[obm-l] Problema de quadrado perfeito
1 ) Quantos inteiros positivos x são tais que tanto x quanto x+ 99 são quadrados perfeitos? Eu nao entendi bem o enunciado.. quem puder da uma explicada ae eu agradeço! Um abraço!!!
Re: [obm-l] Problema de quadrado perfeito
Seja x = k^2 e x+99 = p^2 Desta forma, k^2 +99 = p^2 p^2 - k^2 = 9 x 11 (p-k)(p+k)= 9 x 11 Assim, p=10 e k=1 ou p=-10 e k=-1 Logo, x=1. Em 28 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1 ) Quantos inteiros positivos x são tais que tanto x quanto x+ 99 são quadrados perfeitos? Eu nao entendi bem o enunciado.. quem puder da uma explicada ae eu agradeço! Um abraço!!! -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
Re: [obm-l] Problema de quadrado perfeito
Opa... tipo, entendi mais ou menos seu raciocinio.. mas o gabarito é 3. eu tbm tinha achado 1... mas errei. hmm ... - Original Message - From: Fabio Henrique [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 11:00 AM Subject: Re: [obm-l] Problema de quadrado perfeito Seja x = k^2 e x+99 = p^2 Desta forma, k^2 +99 = p^2 p^2 - k^2 = 9 x 11 (p-k)(p+k)= 9 x 11 Assim, p=10 e k=1 ou p=-10 e k=-1 Logo, x=1. Em 28 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1 ) Quantos inteiros positivos x são tais que tanto x quanto x+ 99 são quadrados perfeitos? Eu nao entendi bem o enunciado.. quem puder da uma explicada ae eu agradeço! Um abraço!!! -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 27/02/2004 / Versão: 1.4.1 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=fabiocontreiras_l=1077977988.52812.13512.turvo.terra.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Diedros e Triedros
Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas. |B - C| A B + C Seja um triedro v(a,b,c). Vamos supor que ac é a maior face(ou ângulo de face) de V. Construa em ac um ângulo b'c congruente a bc. Tome um ponto B'em b' de forma que o segmento VB seja congruente ao segmento VB'. Considere uma seção ABC (A em VA). Os triângulos BVB e B'VC são congruentes. Conclui-se que BC congr. a B'C. No triângulo ABC, temos ACAB+BC = AB'+B'CAB+BC = AB'AB. Considere os triângulos B'VA e BVA. Então, ab' ab. ab' ab b'c = bc então ab' + b'c ab + bc. Grande abraço. Fabio Henrique. Em 27 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa noite aos colegas da lista. Há pouco tempo, estava eu estudando diedros, triedros, poliedros e ângulos poliédricos. O livro que estava lendo afirmava verdadeiras algumas desigualdades, mas não as demonstrava. Assim, fiquei sem saber se realmente elas são intuitivamente verificadas somente ou se existe uma demonstração formal, que ainda não encontrei. Sejam A, B e C faces e d_1, d_2 e d_3 diedros (ângulos entre faces), as afirmações são: A soma das medidas (em graus) das faces de um triedro qualquer é menor que 360º. 0º A + B + C 360º Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas. |B - C| A B + C A soma dos diedros de um triedro está compreendida entre 2 retos e 6 retos. 180º d_1 + d_2 + d_3 540º Em qualquer triedro, a medida (em graus) de um diedro aumentada de 180º supera a soma das medidas dos outros dois. d_1 + 180º d_2 + d_3 Fica o meu agradecimento desde já a quem puder demonstrar, comentar ou quaisquer referências que possam ser consultadas sobre o assunto. Abraços, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
Re: [obm-l] Diedros e Triedros
A soma das medidas (em graus) das faces de um triedro qualquer é menor que 360º. 0º A + B + C 360º Considere a semi-reta Va oposta a Va. No triedro V(a,b,c) temos bc ba+ ca. Observe que ab + ba = 180 e ac + ca = 180 Então, ab + ba + ac + ca = 360 Como bc ba+ ca, ta provado. Outro abraço. Fabio Henrique. Em 27 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa noite aos colegas da lista. Há pouco tempo, estava eu estudando diedros, triedros, poliedros e ângulos poliédricos. O livro que estava lendo afirmava verdadeiras algumas desigualdades, mas não as demonstrava. Assim, fiquei sem saber se realmente elas são intuitivamente verificadas somente ou se existe uma demonstração formal, que ainda não encontrei. Sejam A, B e C faces e d_1, d_2 e d_3 diedros (ângulos entre faces), as afirmações são: A soma das medidas (em graus) das faces de um triedro qualquer é menor que 360º. 0º A + B + C 360º Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas. |B - C| A B + C A soma dos diedros de um triedro está compreendida entre 2 retos e 6 retos. 180º d_1 + d_2 + d_3 540º Em qualquer triedro, a medida (em graus) de um diedro aumentada de 180º supera a soma das medidas dos outros dois. d_1 + 180º d_2 + d_3 Fica o meu agradecimento desde já a quem puder demonstrar, comentar ou quaisquer referências que possam ser consultadas sobre o assunto. Abraços, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
[obm-l] duvida sobre matrizes para o nicolau e outros
Caros amigos, Sou nova na lista e já com a minha primeira duvida para o Nicolau e os demais colegas. Vamos lá: Como provarsem usar o conceito de matriz inversa e nemdeterminante, mas somente multiplicação de matrizes e suas propriedades, a propriedade abaixo: Se A e B são matrizes de quadradas reais de mesma ordem e AB= I (matriz Identidade), então BA = I . Com a Demosntração acima, podemos definir a inversão de uma matriz quadrada A como : Dizemos queuma matriz quadradaA é inversivel se, e somente se, existe uma matriz quadrada B tal que AB = I. Existindo a matriz B, neste caso, B é a inversa de A . e indica-se por B = A ^(-1). Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Ops! Problema de quadrado perfeito
Claro! Eu dei uma mongolizada incrível! Veja só. Quando quebrei o 99, o fiz de uma só maneira: 9 x 11. No entanto, isto pode ser feito de TRÊS modos: 9x11, 3x33 e o trivial 1x99. A primeira nós já fizemos. Vamos aos outros: 2º) p+k=33 e p-k=3 = p=18 e k=15 (O valor de x é 225) 3º) p+k=99 e p-k=1 = p=50 e k=49 (O valor de x é 2401). Desculpe-me o equívoco. Em 28 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Opa... tipo, entendi mais ou menos seu raciocinio.. mas o gabarito é 3. eu tbm tinha achado 1... mas errei. hmm ... - Original Message - From: Fabio Henrique To: Sent: Saturday, February 28, 2004 11:00 AM Subject: Re: [obm-l] Problema de quadrado perfeito Seja x = k^2 e x+99 = p^2 Desta forma, k^2 +99 = p^2 p^2 - k^2 = 9 x 11 (p-k)(p+k)= 9 x 11 Assim, p=10 e k=1 ou p=-10 e k=-1 Logo, x=1. Em 28 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1 ) Quantos inteiros positivos x são tais que tanto x quanto x+ 99 são quadrados perfeitos? Eu nao entendi bem o enunciado.. quem puder da uma explicada ae eu agradeço! Um abraço!!! -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 27/02/2004 / Versão: 1.4.1 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=fabiocontreiras_l=1077977988.52812.13512.turvo.terra.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
On Fri, Feb 27, 2004 at 08:27:21PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou
(x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo
menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes
simples a matriz A é necessariamente diagonalizável.
