Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo)-CORREÇÃO.
Meu caro Cláudio,
minha solução estah erradíssima!!! Não sei onde eu
estava com a cabeça quando disse que f(X^c) =
(f(X))^c, sem antes verificar que f é bijetiva (algo
que ela não é!!!). E sua afirmação que f(U) =
{(a,b,c); a + b + c 0 e b + c 0} = W de fato
estah correta, pois vc verificou que W estah contido
em f(U). Porém faltou a outra inclusão, que por sua
vez não difícel. Basta observar que dado (x,y,z) em U,
temos que (x - xy, xy - xyz, xyz) estah em f(U) e
ainda mais, (x - xy) + (xy - xyz) + xyz = x 0 e (xy
- xyz) + xyz = xy 0, ou seja, f(U) estah contido em
W.
desculpe-me a confusão!!!
sem mais, éder.
--- Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote:
Meu caro Cláudio,
estava analizando sua solução para f(U) e acho que
o
conjunto {(a,b,c); a + b + c 0 e b + c 0} está
contido em f(U), porém f(U) naum estah contido nele
(ou o contrário. Naum consegui verificar isso!!!).
Mas
acho que consegui fazer isso de outra forma. Veja se
estah correto:
Observando que U = R^3 - [{(x,y,z); x.y = 0} = X],
temos que f(U) = f(X^c) = (f(X))^c = R^3 - {(x,y,z);
y
= z = 0} [pois se (x,y,z) pertence a X, temos que
f(x,y,z) = (x,0,0)]. Portanto, f(U) = R^3 -
{(x,0,0)}.
Notação: X^c é o complementar de X em R^3.
sem mais, éder.
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
f(x,y,z) = (a,b,c) == (x-xy,xy-xyz,xyz) = (a,b,c)
Resolvendo o sistema sem levar em conta o risco de
se dividir por zero, obtemos:
x = a+b+c
y = (b+c)/(a+b+c)
z = c/(b+c)
Isso só não será factível se a + b + c = 0 ou b +
c
= 0 (ou ambos).
Mas se nos restringirmos a U, teremos:
xy 0 ==
x 0 e y 0 ==
a + b + c 0 e b + c 0 ==
Assim, W = f(U) = {(a,b,c) em R^3 | a + b + c 0
e b + c 0}
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Wed, 30 Mar 2005 16:21:14 -0300 (ART)
Assunto:Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
Olá gente,
consegui verificar que f é um difeomorfismo
local
em U
e além disso que é injetora em todos os pontos
de
U.
Verifiquei também que exite pontos de R^3 [por
exemplo, (1,-1,0)] que não pertencem a f(U), ou
seja,
f não é sobrejetiva sobre U. Daí a gente pode
concluir
que f: U -- f(U) é difeomorfismo (global).
Porém,
não
estou conseguindo achar uma cara para f(U) =
W.
Podemos concluir que a inversa g: W -- R^3 é
diferenciável pelo simples fato de f: U -- W
ser um
difeomorfismo???
Sem mais, Éder.
--- Lista OBM wrote:
Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:
Seja f: R^3 -- R^3 dada por f(x,y,z) = (x -
xy,
xy
-
xyz, xyz). Prove que f é injetora em U =
{(x,y,z) em
R^3 ; xy 0} e ache f(U) = W. Mostre que a
inversa
g = f^(-1): W -- R^3 é diferenciável e
calcule
det[Jg(w)], w em W.
Notação:é o mesmo que diferente;
Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.
Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele,
mas
mesmo
assim estou com dúvida em alguns passos.
Estava
usando
o teorema da aplicação inversa.
Grato desde já, Éder.
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[obm-l] Re: [obm-l] questão de olimpíada
Valeu Eduardo! From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] questão de olimpíada Date: Thu, 31 Mar 2005 15:38:29 -0300 (ART) Alo Felipe. Se denominarmos a o primeiro termo da sequência e n o número de termos temos [a+a+(n-1)]*n/2 = 1.000 ou a = (1000/n)-(n-1)/2 . Assim, para n impar ele deve ser divisor de 1000, tal que (1000/n) (n-1)/2. Isto só acontece para n=1 = a=1000 (primeira sequência do gaberito), n=5 = a=198 (segunda) e n=25 = a= 28 (quarta0. Para n par a divisão de 1000 por n deve deixar resto 1/2, para que a seja inteiro;isto só ocorre, ainda lembrando que deve ser necessário que (1000/n) (n-1)/2, com n=16 = a=55 (terceira do gabarito). []'s Wilner --- Felipe Nardes [EMAIL PROTECTED] wrote: Ae galera me dá uma ajuda nessa questão: Determine todas as sequências finitas de números naturais consecutivos cuja soma seja igual a 1000. gabarito: (1000), (198,199,200,201,202), (55,56,57,...,69,70) e (28,29,30,...,51,52) valeu! _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] questão de olimpíada
Valeu Claudio! From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] questão de olimpíada Date: Thu, 31 Mar 2005 14:10:08 -0300 on 31.03.05 12:16, Felipe Nardes at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ae galera me dá uma ajuda nessa questão: Determine todas as sequências finitas de números naturais consecutivos cuja soma seja igual a 1000. gabarito: (1000), (198,199,200,201,202), (55,56,57,...,69,70) e (28,29,30,...,51,52) valeu! Se a sequencia tem um numero impar 2m+1 de termos entao 2m+1 divide 1000, pois a soma de 2m+1 inteiros consecutivos eh igual a 2m+1 vezes o inteiro do meio, igual a 1000/(2m+1). Os divisores impares de 1000 = 2^3*5^3 sao 1, 5, 25 e 125. Os termos do meio respectivos sao 1000, 200, 40 e 8. Repare que 125 nao serve pois a sequencia correspondente teria termos negativos, contrariamente ao enunciado. Logo, teremos 3 sequencias com um numero impar de termos: 1 termo == (1000) 5 termos == (198,199,200,201,202) 25 termos (28,29,...,40,...,51,52) Se a sequencia tem um numero par 2m de termos, entao vai existir um inteiro positivo N tal que 2m*(N + 1/2) = 1000 == m*(2N + 1) = 1000. A sequencia serah: (N-m+1, N-m+2, ..., N-1, N, N+1,...,N+m-1, N+m) Obviamente, N-m+1 = 1 == N = m. 2N + 1 eh um divisor impar de 1000 e eh =3 == 2N + 1 soh pode assumor os valores 5, 25 ou 125 == N soh pode ser 2, 12 ou 62 == os m correspendentes serao 200, 40 e 8 == Soh podemos ter N = 62 8 e a sequencia serah: (55, 56, ..., 62, 63, 64, ..., 69, 70) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PROBLEMA!
