RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ol Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expresses com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando so realizadas as redues para expresses com
radicais simples equivalentes. Existe uma frmula para a reduo, mas o importante
entender como deduzi-la, pois o raciocnio muito simples.
Reduo de radicais duplos em radicais simples equivalentes
---
Dada a expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b
irracional e a + b positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos tais
que: (a + b) = x1 + x2.
Observe que de acordo com as condies dadas, ambos os membros da igualdade so
positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da
igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua
vlida.
[(a + b)] = (x1 + x2)
a + b = x1 + 2x1x2 + x2
a + b = (x1 + x2) + (4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e b irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 so razes da seguinte equao quadrtica:
x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
= (-a) - 4.1.(b/4) = = a - b
Sendo assim, a nossa expresso somente poder ser reduzida a radicais simples se o
discriminante (a - b) for um quadrado de um racional. Se esta condio for
satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + (a - b)] / 2 = [a + (a - b)] / 2
x2 = [-(-a) - (a - b)] / 2 = [a - (a - b)] / 2
Ou vice-versa.
Concluso:
A expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b irracional e
a + b positivo, pode ser transformada em uma expresso com radicais simples quando
a - b for um quadrado de um racional. A transformao dada pela seguinte
frmula:
(a + b) = {[a + (a - b)] / 2} + {[a - (a - b)] / 2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expresso com radicais duplos
(a - b), com a e b racionais, b irracional e a - b positivo, pode ser
transformada em uma expresso com radicais simples quando a - b for um quadrado de
um racional. A transformao dada pela seguinte frmula:
(a - b) = {[a + (a - b)] / 2} - {[a - (a - b)] / 2}
Resoluo do problema proposto:
---
Simplifique a expresso:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)]
Vamos verificar se possvel reduzir as expresses com radicais duplos para
expresses com radicais simples.
Na expresso (2 + 3), temos a = 2 e b = 3. Como a - b = 4 - 3 = 1, que o
quadrado de um racional (1 = 1), a transformao possvel.
(2 + 3) = [(2 + 1) / 2] + [(2 - 1) / 2] = (3/2) + (1/2) = 3/2
+ 1/2
Analogamente, teremos:
(2 - 3) = 3/2 - 1/2
Logo:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)] =
= (2 + 3) / [2 + (3/2 + 1/2)] + (2 - 3) / [2 - (3/2 -
1/2)] =
= (2 + 3) / [(2 + 3 + 1)/2] + (2 - 3) / [(2 - 3 + 1)/2] =
= 2(2 + 3) / (3 + 3) + 2(2 - 3) / (3 - 3) =
= [2(2 + 3)(3 - 3) + 2(2 - 3)(3 + 3)] / [(3 + 3) (3 - 3)] =
= [2(6 - 23 + 33 - 3) + 2(6 + 23 -33 - 3)] / (9 - 3) =
= 2[(3 + 3) + (3 - 3)] / 6 = 62 / 6 = 2
Portanto, a expresso simplificada igual a 2.
Atenciosamente,
Rogrio Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Daniel Silva Braz
Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
corrigindo o primeiro problema...mandei o problema
errado...
(2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 -
sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3)))
Daniel S. Braz
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Re: [obm-l] Problemas com radicais
Daniel, Como sugestão, utilize cbrt(x) para a raiz cúbica de x. Veja que sqrt(x) vem de square root e, semelhantemente, cbrt(x), de cubic root. Novamente, para realmente simplificar, estou enviando a solução anexada à mensagem. Você encontrará a motivação das manipulações que fiz se pensar no problema de trás para frente, isto é, elevando os dois membros ao cubo, que você encontraria? Observe isso e faça o caminho de volta. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, April 14, 2004 11:09 PM Subject: [obm-l] Problemas com radicais 1) Simplifique: sqr((2 + sqr(3)) / (2 - sqr(3))) + sqr((2 - sqr(3)) / (2 + sqr(3))) 2) Mostre que sqr3(9(sqr3(2) - 1)) = 1 - sqr3(2) + sqr3(4) Obs: sqr = raíz quadrada e sqr3 = raíz cúbica Daniel Silva Braz radicais2.gif Description: Binary data
Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Rogrio,
Farei apenas um comentrio sobre as condies de reduo dos radicais duplos
a radicais simples. Voc escreveu: Dada a expresso com radicais duplos (a
+ b), com a e b racionais, b irracional e a + b positivo, (...)
Se a e b so racionais distintos, ento a^2 racional e a^2 - b
racional. Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se- sqrt[a +- sqrt(b)]
numa soma ou diferena de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) ser
irracional. Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um nmero inteiro
no-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) so
*naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo.
Abraos,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Rogrio Moraes de Carvalho [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, April 15, 2004 8:05 AM
Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ol Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expresses com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando so realizadas as redues para expresses com
radicais simples equivalentes. Existe uma frmula para a reduo, mas o
importante entender como deduzi-la, pois o raciocnio muito simples.
Reduo de radicais duplos em radicais simples equivalentes
---
Dada a expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b
irracional e a + b positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos
tais que: (a + b) = x1 + x2.
Observe que de acordo com as condies dadas, ambos os membros da igualdade
so positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro
membro da igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo
que a volta continua vlida.
[(a + b)] = (x1 + x2)
a + b = x1 + 2x1x2 + x2
a + b = (x1 + x2) + (4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e b irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 so razes da seguinte equao quadrtica:
x - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
= (-a) - 4.1.(b/4) = = a - b
Sendo assim, a nossa expresso somente poder ser reduzida a radicais
simples se o discriminante (a - b) for um quadrado de um racional. Se esta
condio for satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + (a - b)] / 2 = [a + (a - b)] / 2
x2 = [-(-a) - (a - b)] / 2 = [a - (a - b)] / 2
Ou vice-versa.