Qual a implicação do módulo ser menor que 1?
Se um número complexo z tem módulo menor do que 1
então lim_{n - +infinito} z^n = 0.
E o que você chama de raízes simples?
Raiz simples do polinômio, que não é dupla. Por exemplo, 1 é raiz simples
de p(x) = 3x^3 - x^2 - x - 1 pois p é múltiplo de (x-1) mas não é múltiplo
de (x-1)^2. Ou, equivalentemente, p(1) = 0 mas p'(1) é diferente de zero.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
Ah, certo, obrigado pela luz aí.
Não ouvia o termo raiz simples há algum tempo...
Henrique.
- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, February 28, 2004 2:24 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais
simples?
On Fri, Feb 27, 2004 at 08:27:21PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna
Branco wrote:
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou
(x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo
menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes
simples a matriz A é necessariamente diagonalizável.
Qual a implicação do módulo ser menor que 1?
Se um número complexo z tem módulo menor do que 1
então lim_{n - +infinito} z^n = 0.
E o que você chama de raízes simples?
Raiz simples do polinômio, que não é dupla. Por exemplo, 1 é raiz simples
de p(x) = 3x^3 - x^2 - x - 1 pois p é múltiplo de (x-1) mas não é múltiplo
de (x-1)^2. Ou, equivalentemente, p(1) = 0 mas p'(1) é diferente de zero.
[]s, N.
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[obm-l] um problema de contagem
Olá pessoal, estou tentando resolver um problema de contagem e dentro deste problema me surgiu esse problema que vou postar aqui. Agradeço antecipadamente qualquer ajuda. Considere n pontos no plano nunca 3 em linha reta. Esses pontos determinam uma região poligonal. Qual é o numero de interseções das retas determinadas por esses pontos FORA da região poligonal. Não precisa pensar muito pra perceber que esse problema surgiu do problema Contar o numero de intersecoes das diagonais em poligono NÃO regular Eu já consegui achar quantas são as interseçoes de dentro e de fora [n(n-1)(n-2)(n-3)/8] preciso tirar desse numero as interseções que ocorrem fora para chegar na resposta desejada. obs: Talvez existam outras formas de resolver o problema, mas no caso estou particularmente interessado em saber como contar as interseções do lado de fora da região poligonal. Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida sobre matrizes para o nicolau e outros
On Sat, Feb 28, 2004 at 11:47:25AM -0300, Regina Helena Alonso wrote: Vamos lá: Como provar sem usar o conceito de matriz inversa e nem determinante, mas somente multiplicação de matrizes e suas propriedades, a propriedade abaixo: Se A e B são matrizes de quadradas reais de mesma ordem e AB = I (matriz Identidade), então BA = I . Não tenho certeza se é possível fazer o que você quer. Esta propriedade depende dos espaços vetoriais envolvidos terem dimensão finita: se V é um espaço vetorial de dimensão infinita então não é difícil encontrar transformações lineares A e B de V em V com AB = I mas BA diferente de I. Se V = R^infinito, o espaço vetorial das seqüências infinitas de reais, podemos tomar A(x0, x1, x2, x3, ... ) = (x1, x2, x3, x4, ... ) B(x0, x1, x2, x3, ... ) = (0, x0, x1, x2, ... ) então AB(x0, x1, x2, x3, ... ) = (x0, x1, x2, x3, ... ) BA(x0, x1, x2, x3, ... ) = (0, x1, x2, x3, ...) Um exemplo relacionado é se tomarmos V = R[x], o espaço dos polinômios com coeficientes reais na variável x, A(p) = (p - p(0))/x, B(p) = xp. Assim de alguma maneira a hipótese de que a dimensão é finita precisa aparecer: isto pode envolver o conceito de dimensão, de posto ou pode envolver o determinante como você sugeriu. Vamos tentar demonstrar que BA = I e ver exatamente o que precisamos. Escreva BA = X. Temos A(X-I) = A(BA) - A = (AB)A - A = A - A = 0. Analogamente (X-I)B = B. Assim se X não for igual a I, deduzimos que existem vetores não nulos v e w tais que Av = 0 e w^t B = 0. Por outro lado, como AB = I temos A(Bu) = u para todo u: assim A é sobrejetora mas não é injetora e B é injetora mas não é sobrejetora (como transformações lineares). Podemos considerar V0 = R^n, V1 a imagem de B, ..., Vk a imagem de B^k, Já vimos que B é uma bijeção entre V0 e V1 e que V1 é um subespaço próprio de V0: V2, a imagem de V1 por B, deve estar propriamente contido em V1. Assim temos uma seqüência infinita de subespaços encaixados uns nos outros. Bem, acho que vou parar aqui, não vou escrever um livro inteiro de álgebra linear. O que eu fiz talvez convença você que esta conversa pede pelo conceito de dimensão ou posto. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] um problema de contagem
