros e N nao for uma potencia n perfeita, entao N^(1/n) eh irracional. Prova: Como N nao eh uma potencia n perfeita, a decomposicao de N em fatores primos contem fatores (pelo menos 1) elevados a expoentes r que nao sao h multiplos de n. Temos entao, para cada um deste r's, que r = q*n + s, q0 inteiro, 0sn inteiro. Logo, N pode ser representado por N = K * M, sendo K uma potencia n perfeita e M um numero inteiro cuja decomposicao em fatores primos contempla todos estes fatores com expoentes n. Como K^(1/n) eh inteiro, para mostramos que N^(1/n) eh irracional basta portanto mostrarmos que M^(1/n) eh irracional. Admitamos que M^(1/n)= m1/m2, sendo m1 e m20 primos entre si. Entao, m1^n= M * m2^n. Sendo p um dos primos que comparecem na decomposicao de M, temos emtao que M= p^q * M' , qn, M' inteiro (nao contendo o fator p), e, portanto, m1^n = p^q * M' * m2^n. Logo, m1^n, e portanto m1, sao multiplos de p. Entao, m1 = k*p, do que se segue que k^n * p^n = p^q * M' * m2^n e k^n * p^(n-q) = M' * m2^n. Temos que nq e que M' nao contem o fator p em sua decomposicao em fatores primos. Para que a ultima igualdade se verifique, temos entao necessariamente que m2^n, e portanto m, eh multiplo de p. Como isto contraria a hipotese de que m1 e m2 sao primos entre si, segue-se que M eh irracional, o mesmo se verificando para N. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Parece mas nao eh
Oi salvador, Eu pensei um pouco sobre este problema, mas a unica conclusao a que eu ateh agora cheguei foi a mesma que o Claudio jah apresentou em uma outra mensagem. Sabemos que, se comecarmos com um x(1) 100, para algum n acabaremos tendo necessariamente que x(n) 100. Logo, para analisarmos o comportamento final da sequencia basta considerar os casos em que 1 = x(1) = 99. Eu tentei provar que, se sairmos de 11 = x(1) = 99 acabaremos chegando a um x(n) =9, mas nao fechei a prova. Podemos verificar que se x(n) tem 2 algarismos entao -25 = x(n+1) - x(n) = 63, mas isto nao me levou aa conclusao desejada. Voce seguiu algum caminho semelhante? Artur --- Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi gente, Acabei de resolver um probleminha, que a primeira vista me pareceu impossivel, mas na verdade eh facil. Dado um natural, digamos 13, o proximo eh 1²+3²=10, depois vem 0²+1²=1 e ficamos no 1,1,1, Se comecarmos com 4, vamos para 16, depois 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, , 20, 4, 16, e indefinidamente nesta sequencia. O problema eh: Prove que todo numero, ou termina no 1, ou nessa seq. 4,16,37,58,89,145,42,20,4,... Disse que parecia impossivel, pois me lembrou na hora o seguinte problema: se n for par, divida por 2, se for impar, multiplique por 3 e some 1. Exemplo: 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,... Prove que todo n converge para o loop 4,2,1,4,2,1,... Esse esta em aberto, e pelo que eu sei longe de ser resolvido. Abraco, Salvador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! SiteBuilder - Free web site building tool. Try it! http://webhosting.yahoo.com/ps/sb/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Logaritmos (IEZZI) !!!
Demonstre que a relação entre os logaritmos de dois números positivos e diferentes de 1 independe da base considerada. [ ] sYahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] PEQUENA DÚVIDA!