Concluso:
A expresso com radicais duplos (a + b), com a e b racionais, b
irracional e a + b positivo, pode ser transformada em uma expresso com
radicais simples quando a - b for um quadrado de um racional. A
transformao dada pela seguinte frmula:
(a + b) = {[a + (a - b)] / 2} + {[a - (a - b)] / 2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expresso com radicais duplos
(a - b), com a e b racionais, b irracional e a - b positivo, pode ser
transformada em uma expresso com radicais simples quando a - b for um
quadrado de um racional. A transformao dada pela seguinte frmula:
(a - b) = {[a + (a - b)] / 2} - {[a - (a - b)] / 2}
Resoluo do problema proposto:
---
Simplifique a expresso:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)]
Vamos verificar se possvel reduzir as expresses com radicais duplos para
expresses com radicais simples.
Na expresso (2 + 3), temos a = 2 e b = 3. Como a - b = 4 - 3 = 1, que
o quadrado de um racional (1 = 1), a transformao possvel.
(2 + 3) = [(2 + 1) / 2] + [(2 - 1) / 2] = (3/2) + (1/2) = 3/2
+ 1/2
Analogamente, teremos:
(2 - 3) = 3/2 - 1/2
Logo:
(2 + 3) / [2 + (2 + 3)] + (2 - 3) / [2 - (2 - 3)] =
= (2 + 3) / [2 + (3/2 + 1/2)] + (2 - 3) / [2 - (3/2 -
1/2)] =
= (2 + 3) / [(2 + 3 + 1)/2] + (2 - 3) / [(2 - 3 + 1)/2] =
= 2(2 + 3) / (3 + 3) + 2(2 - 3) / (3 - 3) =
= [2(2 + 3)(3 - 3) + 2(2 - 3)(3 + 3)] / [(3 + 3) (3 - 3)] =
= [2(6 - 23 + 33 - 3) + 2(6 + 23 -33 - 3)] / (9 - 3) =
= 2[(3 + 3) + (3 - 3)] / 6 = 62 / 6 = 2
Portanto, a expresso simplificada igual a 2.
Atenciosamente,
Rogrio Moraes de Carvalho
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Rogério,
como você pode perceber (abaixo)..infelizmente não
consegui ler nada na sua msg...
Daniel S. Braz
==
--- Rogério_Moraes_de_Carvalho [EMAIL PROTECTED]
escreveu: Olá Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expressões com
radicais duplos podem ser resolvidos facilmente
quando são realizadas as reduções para
expressões com radicais simples equivalentes.
Existe uma fórmula para a redução, mas o
importante é entender como deduzi-la, pois o
raciocÃnio é muito simples.
Redução de radicais duplos em radicais simples
equivalentes
---
Dada a expressão com radicais duplos â(a + âb),
com a e b racionais, âb irracional e a + âb
positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais
positivos tais que: â(a + âb) = âx1 + âx2.
Observe que de acordo com as condições dadas,
ambos os membros da igualdade são positivos.
Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do
primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos
os membros ao quadrado garantindo que a volta
continua válida.
[â(a + âb)]² = (âx1 + âx2)²
a + âb = x1 + 2âx1âx2 + x2
a + âb = (x1 + x2) + â(4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e âb irracional, a
igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 são raÃzes da seguinte equação
quadrática:
x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x² - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
Π= (-a)² - 4.1.(b/4) = Π= a² - b
Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser
reduzida a radicais simples se o discriminante (a²
- b) for um quadrado de um racional. Se esta
condição for satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + â(a² - b)] / 2 = [a + â(a² - b)]
/ 2
x2 = [-(-a) - â(a² - b)] / 2 = [a - â(a² - b)]
/ 2
Ou vice-versa.
Conclusão:
A expressão com radicais duplos â(a + âb), com
a e b racionais, âb irracional e a + âb
positivo, pode ser transformada em uma expressão
com radicais simples quando a² - b for um quadrado
de um racional. A transformação é dada pela
seguinte fórmula:
â(a + âb) = â{[a + â(a² - b)] / 2} + â{[a
- â(a² - b)] / 2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expressão
com radicais duplos
â(a - âb), com a e b racionais, âb irracional
e a - âb positivo, pode ser transformada em uma
expressão com radicais simples quando a² - b for
um quadrado de um racional. A transformação é
dada pela seguinte fórmula:
â(a - âb) = â{[a + â(a² - b)] / 2} - â{[a
- â(a² - b)] / 2}
Resolução do problema proposto:
---
Simplifique a expressão:
(2 + â3) / [â2 + â(2 + â3)] + (2 - â3) /
[â2 - â(2 - â3)]
Vamos verificar se é possÃvel reduzir as
expressões com radicais duplos para expressões com
radicais simples.
Na expressão â(2 + â3), temos a = 2 e b = 3.
Como a² - b = 4 - 3 = 1, que é o quadrado de um
racional (1 = 1²), a transformação é possÃvel.
â(2 + â3) = â[(2 + 1) / 2] + â[(2 - 1) / 2]
= â(3/2) + â(1/2) = â3/â2 + 1/â2
Analogamente, teremos:
â(2 - â3) = â3/â2 - 1/â2
Logo:
(2 + â3) / [â2 + â(2 + â3)] + (2 - â3) /
[â2 - â(2 - â3)] =
= (2 + â3) / [â2 + (â3/â2 + 1/â2)] + (2 -
â3) / [â2 - (â3/â2 - 1/â2)] =
= (2 + â3) / [(2 + â3 + 1)/â2] + (2 - â3) /
[(2 - â3 + 1)/â2] =
= â2(2 + â3) / (3 + â3) + â2(2 - â3) / (3
- â3) =
= [â2(2 + â3)(3 - â3) + â2(2 - â3)(3 +
â3)] / [(3 + â3) (3 - â3)] =
= [â2(6 - 2â3 + 3â3 - 3) + â2(6 + 2â3
-3â3 - 3)] / (9 - 3) =
= â2[(3 + â3) + (3 - â3)] / 6 = 6â2 / 6 =
â2
Portanto, a expressão simplificada é igual a â2.