On Sat, Feb 28, 2004 at 02:53:50PM -0300, niski wrote: Considere n pontos no plano nunca 3 em linha reta. Esses pontos determinam uma região poligonal. Qual é o numero de interseções das retas determinadas por esses pontos FORA da região poligonal. Não precisa pensar muito pra perceber que esse problema surgiu do problema Contar o numero de intersecoes das diagonais em poligono NÃO regular Eu já consegui achar quantas são as interseçoes de dentro e de fora [n(n-1)(n-2)(n-3)/8] preciso tirar desse numero as interseções que ocorrem fora para chegar na resposta desejada. obs: Talvez existam outras formas de resolver o problema, mas no caso estou particularmente interessado em saber como contar as interseções do lado de fora da região poligonal. Se eu bem entendi você quer que os n pontos sejam os vértices de um polígono convexo. Acho que você também quer supor que dois pares de pontos nunca determinam retas paralelas. Se for isso, observe que dados 4 dos n pontos (digamos A, B, C, D, no sentido antihorário), existe sempre uma interseção dentro (AC x BD, a interseção entre as retas AC e BD) e duas fora (AB x CD, AD x BC). Junte esta observação com a sua e você resolve os dois problemas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] um problema de contagem
Nicolau C. Saldanha wrote: On Sat, Feb 28, 2004 at 02:53:50PM -0300, niski wrote: Considere n pontos no plano nunca 3 em linha reta. Esses pontos determinam uma região poligonal. Qual é o numero de interseções das retas determinadas por esses pontos FORA da região poligonal. SNIP Se eu bem entendi você quer que os n pontos sejam os vértices de um polígono convexo. Acho que você também quer supor que dois pares de pontos nunca determinam retas paralelas. Se for isso, observe que dados 4 dos n pontos (digamos A, B, C, D, no sentido antihorário), existe sempre uma interseção dentro (AC x BD, a interseção entre as retas AC e BD) e duas fora (AB x CD, AD x BC). Junte esta observação com a sua e você resolve os dois problemas. Vou pensar na sua observação, mas não entendi sobre a condição imposta a respeito do paralelismo dos lados do poligono. A unica restrição que o enunciado do problema faz é que o poligono não seja regular e é possivel que essa condicão seja satisfeita mesmo em um poligono com dois lados não parelelos certo? um trapézio isósceles por exemplo. Ou voce quer dizer que podemos considerar sem perda de generalidade o poligono com nenhum lado paralelo? -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Interessante
Acho que quando é expoente par termina com 76 certo? - Original Message - From: Jefferson Franca To: obm Sent: Saturday, February 28, 2004 3:55 PM Subject: [obm-l] Interessante Ontem um amigo mostrou que uma potência de base 24 e expoente ímpar e natural sempre dá como resultado um número que termina em 24! Pq? Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 27/02/2004 / Versão: 1.4.1Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente.Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=fabiocontreiras_l=1077995594.173729.28919.conventos.terra.com.br
Re: [obm-l] Interessante
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] said: Ontem um amigo mostrou que uma potência de base 24 e expoente ímpar e natural sempre dá como resultado um número que termina em 24! Pq? [...] (mod 100), 24^(2*n+1) = 24 * (24^2)^n = 24 * 76^n. Como 76^2 = 76 (mod 100), não é difícil ver que 76^n = 76. Logo 24^(2*n+1) = 24 * 76 = 24. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQO6+alOQFrvzGQoRAkGHAKCOQNXNPu7Ns0V91jhJUMRdqnR9BACeL/1U t+9qwJTmHuYiZLn2ucEuJc8= =GnNp -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] dúvida
olá amigos estou com uma dúvida na questão abaixo;? Dispomos de 10 livros diferentes e queremosorganizar grupos de três livros. O número de gruposdiferentes que podemos formar é igual a: essa questão é de combinação ou arranjo? quando eu sei que é arranjo ou combinação?
Re: [obm-l] dúvida
C(10,3) = 10! / 3!*7! = 120 grupos diferentes de tres livros cada Usar-se-a combinacao quando a ordem nao importar e usar-se-a arranjo quando a ordem importar. Eu supus que a ordem nesse caso nao importasse. Ex: Sendo 10 livros (L1, L2, L3,...,L10). O terno (L1,L2,L3) eh igual ao terno (L2,L3,L1), pois a ordem nao importa neste caso, mas apenas quais elementos fazem parte do conjunto. Se usasse arranjo daria muito mais ternos diferentes. Em uma mensagem de 28/2/2004 17:06:59 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: olá amigos estou com uma dúvida na questão abaixo;? Dispomos de 10 livros diferentes e queremosorganizar grupos de três livros. O número de gruposdiferentes que podemos formar é igual a: essa questão é de combinação ou arranjo? quando eu sei que é arranjo ou combinação?