On Tue, Feb 03, 2004 at 09:25:17PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Para Nicolau ou quem souber ! Por que A probabilidade de o total ser 10 é 3/36 ? Cada possibilidade dentro da lista abaixo tem prob 1/36: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) ... (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) Para que o total seja 10, há 3 possibilidades: (4,6), (5,5) e (6,4). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida - triangulo
Ola Fael e demais colegas desta lista ... OBM-L, A'B' = CA'' + CB'' quando o triangulo ABC e isosceles, isto e, quando CA=CB. Note que o triangulo A'B'C' e congruente a ABC, mas nao e, necessariamente, a imagem de ABC atraves do espelho que seria a reta s. Para ver isso claramente considere o triangulo retangulo ABC com - base - AB=13, CA = 5 e CB=12. Trace por C uma reta s paralela a AB. Prolongando CA no sentido de A para C de um segmento CA'= CB = 12 e prolongando CB no sentido de B para C de um segmento CB'=CA=5 e, finalmente, ligando A' com B' fica claro que A'B' nao e paralelo a AB, isto e, apesar de A'B'C ser congruente a ABC, ele nao e imagem especular de ABC atraves do especlho reta s. Observe que o fundamento da desigualdade e o 5 postulado de Euclides e o fato de o segmento projetante nunca ser menor que o segmento projetado, vale dizer, ela e uma desigualdade bem proxima de coisas basicas, nao pressupondo outra desigualdade da geometria. Considerando que os lados a, b e c sao reais positivos que obedecem a desigualdade triangular e que os cossenos podem ser definidos por series numericas sem apelo a intuicao geometrica e que os angulos A, B e C sao reais positivos tais que A+B+C=pi, e possivel transladar a inequacao para o dominio da Analise. Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1356,040204 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida - triangulo Date: Tue, 3 Feb 2004 22:41:25 EST Para Paulo ou quem souber ! Nao entendi 2 passagens na demonstracao: 1) A'B' = CA'' + CB'' Nao seria A'B' = CA'' + CB'' ? Pois o triangulo A`B`C nao eh a imagem refletida do triangulo ABC ? Estou imaginando (pena que nao da para postar figura aqui na lista) que _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] problema de Analise
A seguinte conclusao eh interessante e eh tambem interesante de se demonstrar: Sejam f e g funcoes de (0 , inf) em R tais que lim (x - inf) f(x) = inf e lim (x - inf) g(x) = inf. Se existir algum a0 tal que f/g seja limitada em (a, inf), entao lim (x- inf) Ln(f(x))/Ln(g(x)) = 1. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] irracionais
Valeu Domingos eu achei animal a solução"Domingos Jr." [EMAIL PROTECTED] wrote: suponha sqrt(15) + sqrt(10) - sqrt(6) - 3 racional;então (1) = sqrt(15) + sqrt(10) - sqrt(6) é racional =(1)² é racional =15 + 10 + 6 + 2sqrt(150) - 2sqrt(60) - 2sqrt(90) é racional =sqrt(150) - sqrt(60) - sqrt(90) é racional =(2) = 5sqrt(6) - 2sqrt(15) - 3sqrt(10) é racional ...de (1) e (2) temos(1)*2+(2) = 3sqrt(6) - sqrt(10) é racional[3sqrt(6) - sqrt(10)]² é racional =9*6 + 10 - 6sqrt(60) é racional =sqrt(60) = 2sqrt(15) é racional =sqrt(15) é racionalsqrt(15) = a/b com a, b uma fração irredutível15 = a²/b²15b² = a² = 3, 5|a = a = 3*5*k = a² = 15²k²15b² = 15²k²b² = 15k² = 15|b² e portanto mdc(a, b) = 15, e está aí a nossacontradição.PS: de forma geral, se n é inteiro e não é quadrado perfeito sqrt(n) éirracional.- Original Message - From: "Jefferson Franca" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Tuesday, February 03, 2004 12:43 PMSubject: [obm-l] irracionaisComo consigo provar que sqrt(15) + sqrt(10) - sqrt(6) - 3 é irracional?-Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
[obm-l] Ajude a verificar a conjectura de Goldbach