Atenciosamente,
Rogério Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of
Daniel Silva Braz
Sent: quarta-feira, 14 de abril de 2004 23:18
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Problemas com radicais -
CORRIGINDO!!
corrigindo o primeiro problema...mandei o problema
errado...
(2 + sqr(3)) / (sqr(2) + sqr(2 + sqr(3))) + (2 -
sqr(3)) / (sqr(2) - sqr(2 - sqr(3)))
Daniel S. Braz
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RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ola Rafael, Eu realmente nao consegui entender o objetivo dos seus comentarios. De qualquer modo, eu estou comentando-os parte por parte. Seu comentario: --- Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é racional.. Meu comentario: --- No texto que eu escrevi, eu nao afirmei em momento algum que a e b devem ser distintos, mas simplesmente racionais. A sua conclusao sobre a^2 e a^2 - b serem racionais e' obvia, mesmo que a e b sejam racionais iguais. Isto e' consequencia da propriedade de fechamento das operacoes de adicao e multiplicacao do conjunto dos numeros racionais. Seu comentario: --- Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será irracional. Meu comentario: --- Esta sua conclusao nao tem o menor embasamento teorico. De qualquer modo, segue um contra-exemplo bem simples que comprova que a sua conclusao e' falsa. Suponha a = 5/2 (racional) e b = 4 (racional), entao teremos a^2 - b = (5/2)^2 - 4 = 25/4 - 4 = 9/4. Sendo assim, sqrt(a^2 - b) = sqrt(9/4) = 3/2, que e' racional. Portanto, a sua conclusao de que sqrt(a^2 - b) será irracional esta' errada. Seu comentario: --- Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são *naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo. Meu comentario: --- Esta conclusao tambem nao tem o menor embasamento teorico. A reducao de radicais duplos em radicais simples nao exige que a, b e sqrt(a^2 - b) sejam naturais. Vamos a um exemplo de reducao de radicais duplos em radicais simples em que a, b e sqrt(a^2 - b) sao racionais nao inteiros. No radical duplo sqrt(5/3 + sqrt(7/3)), temos a = 5/3, b = 7/3 e sqrt(a^2 - b) = sqrt[(5/3)^2 - 7/3] = sqrt(25/9 - 7/3) = sqrt[(25 - 21)/9] = sqrt(4/9) = 2/3. Sendo assim, podemos converter o radical duplo para radical simples, como segue: sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt[(5/3 + 2/3) / 2] + sqrt[(5/3 - 2/3) / 2] sqrt(5/3 + sqrt(7/3)) = sqrt(7/6) + sqrt(1/2) De qualquer modo, eu agradeco pela sua atencao. Abracos, Rogério Moraes de Carvalho -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Rafael Sent: quinta-feira, 15 de abril de 2004 10:52 To: OBM-L Subject: Re: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!! Rogério, Farei apenas um comentário sobre as condições de redução dos radicais duplos a radicais simples. Você escreveu: Dada a expressão com radicais duplos v(a + vb), com a e b racionais, vb irracional e a + vb positivo, (...) Se a e b são racionais distintos, então a^2 é racional e a^2 - b é racional. Ora, se a^2 - b for racional, transformar-se-á sqrt[a +- sqrt(b)] numa soma ou diferença de radicais duplos, pois sqrt(a^2 - b) será irracional. Dessa forma, sqrt(a^2 - b) deve ser um número inteiro não-negativo, ou ainda, natural. Por isso: a, b, sqrt(a^2 - b) são *naturais*, com [a +- sqrt(b)] real positivo. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Rogério Moraes de Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 15, 2004 8:05 AM Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!! Olá Daniel, Muitos dos problemas que envolvem expressões com radicais duplos podem ser resolvidos facilmente quando são realizadas as reduções para expressões com radicais simples equivalentes. Existe uma fórmula para a redução, mas o importante é entender como deduzi-la, pois o raciocínio é muito simples. Redução de radicais duplos em radicais simples equivalentes --- Dada a expressão com radicais duplos v(a + vb), com a e b racionais, vb irracional e a + vb positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais positivos tais que: v(a + vb) = vx1 + vx2. Observe que de acordo com as condições dadas, ambos os membros da igualdade são positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua válida. [v(a + vb)]² = (vx1 + vx2)² a + vb = x1 + 2vx1vx2 + x2 a + vb = (x1 + x2) + v(4.x1.x2) Sendo a, b, x1 e x2 racionais e vb irracional, a igualdade somente vai ser verdadeira se tivermos: x1 + x2 = a 4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4 Portanto, x1 e x2 são raízes da seguinte equação quadrática: x² - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x² - ax + b/4 = 0 Calculando o discriminante, encontramos: ? = (-a)² - 4.1.(b/4) = ? = a² - b Sendo assim, a nossa expressão somente poderá ser reduzida a radicais simples se o discriminante (a² - b) for um quadrado de um racional. Se esta condição for satisfeita, teremos: x1 = [-(-a) + v(a² - b)] / 2 = [a + v(a² - b)] / 2 x2 = [-(-a) - v(a² - b)] / 2 = [a - v(a² - b)] / 2 Ou vice-versa. Conclusão: A expressão com radicais duplos v(a + vb), com a e b racionais, vb irracional e a + vb positivo, pode ser transformada em uma
Re: [obm-l] Problemas com radicais
Tentem usar uma notaçao mais matematica,como a^(1/2) seria a raiz quadrada.Isto juda muito pois por exemplo como voce escreveria raiz quarta ou vigesima? Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Daniel,Como sugestão, utilize cbrt(x) para a raiz cúbica de x. Veja que sqrt(x) vemde "square root" e, semelhantemente, cbrt(x), de "cubic root".Novamente, para realmente simplificar, estou enviando a solução anexada àmensagem. Você encontrará a motivação das manipulações que fiz se pensar noproblema de trás para frente, isto é, elevando os dois membros ao cubo, quevocê encontraria? Observe isso e faça o caminho de volta.Abraços,Rafael de A. Sampaio- Original Message -From: "Daniel Silva Braz" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Wednesdday, April 14, 2004 11:09 PMSubject: [obm-l] Problemas com radicais1) Simplifique:sqr((2 + sqr(3)) / (2 - sqr(3))) + sqr((2 - sqr(3)) /(2 + sqr(3)))2) Mostre que sqr3(9(sqr3(2) - 1)) = 1 - sqr3(2) +sqr3(4)Obs: sqr = raíz quadrada e sqr3 = raíz cúbicaDaniel Silva Braz TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Ola Daniel,
Infelizmente a minha mensagem original ficou completamente ilegivel. Segue a
mensagem reescrita sem acentuacao e sem caracteres especiais.