Re: [obm-l] um problema de contagem
On Sat, Feb 28, 2004 at 03:38:48PM -0300, niski wrote: Vou pensar na sua observação, mas não entendi sobre a condição imposta a respeito do paralelismo dos lados do poligono. A unica restrição que o enunciado do problema faz é que o poligono não seja regular e é possivel que essa condicão seja satisfeita mesmo em um poligono com dois lados não parelelos certo? um trapézio isósceles por exemplo. Ou voce quer dizer que podemos considerar sem perda de generalidade o poligono com nenhum lado paralelo? Se você considerar um retângulo, temos um ponto dentro e nenhum fora. Para um trapézio, temos um ponto dentro e um fora. Para um quadrilátero genérico, temos um dentro e dois fora. Eu acho que você deve estar interessado no caso genérico. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida
On Sat, Feb 28, 2004 at 05:09:25PM -0300, Tarcio Santiago wrote: olá amigos estou com uma dúvida na questão abaixo;? Dispomos de 10 livros diferentes e queremosorganizar grupos de três livros. O número de gruposdiferentes que podemos formar é igual a: essa questão é de combinação ou arranjo? quando eu sei que é arranjo ou combinação? A minha sugestão pessoal é esquecer as palavras arranjo e combinação. Enquanto você não entender o problema, elas não ajudam. No seu exemplo, eu sugeriria pensar assim. Primeiro escolha um livro: 10 possibilidades. Escolha um segundo: 9 possibilidades. Escolha um terceiro: 8 possibilidades. Até agora temos 10*9*8 = 720 possibilidades. Observe agora que os 3 livros selecionados estão ordenados: escolhi primeiro A, depois B, depois C. Você deseja contar ABC como algo diferente de CAB? Se desejar contar como coisas diferentes, não precisa fazer nada, o problema acabou e a resposta é 10*9*8 = 720. Mas se você desejar contar como a mesma coisa, precisa dividir por 6, pois cada conjunto de 3 livros foi contado 6 vezes (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) e a resposta fica sendo 10*9*8/6 = 120. Só depois que isto que eu escrevi estiver bem óbvio vale a pena aprender que 10*9*8/6 = binomial(10,3). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida
Tarcio, Quando a ordem dos elementos envolvidos fizer diferença para a escolha, teremos arranjos; em caso contrário, se a ordem for indiferente, serão combinações. Vale ressaltar também que todo arranjo pode ser entendido como resultado das permutações de uma dada combinação: P(n,k) = C(n,k)*P(k,k), sendo P(n,k) os arranjos (em inglês, seriam denominados permutações, haja vista que as chamadas permutações, para nós, são somente um caso particular de arranjos) e C(n,k) as combinações de n elementos tomados k a k, cuja fórmula é a mesma dos números binomiais. Para o seu problema, se você tem 10 livros diferentes e quer formar grupos de três livros, não interessa se você escolhe primeiro o de capa marrom, depois o de casa azul e por último o de capa vermelha, ou o de capa azul primeiro, depois o de capa vermelha e por último o de capa marrom, ou qualquer outra ordem que você queira. A ordem não importa para este caso, pois o grupo de livros formado será o mesmo, contendo os mesmos livros. Se, por exemplo, você estivesse classificando esses livros numa estante, e quisesse colocá-los por assunto, é claro que alguma espécie de ordem haveria, e aí teríamos arranjos, que, aliás, advêm do Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo, como alguns preferem). Assim, como a ordem não importa, o número de grupos diferentes que podemos formar será C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120. Observe também que se fossem 10 livros, mas entre eles houvesse algum repetido, teríamos outro resultado: *C(10,3) = C(12,3) = 12!/(3!9!) = 220. E esses 220 - 120 = 100 grupos a mais seriam os grupos formados levando-se em conta 1 ou 2 ou 3 ou ... ou 10 livros repetidos. (Indiquei por *C(n,k) = C(n+k-1,k) as combinações completas, i.e., com repetição de elementos, de n elementos tomados k a k.) Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Tarcio Santiago To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 5:09 PM Subject: [obm-l] dúvida olá amigos estou com uma dúvida na questão abaixo;? Dispomos de 10 livros diferentes e queremosorganizar grupos de três livros. O número de gruposdiferentes que podemos formar é igual a: essa questão é de combinação ou arranjo? quando eu sei que é arranjo ou combinação? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Interessante
Vc tentou com expoente ímpar? Tá certo com expoente par, ou seja, o final é 76, porém, com expoente ímpar o final é sempre 24!Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que quando é expoente par termina com 76 certo? - Original Message - From: Jefferson Franca To: obm Sent: Saturday, February 28, 2004 3:55 PM Subject: [obm-l] Interessante Ontem um amigo mostrou que uma potência de base 24 e expoente ímpar e natural sempre dá como resultado um número que termina em 24! Pq? Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 27/02/2004 / Versão: 1.4.1Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente.Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=fabiocontreiras_l=1077995594.173729.28919.conventos.terra.com.br Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Interessante