Acabo de descobrir que um português chamado Tomás Oliveira e Silva está fazendo uma grande verificação da conjectura de Goldbach pela internet. Verificar aqui significa aumentar o valor de N para o qual a frase todo número par n, 2 n N, pode ser escrito como uma soma de dois primos já foi verificada. O valor atual é N ~= 6*10^16. Se você tiver um computador rodando Linux você pode ajudar a aumentar o valor de N, veja http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach/help.html []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] irracionais
Será q alguém pode indicar algum livro ou nota de aula que esteja na net sobre irracionais e racionais?Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] irracionais-livro
cara, tem um livro, acho que e' de Djairo Guedes e se chama Numeros Irracionais e Trancendentes, nao deve ter na internet mas acho que o impa vende e te envia, e deve ficar barato.Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Será q alguém pode indicar algum livro ou nota de aula que esteja na net sobre irracionais e racionais? Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Qual resposta
Pois eu tenho um fasciculo (cheio de erros por sinal :-) e nele ha varias questoes de vestibulares, inclusive esta. Em uma mensagem de 4/2/2004 08:08:47 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Estive conversando com o Carlos pelo msn e descobri que na verdade a fundação C.CHAGAS acertou na questw e que o problema e muito mais simples do que estava imaginando. Na questw, estava escrito que os multiplos de 4,6 e 12, estavam dentro do conjunto X, logo por exemplo, nw poderiamos ter dentro do conjunto, um múltiplo de 12 que nw fosse múltiplo de 4 e 6 Entw: 12 múltiplos de 4 - 5 múltiplos de 12 = 7 7 múltiplos de 6- 5 múltiplos de 12 = 2 5 múltiplos de 12 = 5 8 ímpares = 8 Somando tudo : 7 + 2 + 5 + 8 = 22 Obs. Como vc sabia que era da C Chagas ? From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Qual resposta Date: Tue, 3 Feb 2004 23:15:45 EST A fundacao C.CHAGAS errou nao dizendo se os multiplos deveriam ser ou nao consecutivos. Em todo caso, uma resolucao por Venn-Euler (diagrama) seria bem rapida !!! Em uma mensagem de 3/2/2004 17:22:30 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que tal o conjunto X formado pelos 28 elementos a seguir? 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15; A(8) 12, 24, 36, 48, 60; B(5) 6, 18; C(2) 4, 8, 16, 20, 28, 32, 40; D(7) 2, 14, 26, 38, 50, 62; E(6) multiplos de 4: B+D (12) multiplos de 6: B+C (7) multiplos de 12: B (5) impares: A (8) outros: E (6) A resposta seria 22 se o enunciado dissesse que os elementos do conjunto eram apenas os descritos no enunciado. Com o enunciado dado, o numero de elementos
Re: [obm-l] Duvida - triangulo
Ok, Paulo... Agora entendi o por quê da imagem nao ser especular !!! Eu acabei provando isso aqui esbocando um triangulo escaleno, por exemplo, e transladando o segmento A"B" para formar um triangulo retangulo com A`B`, onde A`B` sera a hipotenusa e consequentemente maior que o cateto (A"B" = CA'' + CB''). O que fiz foi com um triangulo escaleno, no caso de um triangulo retangulo, resta uma pergunta: Sempre havera um lado do triangulo (A`B`C) que sera normal a reta *s* ? Ou seja, havera 2 projecoes, sendo uma delas o proprio lado do triangulo (reto a *s*) ? Em uma mensagem de 4/2/2004 14:00:12 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Fael e demais colegas desta lista ... OBM-L, A'B' = CA'' + CB'' quando o triangulo ABC e isosceles, isto e, quando CA=CB. Note que o triangulo A'B'C' e congruente a ABC, mas nao e, necessariamente, a imagem de ABC atraves do "espelho" que seria a reta "s". Para ver isso claramente considere o triangulo retangulo ABC com - base - AB=13, CA = 5 e CB=12. Trace por C uma reta "s" paralela a AB. Prolongando