Muitos dos problemas que envolvem expressoes com radicais duplos podem ser
resolvidos facilmente quando sao realizadas as reducoes para expressoes com radicais
simples equivalentes. Existe uma formula para a reducao, mas o importante e' entender
como deduzi-la, pois o raciocinio e' muito simples.
Reducao de radicais duplos em radicais simples equivalentes
---
Dada a expressao com radicais duplos sqr[a + sqr(b)], com a e b racionais no nulos,
sqr(b) irracional e a + sqr(b) positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais
positivos tais que: sqr[a + sqr(b)] = sqr(x1) + sqr(x2).
Observe que, de acordo com as condicoes dadas, ambos os membros da igualdade sao
positivos. Portanto, a fim de eliminar o radical duplo do primeiro membro da
igualdade, podemos elevar ambos os membros ao quadrado garantindo que a volta continua
valida.
{sqr[a + sqr(b)]}^2 = [sqr(x1) + sqr(x2)]^2
a + sqr(b) = x1 + 2sqr(x1)sqr(x2) + x2
a + sqr(b) = (x1 + x2) + sqr(4.x1.x2)
Sendo a, b, x1 e x2 racionais e sqr(b) irracional, a igualdade somente vai ser
verdadeira se tivermos:
x1 + x2 = a
4.x1.x2 = b = x1.x2 = b/4
Portanto, x1 e x2 sao raizes da seguinte equacao quadratica:
x^2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 = x^2 - ax + b/4 = 0
Calculando o discriminante, encontramos:
delta = (-a)^2 - 4.1.(b/4) = delta = a^2 - b
Sendo assim, a nossa expressao somente podera ser reduzida a radicais simples se o
discriminante (a^2 - b) for igual ao quadrado de um racional. Se esta condicao for
satisfeita, teremos:
x1 = [-(-a) + sqr(a^2 - b)] / 2 = [a + sqr(a^2 - b)] / 2
x2 = [-(-a) - sqr(a^2 - b)] / 2 = [a - sqr(a^2 - b)] / 2
Ou vice-versa.
Concluso:
A expresso com radicais duplos sqr[a + sqr(b)], com a e b racionais no nulos,
sqr(b) irracional e a + sqr(b) positivo, pode ser transformada em uma expressao com
radicais simples quando a^2 - b for igual ao quadrado de um racional. Portanto, a
transformacao e' dada pela seguinte formula:
sqr[a + sqr(b)] = sqr{[a + sqr(a^2 - b)]/2} + sqr{[a - sqr(a^2 - b)]/2}
Analogamente, podemos demonstrar que a expressao com radicais duplos sqr[a - sqr(b)],
com a e b racionais nao nulos, sqr(b) irracional e a - sqr(b) positivo, pode ser
transformada em uma expressao com radicais simples quando a^2 - b for igual ao
quadrado de um racional. Neste caso, a transformacao e' dada pela seguinte formula:
sqr[a - sqr(b)] = sqr{[a + sqr(a^2 - b)]/2} - sqr{[a - sqr(a^2 - b)]/2}
Resolucao do problema proposto:
---
Seja a expressao:
[2+sqr(3)]/{sqr(2)+sqr[2+sqr(3)]} + [2-sqr(3)]/{sqr(2)-sqr[2-sqr(3)]}
Vamos verificar se e' possivel reduzir as expressoes com radicais duplos para
expressoes com radicais simples.
Na expressao sqr[2+sqr(3)], temos a = 2 e b = 3. Como a^2 - b = 4 - 3 = 1, que e' o
quadrado de um racional (1 = 1^2), entao a transformacao e' possivel.
sqr[2+sqr(3)] = sqr[(2 + 1) / 2] + sqr[(2 - 1) / 2] = sqr(3/2) + sqr(1/2) =
sqr(3)/sqr(2) + 1/sqr(2)
Analogamente, teremos:
sqr[2+sqr(3)] = sqr(3)/sqr(2) - 1/sqr(2)
Logo:
[2+sqr(3)]/{sqr(2)+sqr[2+sqr(3)]} + [2-sqr(3)]/{sqr(2)-sqr[2-sqr(3)]} =
= [2+sqr(3)]/{sqr(2)+[sqr(3)/sqr(2)+1/sqr(2)]} + [2-sqr(3)]/{sqr(2)-[
sqr(3)/sqr(2)-1/sqr(2)]} =
= [2+sqr(3)]/{[2+sqr(3)+1]/sqr(2)} + [2-sqr(3)]/{[2-sqr(3)+1]/sqr(2)} =
= sqr(2)[2+sqr(3)]/[3+sqr(3)] + sqr(2)[2-sqr(3)]/[3-sqr(3)] =
= {sqr(2)[2+sqr(3)][3-sqr(3)] + sqr(2)[2-sqr(3)][3+sqr(3)]}/{[3+sqr(3)] [3-sqr(3)]} =
= {sqr(2)[6-2sqr(3)+3sqr(3)-3] + sqr(2)[6+2sqr(3)-3sqr(3)-3]}/(9-3) =
= sqr(2){[3+sqr(3)]+[3-sqr(3)]}/6 = 6sqr(2)/6 = sqr(2)
Portanto, a expressao simplificada e' igual a sqr(2).