Desculpe , mas 24^2 é igual a 76? e se n for ímpar 76^n = 76 continua valendo?Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-Hash: SHA1Jefferson Franca <[EMAIL PROTECTED]>said: Ontem um amigo mostrou que uma potência de base 24 e expoente ímpar e natural sempre dá como resultado um número que termina em 24! Pq? [...](mod 100), 24^(2*n+1) = 24 * (24^2)^n = 24 * 76^n. Como 76^2 = 76 (mod 100), não é difícil ver que 76^n = 76. Logo 24^(2*n+1) = 24 * 76 = 24.[]s,- -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira-BEGIN PGP SIGNATURE-Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)iD8DBQFAQO6+alOQFrvzGQoRAkGHAKCOQNXNPu7Ns0V91jhJUMRdqnR9BACeL/1Ut+9qwJTmHuYiZLn2ucEuJc8==GnNp-END PGP SIGNATURE-=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] dúvidazinha
Aos amigos, Possiveis solues, verifiquem sempre a soluo: 1) Esta questo do ITA - 1975 , Sendo g inversa de f, ento existe um e somente um real a, tal que f(a) = 7/25 = g(7/25) = a Nestas condies: e ^ g(7/25) = e ^ a Por outro lado, fazendo t = e ^ a tem-se de f(a) = 7/25 que : (t - 1/ t) / ( t + 1 / t ) = 7 / 25, ou ainda , (t^2 - 1) /( t^2 + 1) = 7 / 25 Observando que t = e ^ a 0 , obtm-se da ultima igualdade que t = 4/3 . Portanto, e ^ g(7/25) = e ^ a = t = 4 / 3 resposta: A 2) Sendo a e b angulos internos de um tringulo retngulo, tem-se tg(a) . tg(b) = 1, tg(a) 0 e tg(b) 0 Assim, das propriedades dos logaritmos, resulta S = log2(tga) + log2(tgb) = log2(tga.tgb) = log2(1) = 0 Resposta: O 1) Esta questo do ITA - 1975 , Sendo g inversa de f, ento existe um e somente um real a, tal que f(a) = 7/25 = g(7/25) = a Nestas condies: e ^ g(7/25) = e ^ a Por outro lado, fazendo t = e ^ a tem-se de f(a) = 7/25 que : (t - 1/ t) / ( t + 1 / t ) = 7 / 25, ou ainda , (t^2 - 1) /( t^2 + 1) = 7 / 25 Observando que t = e ^ a 0 , obtm-se da ultima igualdade que t = 4/3 . Portanto, e ^ g(7/25) = e ^ a = t = 4 / 3 resposta: A de seu amigo PONCE Tarcio Santiago escreveu: ol amigos: poderiam ajudar neste problema. seja f(x)= (e^x - e^-x) /(e^x+ e^-x)definida em R. se g fora funo inversa de f, o valor de e^g(7/25)ser: a)4/3 b)7e/25 c)log(base "e") elevado a (25/7) d)e^(7/25) e)NDA 2) Calcule o valor da expresso S = log2(tga) + log2(tgb) , sabendo que a e b, so ngulos agudos internos de um tringulo retngulo.
[obm-l] Números inteiros e probabilidade
Boa noite, pessoal. Por esses dias, deparei-me com o seguinte problema: Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a probabilidade de que não haja fator comum que os divida é...? Não imagino como isso poderia ser calculado. Alguém tem alguma idéia? Obrigado, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Interessante
24^2 (mod 100) = 76 e 76^n ( mod 100 ) = 76 pra qualquer interio positivo n From: Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Interessante Date: Sat, 28 Feb 2004 18:34:28 -0300 (ART) Desculpe , mas 24^2 é igual a 76? e se n for ímpar 76^n = 76 continua valendo? Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote:-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Jefferson Franca said: Ontem um amigo mostrou que uma potência de base 24 e expoente ímpar e natural sempre dá como resultado um número que termina em 24! Pq? [...] (mod 100), 24^(2*n+1) = 24 * (24^2)^n = 24 * 76^n. Como 76^2 = 76 (mod 100), não é difícil ver que 76^n = 76. Logo 24^(2*n+1) = 24 * 76 = 24. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQO6+alOQFrvzGQoRAkGHAKCOQNXNPu7Ns0V91jhJUMRdqnR9BACeL/1U t+9qwJTmHuYiZLn2ucEuJc8= =GnNp -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! _ Stay informed on Election 2004 and the race to Super Tuesday. http://special.msn.com/msn/election2004.armx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Interessante
Uma duvida que nao tem a ver com o problema, mas com o conceito de congruencias. Quanto a definicao: a=b (mod c) se e somente se c divide a-b, certo ? Entao 76^2 = 76 (mod 500), tambem estaria certo ? Ps: Estou falando da expressao e nao da substituicao desta expressao por 76^2 = 76 (mod 100), pois, no caso do problema, somente esta ultima eh verdadeira, visto que o 24, esta na base 10. Mas se ele tivesse na base 5 o correto seria 76^2 = 76 (mod 500) Em uma mensagem de 28/2/2004 18:59:57 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 24^2 (mod 100) = 76 e 76^n ( mod 100 ) = 76 pra qualquer interio positivo n From: Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Interessante Date: Sat, 28 Feb 2004 18:34:28 -0300 (ART) Desculpe , mas 24^2 é igual a 76? e se n for ímpar 76^n = 76 continua valendo? Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote:-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Jefferson Franca said: Ontem um amigo mostrou que uma potência de base 24 e expoente ímpar e natural sempre dá como resultado um número que termina em 24! Pq? [...] (mod 100), 24^(2*n+1) = 24 * (24^2)^n = 24 * 76^n. Como 76^2 = 76 (mod 100), não é difícil ver que 76^n = 76. Logo 24^(2*n+1) = 24 * 76 = 24.