CA no sentido de A para C de um segmento CA'= CB = 12 e prolongando CB no sentido de B para C de um segmento CB'=CA=5 e, finalmente, ligando A' com B' fica claro que A'B' nao e paralelo a AB, isto e, apesar de A'B'C ser congruente a ABC, ele nao e imagem especular de ABC atraves do "especlho" reta "s". Observe que o fundamento da desigualdade e o 5 postulado de Euclides e o fato de o segmento projetante nunca ser menor que o segmento projetado, vale dizer, ela e uma desigualdade "bem proxima" de coisas basicas, nao pressupondo outra desigualdade da geometria. Considerando que os lados "a", "b" e "c" sao reais positivos que obedecem a desigualdade triangular e que os cossenos podem ser definidos por series numericas sem apelo a intuicao geometrica e que os angulos "A", "B" e "C" sao reais positivos tais que A+B+C=pi, e possivel transladar a inequacao para o dominio da Analise. Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1356,040204 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida - triangulo Date: Tue, 3 Feb 2004 22:41:25 EST Para Paulo ou quem souber ! Nao entendi 2 passagens na demonstracao: 1) A'B' = CA'' + CB'' Nao seria A'B' = CA'' + CB'' ? Pois o triangulo A`B`C nao eh a imagem refletida do triangulo ABC ? Estou imaginando (pena que nao da para postar figura aqui na lista) que
Re: [obm-l] Duvida - triangulo
Ola Fael e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nao nessariamente. Pode suceder que nenhum lado de A'B'C seja perpendicular a reta s, que e o que ocorre num triangulo acutangulo. Um Abraco Paulo Santa Rita 4,2018,040204 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida - triangulo Date: Wed, 4 Feb 2004 16:53:00 EST Ok, Paulo... Agora entendi o por quê da imagem nao ser especular !!! Eu acabei provando isso aqui esbocando um triangulo escaleno, por exemplo, e transladando o segmento AB para formar um triangulo retangulo com A`B`, onde A`B` sera a hipotenusa e consequentemente maior que o cateto (AB = CA'' + CB''). O que fiz foi com um triangulo escaleno, no caso de um triangulo retangulo, resta uma pergunta: Sempre havera um lado do triangulo (A`B`C) que sera normal a reta *s* ? Ou seja, havera 2 projecoes, sendo uma delas o proprio lado do triangulo (reto a *s*) ? Em uma mensagem de 4/2/2004 14:00:12 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Fael e demais colegas desta lista ... OBM-L, A'B' = CA'' + CB'' quando o triangulo ABC e isosceles, isto e, quando CA=CB. Note que o triangulo A'B'C' e congruente a ABC, mas nao e, necessariamente, a imagem de ABC atraves do espelho que seria a reta s. Para ver isso claramente considere o triangulo retangulo ABC com - base - AB=13, CA = 5 e CB=12. Trace por C uma reta s paralela a AB. Prolongando CA no sentido de A para C de um segmento CA'= CB = 12 e prolongando CB no sentido de B para C de um segmento CB'=CA=5 e, finalmente, ligando A' com B' fica claro que A'B' nao e paralelo a AB, isto e, apesar de A'B'C ser congruente a ABC, ele nao e imagem especular de ABC atraves do especlho reta s. Observe que o fundamento da desigualdade e o 5 postulado de Euclides e o fato de o segmento projetante nunca ser menor que o segmento projetado, vale dizer, ela e uma desigualdade bem proxima de coisas basicas, nao pressupondo outra desigualdade da geometria. Considerando que os lados a, b e c sao reais positivos que obedecem a desigualdade triangular e que os cossenos podem ser definidos por series numericas sem apelo a intuicao geometrica e que os angulos A, B e C sao reais positivos tais que A+B+C=pi, e possivel transladar a inequacao para o dominio da Analise. Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1356,040204 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida - triangulo Date: Tue, 3 Feb 2004 22:41:25 EST Para Paulo ou quem souber ! Nao entendi 2 passagens na demonstracao: 1) A'B' = CA'' + CB'' Nao seria A'B' = CA'' + CB'' ? Pois o triangulo A`B`C nao eh a imagem refletida do triangulo ABC ? Estou imaginando (pena que nao da para postar figura _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] problema de Analise