Rogerio Moraes de Carvalho
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Daniel Silva Braz
Sent: quinta-feira, 15 de abril de 2004 10:54
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Problemas com radicais - CORRIGINDO!!
Rogrio,
como voc pode perceber (abaixo)..infelizmente no
consegui ler nada na sua msg...
Daniel S. Braz
==
--- Rogrio_Moraes_de_Carvalho [EMAIL PROTECTED]
escreveu: Ol Daniel,
Muitos dos problemas que envolvem expresses com
radicais duplos podem ser resolvidos facilmente
quando so realizadas as redues para
expresses com radicais simples equivalentes.
Existe uma frmula para a reduo, mas o
importante entender como deduzi-la, pois o
raciocnio muito simples.
Reduo de radicais duplos em radicais simples
equivalentes
---
Dada a expresso com radicais duplos (a + b),
com a e b racionais, b irracional e a + b
positivo, queremos encontrar x1 e x2 racionais
positivos tais que: (a + b) = x1 + x2.
Observe que de acordo com as condies dadas,
ambos os membros da igualdade so positivos.
Portanto, a fim de eliminar o
RE: [obm-l] serie divergente!
Ola Thiago e demais colegas desta lista ... OBM-L, A sua serie inicia para n=2. Claramente que : 4*log(4) 2*log(2) e 4*log(4) 3*log(3). E portanto : 1/(4*log(4)) +1/(4*log(4)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)). Logo : (1/2)*(1/log(4))1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)) E Igualmente claro que : 8*log(8) 4*log(4) , 8*log(8) 5*log(5) , 8*log(8) 6*log(6) e 8*log(8) 7*log(7). Invertendo e somando membro a membro, chegaremos a : (1/2)*(1/log(8)) 1/(4*log(4)) + 1/(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) Evidentemente que voce pode generalizar o passo acima, algo bastante facil. Apos isso note que log(4) = 2*log(2), log(8)=3*log(2), ... Logo, voce podera colocar (1/2)*(1/log(2)) em evidencia. Isso vai fornecer : (1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... )*(1/2)*(1/log(2)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... Como 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... diverge, entao, por comparacao, a sua serie diverge. O jeitao da sua serie - 1/(n*log(n)) - claramente SUGERE uma comparacao com a serie harmonica. Eis a razao de eu ter adotado este caminho. Mas existe muitos outros ... De maneira geral, se A1, A2, ... e uma PA entao 1/A1 + 1/A2 + ... diverge. Isso evidencia que em outros contextos pode ser mais conveniente usar uma outra serie divergente, tambem aritmetica, porem nao a harmonica. Um outro fato notabilissimo e que se A1, A2, ... e uma PA entao 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... converge. Assim, se mostrarmos que uma serie B1+B2+.. e tal que B1 + B2 + B3 +... 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... onde A1, A2 e uma PA, entao concluimos que B1 + B2 + B3... converge. Estou falando de series de termos positivos. Os fatos acima podem ser facilmente provados e ficam como exercicios Por fim, talvez mais interessante que tudo isso e verificar que que a toda Progressao Aritmetica A1, A2, A3, ... a serie 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... induz um TRIANGULO HARMONICO, isto e, caracteriza-o univocamente. Um exemplo classico e o TRIANGULO DE LEIBNIZ : 1 1/2 1/2 1/3 1/6 1/3 1/4 1/12 1/12 1/4 ... Se fizermos NIC = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... entao para cada coluna existe uma sequencia C1, C2, ... que devolve NIC, isto e, o valor caracteriza precisamente o triangulo. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1902,150404 From: Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] serie divergente! Date: Wed, 14 Apr 2004 20:30:58 -0300 (ART) Alguém sabe algum modo de mostrar que a série 1/(n.logn) é divergente sem utilizar o critério da integral indefinida??? Tentei por comparação com outras séries, pelo critério de Cauchy, blá blá blá... e etc... Abraços Thiago Ferraiol obs: Por integral é simples de mostrar, mas acontece que peguei o livro de análise (vol1) do Elon, e ele apresenta esse exercício antes de falar sobre integrais! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] serie divergente! (linda solução)
Sem comentários... muito obrigadoPaulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola "Thiago" e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,A sua serie inicia para n=2. Claramente que :4*log(4) 2*log(2) e 4*log(4) 3*log(3). E portanto :1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)). Logo :(1/2)*(1/log(4)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3))E Igualmente claro que :8*log(8) 4*log(4) , 8*log(8) 5*log(5) , 8*log(8) 6*log(6) e 8*log(8) 7*log(7).Invertendo e somando membro a membro, chegaremos a :(1/2)*(1/log(8)) 1/(4*log(4)) + 1/(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7))Evidentemente que voce pode generalizar o passo acima, algo bastante facil. Apos isso noteque log(4) = 2*log(2), log(8)=3*log(2), ... Logo, voce podera colocar (1/2)*(1/log(2)) emevidencia. Isso vai fornecer :(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... )*(1/2)*(1/log(2)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)) + ...Como 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... diverge, entao, por comparacao, a sua serie diverge.O "jeitao" da sua serie - 1/(n*log(n)) - claramente SUGERE uma comparacao com a serie harmonica.Eis a razao de eu ter adotado este caminho. Mas existe muitos outros ...De maneira geral, se A1, A2, ... e uma PA entao 1/A1 + 1/A2 + ... diverge. Isso evidencia queem outros contextos pode ser mais conveniente usar uma outra serie divergente, tambemaritmetica, porem nao a harmonica. Um outro fato notabilissimo e que se A1, A2, ... e uma PAentao 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... converge. Assim, se mostrarmos que uma serie B1+B2+..e tal que B1 + B2 + B3 +... 