Re: [obm-l] Interessante
Ops ! Cometi um erro de digitacao, na verdade eu quis dizer 24^2 = 76 (mod 100). Considere esta expressao ao inves de 76^2 = 76 (mod 500) Em uma mensagem de 28/2/2004 19:48:07 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Rafael, Não sei se entendi bem o que você quis dizer. Mas 76^2 = 76 (mod 500) é falso. Você pode comprovar isso aplicando a definição: (5776 - 76) / 500 = 5700 / 500 = 57 / 5, que não é inteiro. Outra coisa completamente diferente é considerar 24 [base 10] na base 5: 24 / 5 = 4 (resto 4), assim 24 [base 10] = 44 [base 5], pois 4*5^1 + 4*5^0 = 20 + 4 = 24 Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 7:19 PM Subject: Re: [obm-l] Interessante Uma duvida que nao tem a ver com o problema, mas com o conceito de congruencias. Quanto a definicao: a=b (mod c) se e somente se c divide a-b, certo ? Entao 76^2 = 76 (mod 500), tambem estaria certo ? Ps: Estou falando da expressao e nao da substituicao desta expressao por 76^2 = 76 (mod 100), pois, no caso do problema, somente esta ultima eh verdadeira, visto que o 24, esta na base 10. Mas se ele tivesse na base 5 o correto seria 76^2 = 76 (mod 500)
Re: [obm-l] Interessante
Agora, sim, Rafael. (576 - 76) / 100 = 500 / 100 = 5, que é inteiro. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 7:54 PM Subject: Re: [obm-l] Interessante Ops ! Cometi um erro de digitacao, na verdade eu quis dizer 24^2 = 76 (mod 100). Considere esta expressao ao inves de 76^2 = 76 (mod 500) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida
AMIGO RAFAEL OBRIGADO POR SUA AJUDA. A RESPOSTA É 720, MAS EU ACHAVA QUE O CERTO ERA 120, POIS O LIVRO O TRIO DE LIVROS A,Be C é igual a B,CeA . estou errado? a questão dar 120 ou 720 ? estou encucado!!? - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 5:45 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida Tarcio, Quando a ordem dos elementos envolvidos fizer diferença para a escolha, teremos arranjos; em caso contrário, se a ordem for indiferente, serão combinações. Vale ressaltar também que todo arranjo pode ser entendido como resultado das permutações de uma dada combinação: P(n,k) = C(n,k)*P(k,k), sendo P(n,k) os arranjos (em inglês, seriam denominados permutações, haja vista que as chamadas permutações, para nós, são somente um caso particular de arranjos) e C(n,k) as combinações de n elementos tomados k a k, cuja fórmula é a mesma dos números binomiais. Para o seu problema, se você tem 10 livros diferentes e quer formar grupos de três livros, não interessa se você escolhe primeiro o de capa marrom, depois o de casa azul e por último o de capa vermelha, ou o de capa azul primeiro, depois o de capa vermelha e por último o de capa marrom, ou qualquer outra ordem que você queira. A ordem não importa para este caso, pois o grupo de livros formado será o mesmo, contendo os mesmos livros. Se, por exemplo, você estivesse classificando esses livros numa estante, e quisesse colocá-los por assunto, é claro que alguma espécie de ordem haveria, e aí teríamos arranjos, que, aliás, advêm do Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo, como alguns preferem). Assim, como a ordem não importa, o número de grupos diferentes que podemos formar será C(10,3) = 10!/(3!7!) = 120. Observe também que se fossem 10 livros, mas entre eles houvesse algum repetido, teríamos outro resultado: *C(10,3) = C(12,3) = 12!/(3!9!) = 220. E esses 220 - 120 = 100 grupos a mais seriam os grupos formados levando-se em conta 1 ou 2 ou 3 ou ... ou 10 livros repetidos. (Indiquei por *C(n,k) = C(n+k-1,k) as combinações completas, i.e., com repetição de elementos, de n elementos tomados k a k.) Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Tarcio Santiago To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 5:09 PM Subject: [obm-l] dúvida olá amigos estou com uma dúvida na questão abaixo;? Dispomos de 10 livros diferentes e queremosorganizar grupos de três livros. O número de gruposdiferentes que podemos formar é igual a: essa questão é de combinação ou arranjo? quando eu sei que é arranjo ou combinação? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
seguindo a sugesto do Igor, voc encontrar 3 valores para k , que so 7,8 e 13 Verifique PONCE Igor Castro escreveu: Bem, fazendo uma analise rpida, a equao ter razes racionais se raiz de deltaforracional Delta = k^2 - 4.4.3 = x^2 - (k+x)(k-x)= 4.4.3 = 48 Bem, daih, pra cada A.B=48 que vc tiver.. vc tem um valor de k(note que assim x e k sempre sero racionais, soh resolver o sistema).. como o prb pede Quantos valores servem... melhor vc deve olhar pro nmeros de divisores de 48(tem uma formulado mto conhecida pra isso)ao invs de tentar achar todos e depois contar.. espero que d certo essa contagem.. Espero que tenha ajudado um pouco... Igor de Castro- www.cnaval.cjb.net - Original Message - From: Victor Machado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12PM Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval2003 - Equacoes do segundo grau Ol amigos da Lista, queria lhes agradecer pelasresolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equao do 2grau na incgnita x : 4x^2 + Kx + 3 =0. Quantos so os valores inteiros possveis do parmetroK, tais que essa equao s admita razes racionais? Falaram-me que o exercicio sairia facil peloteoremas das raizes racionais, mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiampor a resolucao junto com uma pequena teoria sobre esse teorema ? Agradeco desde ja Victor
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida
Tarcio, O enunciado não dá margem a interpretar que se tratem de grupos formados para os quais a ordem de escolha importa. (Dispomos de 10 livros diferentes e queremos organizar grupos de três livros. O número de grupos diferentes que podemos formar é igual a...?, observe que os grupos não foram definidos, não se sabe se são grupos de livros que possuem a mesma capa, que fazem parte de uma mesma coleção, absolutamente nada. Só se sabe que são livros diferentes e que os grupos possuem três deles.) O Nicolau, aliás, deu um exemplo bastante consistente sobre isso. Mas não é a primeira vez que vejo enunciados interpretados de forma incorreta por quem resolveu. Certa vez, aconteceu comigo quando estava estudando permutações caóticas, o que realmente foi um caos, pois era um dos primeiros exercícios que eu resolvia. A única sugestão é procurar bons livros para começar, a coleção do Iezzi possui um livro excelente de Combinatória (volume 5), e depois que você tiver os conceitos bem claros já saberá quando algo é incoerente. Aproveitando a oportunidade, alguns dias atrás, você enviou novamente aquele problema de capital que decuplicou, e nenhuma das alternativas está correta para o enunciado dado. Por curiosidade, calculei aplicando juros simples e juros compostos, comparando com a alternativa correta que você havia dito (12/7% a.m.). Veja: Seja C o capital envolvido, a juros simples, teremos: 10C = C(1+i*7*12) == i = 0,10714285714... A juros compostos, teremos: 10C = C(1+i)^(7*12) == i = 0,02779088522... Porém, 12/7% = 0,01714285714... E, ainda assim, há uma diferença de 1% (aprox.) entre a resposta dada como correta e a taxa de juros, considerando que fossem compostos, e não simples como dito no enunciado. Viu só? Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Tarcio Santiago [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:16 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida AMIGO RAFAEL OBRIGADO POR SUA AJUDA. A RESPOSTA É 720, MAS EU ACHAVA QUE O CERTO ERA 120, POIS O LIVRO O TRIO DE LIVROS A,Be C é igual a B,CeA . estou errado? a questão dar 120 ou 720 ? estou encucado!!? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RESSACA NEURÓBICA!