De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 4 Feb 2004 14:55:12 -0200 Assunto: [obm-l] problema de Analise A seguinte conclusao eh interessante e eh tambem interesante de se demonstrar: Sejam f e g funcoes de (0 , inf) em R tais que lim (x - inf) f(x) = inf e lim (x - inf) g(x) = inf. Se existir algum a0 tal que f/g seja limitada em (a, inf), entao lim (x- inf) Ln(f(x))/Ln(g(x)) = 1. Artur Vou tentar demonstrar isso... Se f(x) e g(x) - inf quando x - inf, entao, existe b 0 tal que f(x) e g(x) sao positivas para x b. Se f/g eh limitada em (a,inf) para algum a 0, entao podemos tomar c = max(a,b) e concluir que existem reais m e M tais que, para x c, 0 m f(x)/g(x) M, ou seja: x c == 0 m*g(x) f(x) M*g(x) == Ln(m) + Ln(g(x)) Ln(f(x)) Ln(M) + Ln(g(x)) == Ln(m)/Ln(g(x)) + 1 Ln(f(x))/Ln(g(x)) Ln(M)/Ln(g(x)) + 1 (***) Como g(x) - inf (quando x - inf), temos que Ln(g(x)) - inf tambem, de modo que Ln(m)/Ln(g(x)) e Ln(M)/Ln(g(x)) ambas tendem a zero. Agora eh soh aplicar o teorema do sanduiche nas desigualdades (***) e acho que acabou! Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] irracionais-livro
valeu brunoBruno Lima [EMAIL PROTECTED] wrote: cara, tem um livro, acho que e' de Djairo Guedes e se chama Numeros Irracionais e Trancendentes, nao deve ter na internet mas acho que o impa vende e te envia, e deve ficar barato.Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Será q alguém pode indicar algum livro ou nota de aula que esteja na net sobre irracionais e racionais? Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site! Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
RE: [obm-l] problema de Analise
Exatamente, Claudio. Voce automaticamente assumiu uma condicao adicional que
eu esqueci de mencionar (esqueci mesmo, nao foi proposital nao) e que eh
necessaria para que o teorema seja valido: para algum b0, devemos ter w
=infimo {f(x)/g(x): x=b} 0.
Uma outra prova, aparentemente diferente da sua mas que, em essencia, e o
mesmo conceito, eh a seguinte:
As condicoes dadas acarretam a existencia de um c max{a,b} tal que f e g
sao positivas para x= c. Para x= c temos entao que Ln(f(x)/Ln(g(x)) =
(Ln(g(x) + Ln(f(x) - Ln(g(x))/(Ln(g(x)) = (Ln(g(x)) +
Ln(f(x)/g(x))/(Ln(g(x)) = 1+ Ln(f(x)/g(x))/(Ln(g(x)). Como g(x) - inf
quando x - inf, segue-se que Ln(g(x) - inf quando x- inf. E como f/g eh
limitada para x=c e w 0, temos que o mesmo se verifica para Ln(f/g), pois
Ln eh continua e estritamente crescente em [w, inf). Logo
Ln(f(x)/g(x))/(Ln(g(x)) - 0 quando x - inf, o que implica que lim (x -
inf) Ln(f(x))/Ln(g(x)) = 1.
Se w=0, o teorema nao vale, pois Ln(f/g) torna-se ilimitada inferiormente.
Corolario: Se f(x) e g(x) - inf quando x- inf e lim (x - inf) f(x)/g(x)
0, entao lim (x- inf) Ln(f(x))/Ln(g(x)) = 1.
Abracos
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of claudio.buffara
Sent: Wednesday, February 04, 2004 8:28 PM
To: obm-l
Subject: Re:[obm-l] problema de Analise
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 4 Feb 2004 14:55:12 -0200
Assunto:
[obm-l] problema de Analise
A seguinte conclusao eh interessante e eh tambem interesante de se
demonstrar:
Sejam f e g funcoes de (0 , inf) em R tais que lim (x - inf) f(x) = inf e
lim (x - inf) g(x) = inf. Se existir algum a0 tal que f/g seja limitada
em
(a, inf), entao lim (x- inf) Ln(f(x))/Ln(g(x)) = 1.
Artur
Vou tentar demonstrar isso...
Se f(x) e g(x) - inf quando x - inf, entao, existe b 0 tal que f(x) e
g(x) sao positivas para x b.