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... onde A1, A2 e uma PA, entao concluimosque B1 + B2 + B3... converge.Estou falando de series de termos positivos. Os fatos acima podem ser facilmente provados e ficamcomo exerciciosPor fim, talvez mais interessante que tudo isso e verificar que que a toda Progressao AritmeticaA1, A2, A3, ... a serie 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... induz um TRIANGULO HARMONICO, isto e,caracteriza-o univocamente. Um exemplo classico e o TRIANGULO DE LEIBNIZ :11/2 1/21/3 1/6 1/31/4 1/12 1/12 1/4...Se fizermos NIC = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... entao para cada coluna existe uma sequenciaC1, C2, ... que devolve NIC, isto e, o valor caracteriza precisamente o triangulo.Um AbracoPaulo Santa Rita5,1902,150404From: Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] serie divergente!Date: Wed, 14 Apr 2004 20:30:58 -0300 (ART)Alguém sabe algum modo de mostrar que a série 1/(n.logn) é divergente "sem utilizar o critério da integral indefinida"???Tentei por comparação com outras séries, pelo critério de Cauchy, blá blá blá... e etc...AbraçosThiago Ferraiolobs: Por integral é simples de mostrar, mas acontece que peguei o livro de análise (vol1) do Elon, e ele apresenta esse exercício antes de falar sobre integrais!_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
RE:Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida
Eu já pensava em usar log(x) como sendo o logarítmo decimal de x e ln(x) como sendo o logaritmo neperiano (base e) de x. Como vcs usam o decimal? log_10(x) ???-- Mensaje Original --Enviado por: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]Fecha:14/04/2004 13:48:32Para: [EMAIL PROTECTED]Título: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida Este e so um lembrete que facilita tanto as contas como o raciocinio de escrita. Em primeiro lugar log x e o log de x na base e (sim, eu e o Nicolau e o Gugu e uma imensa galera usa essa notaçao).Em segundo lugar o log de x na base y e (log x)/(log y).Ai e so fazer as contas!Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu sei que muitas sugestões não são atendidas, mas...Por exemplo, o Niski já deve estar com os dedos trêmulos de tanto escreverque algumas mensagens teriam uma recepção melhor em outras listas e/ousites. Também já foi sugerido que o assunto dos e-mails fosse melhordefinido, o que facilita e muito a leitura. E, além de tudo isso, que se useuma notação o mais possível clara, embora você tenha explicado o que queriadizer. Enfim, não quero parecer pouco cordial repetindo isso e, de fato,espero não estar sendo.Em relação aos logaritmos, a minha sugestão é que você use:logaritmo de x na base y == log_y(x)oulogaritmo de x na base y == log(x,y)Para o problema 1, lembre-se de que:log(a,b) = log(a,c) / log(b,c) (mudança de base)Assim: a^(log(log(a))/log(a)) = a^log(log(a),a) = log(a),pois x^log(y,x) = y.Reescrevendo o problema 2,a^[log(b,a)*log(c,b)*log(d,c)] == a^[log(b,a)*[log(c,a)/log(b,a)]*[log(d,a)/log(c,a)] == a^log(d,a) = dNa segunda linha, fiz a mudança de todos os logaritmos do expoente para amesma base da potência. Na terceira linha, utilizei a mesma últimapropriedade mencionada no exercício 1.Abraços,Rafael- Original Message -From: TSDTo: [EMAIL PROTECTED]Sent: Wednesday, April 14, 2004 12:30 AMSubject: [obm-l] dúvidasimplificar :1) "a" está elevado a tudo isto aí = a^ ([log(loga)]/loga)2) a ^ (loga^b.logb^c.logc^d) a base é oque está antes do ^=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!Quer internet Grátis com qualidade e muito mais serviços? Escolha o Caminho Mais Curto! Ubbi free! baixe agora o discador - http://free.ubbi.com.br/ - Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida
O fato é que antes das calculadoras se utilizava muito logaritmo na base 10 o que fez com que a notacao log = log[10] se disseminasse no ensino medio. E até hoje esse costume é mantido lá, mas nas universidades costuma-se a usar log para se referir a logaritmo neperiano (outros preferem usar ln). De qualquer forma acho que um bom professor universitario deve alertar bem os alunos a notacao que esta utilizando. Na lista tb seria bom se fosse especificado a notacao. [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu já pensava em usar log(x) como sendo o logarítmo decimal de x e ln(x) como sendo o logaritmo neperiano (base e) de x. Como vcs usam o decimal? log_10(x) ??? -- Mensaje Original -- Enviado por: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Fecha:14/04/2004 13:48:32 Para: [EMAIL PROTECTED] Título: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida Este e so um lembrete que facilita tanto as contas como o raciocinio de escrita. Em primeiro lugar log x e o log de x na base e (sim, eu e o Nicolau e o Gugu e uma imensa galera usa essa notaçao).Em segundo lugar o log de x na base y e (log x)/(log y).Ai e so fazer as contas! Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu sei que muitas sugestões não são atendidas, mas... Por exemplo, o Niski já deve estar com os dedos trêmulos de tanto escrever que algumas mensagens teriam uma recepção melhor em outras listas e/ou sites. Também já foi sugerido que o assunto dos e-mails fosse melhor definido, o que facilita e muito a leitura. E, além de tudo isso, que se use uma notação o mais possível clara, embora você tenha explicado o que queria dizer. Enfim, não quero parecer pouco cordial repetindo isso e, de fato, espero não estar sendo. Em relação aos logaritmos, a minha sugestão é que você use: logaritmo de x na base y == log_y(x) ou logaritmo de x na base y == log(x,y) Para o problema 1, lembre-se de que: log(a,b) = log(a,c) / log(b,c) (mudança de base) Assim: a^(log(log(a))/log(a)) = a^log(log(a),a) = log(a), pois x^log(y,x) = y. Reescrevendo o problema 2, a^[log(b,a)*log(c,b)*log(d,c)] = = a^[log(b,a)*[log(c,a)/log(b,a)]*[log(d,a)/log(c,a)] = = a^log(d,a) = d Na segunda linha, fiz a mudança de todos os logaritmos do expoente para a mesma base da potência. Na terceira linha, utilizei a mesma última propriedade mencionada no exercício 1. Abraços, Rafael - Original Message - From: TSD To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, April 14, 2004 12:30 AM Subject: [obm-l] dúvida simplificar : 1) a está elevado a tudo isto aí = a^ ([log(loga)]/loga) 2) a ^ (loga^b.logb^c.logc^d) a base é oque está antes do ^ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.download.yahoo.com/messenger/ - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.download.yahoo.com/messenger/ Quer internet Grátis com qualidade e muito mais serviços? Escolha o Caminho Mais Curto! Ubbi free! baixe agora o discador - http://free.ubbi.com.br/ -==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida
Não resisto a tentaçao de dar uma opiniao antipatica. Nao adianta, em materia de notaçao, usar uma boa notaçao se os outros nao a usam. O mundo todo, principalmente por causa das calculadoras, usa ln para logaritmo natural. Uma das experiencias mais sofridas da minha vida foi ler um livro de Estatística de um professor da USP que usava siglas próprias; muito lógicas, mas proprias: cada vez que aparecia um EMV (estimador de máxima verossimilhança)ou um V (vies) eu travava por algum tempo. Claro, todo mundo usa MLE (maximum likelihood estimator) e B (bias). == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 15 Apr 2004 21:27:52 -0300 Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida O fato é que antes das calculadoras se utilizava muito logaritmo na base 10 o que fez com que a notacao log = log[10] se disseminasse no ensino medio. E até hoje esse costume é mantido lá, mas nas universidades costuma-se a usar log para se referir a logaritmo neperiano (outros preferem usar ln). De qualquer forma acho que um bom professor universitario deve alertar bem os alunos a notacao que esta utilizando. Na lista tb seria bom se fosse especificado a notacao. [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu já pensava em usar log(x) como sendo o logarítmo decimal de x e ln(x) como sendo o logaritmo neperiano (base e) de x. Como vcs usam o decimal? log_10(x) ??? -- Mensaje Original -- Enviado por: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Fecha:14/04/2004 13:48:32 Para: [EMAIL PROTECTED] Título: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida Este e so um lembrete que facilita tanto as contas como o raciocinio de escrita. Em primeiro lugar log x e o log de x na base e (sim, eu e o Nicolau e o Gugu e uma imensa galera usa essa notaçao).Em segundo lugar o log de x na base y e (log x)/(log y).Ai e so fazer as contas! Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu sei que muitas sugestões não são atendidas, mas... Por exemplo, o Niski já deve estar com os dedos trêmulos de tanto escrever que algumas mensagens teriam uma recepção melhor em outras listas e/ou sites. Também já foi sugerido que o assunto dos e-mails fosse melhor definido, o que facilita e muito a leitura. E, além de tudo isso, que se use uma notação o mais possível clara, embora você tenha explicado o que queria dizer. Enfim, não quero parecer pouco cordial repetindo isso e, de fato, espero não estar sendo. Em relação aos logaritmos, a minha sugestão é que você use: logaritmo de x na base y == log_y(x) ou logaritmo de x na base y == log(x,y) Para o problema 1, lembre-se de que: log(a,b) = log(a,c) / log(b,c) (mudança de base) Assim: a^(log(log(a))/log(a)) = a^log(log(a),a) = log(a), pois x^log(y,x) = y. Reescrevendo o problema 2, a^[log(b,a)*log(c,b)*log(d,c)] = = a^[log(b,a)*[log(c,a)/log(b,a)]*[log(d,a)/log(c,a)] = = a^log(d,a) = d Na segunda linha, fiz a mudança de todos os logaritmos do expoente para a mesma base da potência. Na terceira linha, utilizei a mesma última propriedade mencionada no exercício 1. Abraços, Rafael - Original Message - From: TSD To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, April 14, 2004 12:30 AM Subject: [obm-l] dúvida simplificar : 1) a está elevado a tudo isto aí = a^ ([log(loga)]/loga) 2) a ^ (loga^b.logb^c.logc^d) a base é oque está antes do ^ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/? http://br.download.yahoo.com/messenger/ - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/? http://br.download.yahoo.com/messenger/ Quer internet Grátis com qualidade e muito mais serviços? Escolha o Caminho Mais Curto! Ubbi free! baixe agora o discador - http://free.ubbi.com.br/ - ==Instruçõ
RE: [obm-l] serie divergente! (linda solução)
Droga, eu tinha pensado nisso e corri desde o portao da USP so para escrever!!! A minha demo ficou parecida.A ideia e usar mesmo serie harmonica.De qualquer modo ta valendo vai...Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: Sem comentários... muito obrigadoPaulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola "Thiago" e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,A sua serie inicia para n=2. Claramente que :4*log(4) 2*log(2) e 4*log(4) 3*log(3). E portanto :1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)). Logo :(1/2)*(1/log(4)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3))E Igualmente claro que :8*log(8) 4*log(4) , 8*log(8) 5*log(5) , 8*log(8) 6*log(6) e 8*log(8) 7*log(7).Invertendo e somando membro a membro, chegaremos a :(1/2)*(1/log(8)) 1/(4*log(4)) + 1/(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7))Evidentemente que voce pode generalizar o passo acima, algo bastante facil. Apos isso noteque log(4) = 2*log(2), log(8)=3*log(2), ... Logo, voce podera colocar (1/2)*(1/log(2)) emevidencia. Isso vai fornecer :(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... )*(1/2)*(1/log(2)) 1/(2*log(2)! ) + 1/(3*log(3)) + ...Como 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... diverge, entao, por comparacao, a sua serie diverge.O "jeitao" da sua serie - 1/(n*log(n)) - claramente SUGERE uma comparacao com a serie harmonica.Eis a razao de eu ter adotado este caminho. Mas existe muitos outros ...De maneira geral, se A1, A2, ... e uma PA entao 1/A1 + 1/A2 + ... diverge. Isso evidencia queem outros contextos pode ser mais conveniente usar uma outra serie divergente, tambemaritmetica, porem nao a harmonica. Um outro fato notabilissimo e que se A1, A2, ... e uma PAentao 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... converge. Assim, se mostrarmos que uma serie B1+B2+..e tal que B1 + B2 + B3 +... 