on 24.02.04 21:28, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Tue, Feb 24, 2004 at 09:01:41PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: 17 matemáticos de todo o mundo trocam correspondência sobre 3 temas. Cada dupla de matemáticos se corresponde sobre um e apenas um tema. Mostre que existem pelo menos 3 matemáticos que se correspondem sobre o mesmo tema. Este é um clássico. Eu sugiro que você comece com o caso mais fácil: 6 matemáticos de todo o mundo trocam correspondência sobre 2 temas. Cada dupla de matemáticos se corresponde sobre um e apenas um tema. Mostre que existem pelo menos 3 matemáticos que se correspondem sobre o mesmo tema. O problema que você propôs é parecido só que maior, se você entende o que eu quero dizer. []s, N. Fixe um matematico (digamos A). Dentre os 16 restantes, existem 6 (chamemo-los de B1, B2, B3, B4, B5 e B6) que se correspondem com A sobre um mesmo tema (digamos, tema 1), igual para os 6 (isso eh facil de ver - aplicacao elementar das casas de pombos). Se existirem i e j (1 = i j = 6) tais que Bi e Bj se correspondem sobre o tema 1, entao acabou: A, Bi e Bj serao tres matematicos que se correspondem sobre um mesmo tema. Caso contrario, use o resultado que o Nicolau mencionou sobre 6 matematicos (os Bi's) e 2 temas (temas 2 e 3) e conclua que existem i, j e k (1 = i j k = 6) tais que Bi, Bj e Bk se correspondem sobre um mesmo tema. *** Mais dificil eh mostrar que com apenas 16 matematicos, isso (3 matematicos se correspondendo sobre um mesmo tema) pode nao ocorrer. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Luiz, Na verdade, há 6 valores para k: -13, -8, -7, 7, 8, 13. Você desconsiderou os inteiros negativos, e não havia essa restrição no enunciado. O exercício resolvido pode ser lido em: http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18716.html Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Luiz Ponce To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:27 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau seguindo a sugestão do Igor, você encontrará 3 valores para k , que são 7,8 e 13 Verifique PONCE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
on 24.02.04 19:38, benedito at [EMAIL PROTECTED] wrote: PROBLEMA 24 Considere um tabuleiro 10 × 10. Um movimento no tabuleiro se faz avançando 7 quadros para a direita e 3 quadros para baixo. No caso de se sair por uma linha se continua pelo começo (à esquerda) da mesma linha e no caso de acabar uma coluna se continua pelo começo da mesma coluna (acima). Onde se deve começar para que depois de 2004 movimentos terminemos num vértice? Benedito Oi, Benedito: Pelo que eu entendi, acho que eh isso aqui: Facamos a casa situada na linha i e coluna j corresponder ao par (i-1,j-1) onde (1 = i,j = 10). Assim, a casa superior esquerda (linha 1, coluna 1) serah (0,0) e a inferior direita (linha 10, coluna 10) serah (9,9). Suponhamos que a peca comeca na casa (x,y). Entao, apos 2004 movimentos, ela estarah na casa (u,v) onde: 0 = u,v = 9; u == x + 3*2004 (mod 10) == x == u + 8 (mod 10) v == y + 7*2004 (mod 10) == y == v + 2 (mod 10). Assim, (u,v) = (0,0) == (x,y) = (8,2) == linha 9, coluna 3 (u,v) = (9,0) == (x,y) = (7,2) == linha 8, coluna 3 (u,v) = (0,9) == (x,y) = (8,1) == linha 9, coluna 2 (u,v) = (9,9) == (x,y) = (7,1) == linha 8, coluna 2 Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
BOM ESTA QUESTÃO É DA UFRJ DO CONCURSO QUE TEVE E ESTÁ BENDITA QUESTÃO NÃO FOI ANULADA!! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:54 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Luiz, Na verdade, há 6 valores para k: -13, -8, -7, 7, 8, 13. Você desconsiderou os inteiros negativos, e não havia essa restrição no enunciado. O exercício resolvido pode ser lido em: http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18716.html Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Luiz Ponce To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:27 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau seguindo a sugestão do Igor, você encontrará 3 valores para k , que são 7,8 e 13 Verifique PONCE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Tarcio, A questão não é das melhores, mas não creio que anulá-la fosse justo, afinal de contas ela não possui qualquer erro que impossibilite sua resolução. - Original Message - From: Tarcio Santiago [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 9:26 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau BOM ESTA QUESTÃO É DA UFRJ DO CONCURSO QUE TEVE E ESTÁ BENDITA QUESTÃO NÃO FOI ANULADA!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Legal
Title: Re: [obm-l] Problema Legal
on 24.02.04 15:53, benedito at [EMAIL PROTECTED] wrote:
PROBLEMA
Antônio desenhou, em duas folhas de papel, dois tabuleiros quadriculados com 2004 linhas e 2004 colunas (um em cada folha e os dois tabuleiros de mesmas dimensões). Em seguida, pintou de azul alguns dos quadrados unitários de um dos tabuleiros e os restantes de amarelo, fazendo o mesmo no outro tabuleiro, tendo o cuidado de pintar de azul tantos quadrados unitários do primeiro tabuleiro quantos os que tinha pintado no outro tabuleiro. Enquanto a tinta ainda estava fresca, sobrepôs os dois tabuleiros de modo que as cores se misturassem.