Se f/g eh limitada em (a,inf) para algum a 0, entao podemos tomar c =
max(a,b) e concluir que existem reais m e M tais que, para x c, 0 m
f(x)/g(x) M, ou seja:
x c ==
0 m*g(x) f(x) M*g(x) ==
Ln(m) + Ln(g(x)) Ln(f(x)) Ln(M) + Ln(g(x)) ==
Ln(m)/Ln(g(x)) + 1 Ln(f(x))/Ln(g(x)) Ln(M)/Ln(g(x)) + 1 (***)
Como g(x) - inf (quando x - inf), temos que Ln(g(x)) - inf tambem, de
modo que Ln(m)/Ln(g(x)) e Ln(M)/Ln(g(x)) ambas tendem a zero.
Agora eh soh aplicar o teorema do sanduiche nas desigualdades (***) e acho
que acabou!
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] f(x) e f'(x)
Suponha pum polinomio de quinto grau em x. Como demonstro que se toda raiz de p(x) é real, entaump'(x) tem 4 raizes reias (e p''(x)tem 3 raizes reais...) []'s, M.MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] f(x) e f'(x)
Oi Marcelo. Sejam r s duas raízes reais consecutivas do polinômio P(x). No intervalo (r, s) o polinômio assume valoressó positivos ou só negativos. No primeiro caso existe um ponto de máximo localr T s pois P é contínuo no compacto [r, s] e nulo nos extremos, sendo positivo no interior. No outro caso, um ponto de mínimo local. Nestes pontos de extremo local aderivada se anula. Fica para você concluir... Duda. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 05, 2004 12:20 AM Subject: [obm-l] f(x) e f'(x) Suponha pum polinomio de quinto grau em x. Como demonstro que se toda raiz de p(x) é real, entaump'(x) tem 4 raizes reias (e p''(x)tem 3 raizes reais...) []'s, M. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] f(x) e f'(x)
Marcelo,
Pelo que pude entender do problema,
você está querendo demonstrar um caso particular do teorema das raízes
múltiplas.Vou explicá-lo. Onúmero r,que
pertence a C, é raiz de multiplicidade m, que pertence a N*, da equação F(x)=0
se, e somente se, F(x)=(x-r)^m*Q(x) e Q(r)0. Se V={r_1;r_2;r_3;...;r_p} é o conjunto-verdade
da equação F(x)=a_0*x^n+a_1*x^(n-1)+a_2*x^(n-2)+...+a_(n-1)*x+a_n=0 e m_1, m_2,
m_3, ..., m_p, respectivamente, é a multiplicidade de cada raiz, então
m_1+m_2+m_3+...+m_p=n e
F(x)=a_0*(x-r_1)^(m_1)*(x-r_2)^(m_2)...(x-r_p)^(m_p).
TEOREMA: se r pertence aos reais e é raiz
de multiplicidade m da equação F(x)=0, de coeficientes reais, então r é raiz de
multiplicidade m-1 da equação F'(x)=0.
DEMONSTRAÇÃO:
Seja F(x)=(x-r)^m*Q(x),
Q(r)0,
F'(x)=(x-r)^m*Q'(x)+m*(x-r)^(m-1)*Q(x)
F'(x)=(x-r)^(k-1)[ ... ]
(c.q.d.)
E, talvez, você esteja se perguntando o
quão isso é importante. A resposta é até imediata, pois as raízes que
encontramos para um polinômio, após a sua derivação, são exatamente as que
possuíam multiplicidade dupla ou superior.
Eis um exemplo bastante simples:
2 é raiz dupla do polinômio F, sendo
F(x)= 3*(x-2)^2= 3x^2 - 12x + 12. Mas F'(x) = 6x -12 e F''(x)
= 6.
Logo, você pode observar que, para a
derivada primeira, F'(x),a raiz passa a ser simples. E, posteriormente, em
F''(x), já não é mais raiz.
Espero ter ajudado.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From:
Marcelo Souza
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 05, 2004 1:20
AM
Subject: [obm-l] f(x) e f'(x)
Suponha pum polinomio de quinto grau em x. Como demonstro
que se toda raiz de p(x) é real, entaump'(x) tem 4 raizes reias (e
p''(x)tem 3 raizes reais...)
[]'s, M.