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... onde A1, A2 e uma PA, entao concluimosque B1 + B2 + B3... converge.Estou falando de series de termos positivos. Os fatos acima podem ser facilmente provados e ficamcomo exerciciosPor fim, talvez mais interessante que tudo isso e verificar que que a toda Progressao AritmeticaA1, A2, A3, ... a serie 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... induz um TRIANGULO HARMONICO, isto e,caracteriza-o univocamente. Um exemplo classico e o TRIANGULO DE LEIBNIZ :11/2 1/21/3 1/6 1/31/4 1/12 1/12 1/4...Se fizermos NIC = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... entao para cada coluna existe uma sequenciaC1, C2, ... que devolve NIC, isto e, o valor caracteriza precisamente o triangulo.Um AbracoPaulo Santa Rita5,1902,150404From: Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] serie divergente!Date: Wed, 14 Apr 2004 20:30:58 -0300 (ART)Alguém sabe algum modo de mostrar que a série 1/(n.logn) é divergente "sem utilizar o critério da integral indefinida"???Tentei por comparação com outras séries, pelo critério! de Cauchy, blá blá blá... e etc...AbraçosThiago Ferraiolobs: Por integral é simples de mostrar, mas acontece que peguei o livro de análise (vol1) do Elon, e ele apresenta esse exercício antes de falar sobre integrais!_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] serie CONvergente!
Poxa Johann, não fique triste... se vc quiser pode tentar fazer essa: "Prove que a série de 1/[n.(log n)^r] converge para r1" (Só lembrando que não vale usar integrais)... boa sorte! Abraços!!! - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 12:16 AM Subject: RE: [obm-l] serie divergente! (linda solução) Droga, eu tinha pensado nisso e corri desde o portao da USP so para escrever!!! A minha demo ficou parecida.A ideia e usar mesmo serie harmonica.De qualquer modo ta valendo vai...Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] wrote: Sem comentários... muito obrigadoPaulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola "Thiago" e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,A sua serie inicia para n=2. Claramente que :4*log(4) 2*log(2) e 4*log(4) 3*log(3). E portanto :1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)). Logo :(1/2)*(1/log(4)) 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3))E Igualmente claro que :8*log(8) 4*log(4) , 8*log(8) 5*log(5) , 8*log(8) 6*log(6) e 8*log(8) 7*log(7).Invertendo e somando membro a membro, chegaremos a :(1/2)*(1/log(8)) 1/(4*log(4)) + 1/(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7))Evidentemente que voce pode generalizar o passo acima, algo bastante facil. Apos isso noteque log(4) = 2*log(2), log(8)=3*log(2), ... Logo, voce podera colocar (1/2)*(1/log(2)) emevidencia. Isso vai fornecer :(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... )*(1/2)*(1/log(2)) 1/(2*log(2)! ! ) + 1/(3*log(3)) + ...Como 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... diverge, entao, por comparacao, a sua serie diverge.O "jeitao" da sua serie - 1/(n*log(n)) - claramente SUGERE uma comparacao com a serie harmonica.Eis a razao de eu ter adotado este caminho. Mas existe muitos outros ...De maneira geral, se A1, A2, ... e uma PA entao 1/A1 + 1/A2 + ... diverge. Isso evidencia queem outros contextos pode ser mais conveniente usar uma outra serie divergente, tambemaritmetica, porem nao a harmonica. Um outro fato notabilissimo e que se A1, A2, ... e uma PAentao 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... converge. Assim, se mostrarmos que uma serie B1+B2+..e tal que B1 + B2 + B3 +... 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... onde A1, A2 e uma PA, entao concluimosque B1 + B2 + B3... converge.Estou falando de series de termos positivos. Os fatos acima podem ser facilmente provados e ficamcomo exerciciosPor fim, talvez mais interessante que tudo isso e verificar que que a toda Progressao AritmeticaA1, A2, A3, ... a serie 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... induz um TRIANGULO HARMONICO, isto e,caracteriza-o univocamente. Um exemplo classico e o TRIANGULO DE LEIBNIZ :11/2 1/21/3 1/6 1/31/4 1/12 1/12 1/4...Se fizermos NIC = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... entao para cada coluna existe uma sequenciaC1, C2, ... que devolve NIC, isto e, o valor caracteriza precisamente o triangulo.Um AbracoPaulo Santa Rita5,1902,150404From: Thiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] serie divergente!Date: Wed, 14 Apr 2004 20:30:58 -0300 (ART)Alguém sabe algum modo de mostrar que a série 1/(n.logn) é divergente "sem utilizar o critério da integral indefinida"???Tentei por comparação com outras séries, pelo critério! ! de Cauchy, blá blá blá... e etc...AbraçosThiago Ferraiolobs: Por integral é simples de mostrar, mas acontece que peguei o livro de análise (vol1) do Elon, e ele apresenta esse exercício antes de falar sobre integrais!_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