Mostre que o número de quadrados verdes que Antônio obteve no final é par.
A cada quadrado unitario facamos corresponder o par (x,y), onde x eh cor do quadrado no tabuleiro 1 e y a cor do quadrado no tabuleiro 2. Neste caso, precisamos provar que o numero de pares (x,y) com x y eh par (x,y pertencem a {0,1}, onde 0 = azul e 1 = amarelo)
Suponhamos que, apos a sobreposicao, ficamos com:
r quadrados (0,0),
s quadrados (1,1),
u quadrados (1,0) e
v quadrados (0,1).
(r, s, u, v: inteiros nao-negativos tais que r + s + u + v = 2004^2).
numero de quadrados verdes =
numero de pares ordenados com coordenadas distintas =
u + v.
O enunciado tambem diz que o numero de quadrados azuis nos dois tabuleiros eh o mesmo. Assim:
numero de quadrados azuis no tabuleiro 1 =
numero de pares ordenados com primeira coordenada igual a 0 =
r + v.
numero de quadrados azuis no tabuleiro 2 =
numero de pares ordenados com segunda coordenada igual a zero =
r + u.
Do enunciado: r + v = r + u == v = u.
Logo, concluimos que o numero de quadrados verdes eh igual a 2u, um numero par.
Um abraco,
Claudio.
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Utilizando a solução que eu mostrei você não precisa restringir aos positivos. Porém, é facil ver que só teráo os sinais invertidos( 24.2= -24.-2) e as 3 soluções positivas são também análogas as outras 3 negativas.. somando 6 soluções inteiras. Igor Castro - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 10:06 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Tarcio, A questão não é das melhores, mas não creio que anulá-la fosse justo, afinal de contas ela não possui qualquer erro que impossibilite sua resolução. - Original Message - From: Tarcio Santiago [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 9:26 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau BOM ESTA QUESTÃO É DA UFRJ DO CONCURSO QUE TEVE E ESTÁ BENDITA QUESTÃO NÃO FOI ANULADA!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Sim, Igor. A sua solução (garantir o discriminante racional) é plenamente válido também. Entretanto, na hora em que a prova está sendo aplicada, dizer que algo é fácil é um tanto subjetivo. Deve-se levar em conta o trabalho que a questão dá, o tempo que toma, e que ela não é a única na prova. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Webmaster - Cnaval [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 11:40 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Utilizando a solução que eu mostrei você não precisa restringir aos positivos. Porém, é facil ver que só teráo os sinais invertidos( 24.2= -24.-2) e as 3 soluções positivas são também análogas as outras 3 negativas.. somando 6 soluções inteiras. Igor Castro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Ok , pela informao. entretanto utilizei o enunciado proposto pelo Victor Machado, e dado abaixo From: Victor Machado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12PM Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval2003 - Equacoes do segundo grau Ol amigos da Lista, queria lhes agradecer pelasresolucoes enviadas. Mas gostaria de outra : (CN-2003) Dada a equao do 2grau na incgnita x : 4x^2 + Kx + 3 =0. Quantos so os valores inteiros possveis do parmetroK, tais que essa equao s admita razes racionais? Um abrao PONCE Tarcio Santiago escreveu: BOM ESTA QUESTO DA UFRJ DO CONCURSO QUE TEVE E EST BENDITA QUESTO NO FOI ANULADA!! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:54 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau Luiz, Na verdade, h 6 valores para k: -13, -8, -7, 7, 8, 13. Voc desconsiderou os inteiros negativos, e no havia essa restrio no enunciado. O exerccio resolvido pode ser lido em: http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18716.html Abraos, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Luiz Ponce To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 28, 2004 8:27 PM Subject: Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau seguindo a sugesto do Igor, voc encontrar 3 valores para k , que so 7,8 e 13 Verifique PONCE = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] duvidazinha
QUAL A CONDIÇÃO PAR QUE O ANO SEJA BISSEXTO?
Re: [obm-l] duvidazinha
Tarcio, A sua pergunta não está muito clara. Não existe uma condição para que o ano seja bissexto, até porque o ano bissexto é uma mera convenção do calendário juliano, visto que cada ano dura 365 e 6 horas (aproximadamente) e, assim, depois de quatro anos,acrescenta-se um décimo nono dia ao mês de fevereiro para compensar essas horas. Por convenção, são bissextos os anos cujo milésimo é divisível por 4, com exceção dos anos seculares cujo milésimo não é divisível por 400. Ex.: o ano 1900 não foi bissexto,maso ano 2000 foi. Abraços, Rafael de A.Sampaio - Original Message - From: Tarcio Santiago To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 29, 2004 2:03 AM Subject: [obm-l] duvidazinha QUAL A CONDIÇÃO PAR QUE O ANO SEJA BISSEXTO?
Re: [obm-l] duvidazinha
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Tarcio Santiago [EMAIL PROTECTED] said: QUAL A CONDIÇÃO PAR QUE O ANO SEJA BISSEXTO? Se um ano for divisível por 4, mas não por 100, ele é bissexto. Se um ano for divisível por 400, ele é bissexto. Todos os outros anos não são bissextos. Há propostas que fazem anos divisíveis por 4000 não bissextos, mas, a menos que você esteja falando de eventos geológicos ous astronômicos, isso não faz a menor diferença. Referência: http://en.wikipedia.org/wiki/Leap_year []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQXxbalOQFrvzGQoRAldxAKCPzdCIebo0sI+RbMQmnHFwLSy78wCfUSRs Lvi4ros609iVRAwS7x9GCNg= =g9Da -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