EU TENTEI, TENTEI E ATÉ AGORA NÃO ENTENDI AÍ VAI: DADOS 5 NÚMEROS, AS SOMA 2 A 2 SÃO: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13 E 15 RESPECTIVAMENTE. DETERMINE OS NÚMEROS. DESDE JÁ AGRADEÇO. _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Semi-off: lista de discussão de cálculo
Olá. Perdoem o offtopic, mas será que alguém aí conhece alguma lista de matemática (mesmo que não seja brasileira) que discuta especificamente questões de Cálculo? Sei que aqui também discute-se cálculo de vez em quando, mas não é o enfoque. Obrigado! Bruno -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA!
Note que os maiores somam 15 e os menores, zero. Assim, você já tem alguma coisa. Agora, veja quem pode somar 2 e quem pode somar 13... E depois acho que vale o bom chute. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Apr 1, 2005 12:39 PM, Rafael Alfinito Ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: EU TENTEI, TENTEI E ATÉ AGORA NÃO ENTENDI AÍ VAI: DADOS 5 NÚMEROS, AS SOMA 2 A 2 SÃO: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13 E 15 RESPECTIVAMENTE. DETERMINE OS NÚMEROS. DESDE JÁ AGRADEÇO. _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] exericicio difícil!!
Uma corrente de massa igual a 750g e 1,5m de compreimento está jogada no chão.Uma pessoa segura-a por uma das pontas e suspende-a verticalmente, com velocidade contante de 0,5m/s.a)calcule a razão entre a força exercida pela pessoa no instante final, em que está terminando de tirar a corrente do chão, e a força exercida pela pessoa no instante inicial.b)Qual o trabalho realizado? Abraços Vinicius Meireles Aleixo
[obm-l] Exercicios de probabilidades
1- Uma moeda equilibrada é lançada até que,pela primeira vez, o mesmo resultado apareça duas vezes sucessivas. Descreva o espaço amostral desse experimento e calcule a probabilidade dos seguintes eventos: a) O experimento termina antes do sexto lançamento; b) Um numero par de lançamentos é necessário 2- Seis urnas contem, cada uma 12 bolas entre pretas e brancas.Uma urna contem8 bolas brancas. Duas urnas contem 6 bolas brancas e tres urnas contem 4 bolas brancas. Uma urna é selecionada e tres bolas são extraidas. Foram obtidas duas bolas brancas e uma preta. Qual é a probabilidade de que a urna selecionada tenha sido a que tinha 6 brancas e seis pretas? 3- Seis dados são lançados. Qual é a probabilidade de que todos os seis números aparecerão?
[obm-l] questão de potenciaçao
Ola pessoal tudo bem? Um aluno me deu uma questão que me deixou intrigado Poderiam me ajudar O menor natural n tal que ( 3x6x9x12x...3n)/(1x2x3n)seja maiorque 100 qual deve ser o menor valor de n, tal queseja maior que 100?? Obrigado
RE: [obm-l] Conjectura de Poincare
Poincaré Conjecture In its original form, the Poincaré conjecture states that every simply connected closed three-manifold is homeomorphic to the three-sphere (in a topologist's sense) , where a three-sphere is simply a generalization of the usual sphere to one dimension higher. More colloquially, the conjecture says that the three-sphere is the only type of bounded three-dimensional space possible that contains no holes. This conjecture was first proposed in 1904 by H. Poincaré (Poincaré 1953, pp. 486 and 498), and subsequently generalized to the conjecture that every compact n-manifold is homotopy-equivalent to the n-sphere iff it is homeomorphic to the n-sphere. The generalized statement reduces to the original conjecture for n = 3. Tirei do site: http://mathworld.wolfram.com/PoincareConjecture.html The Poincaré conjecture has proved a thorny problem ever since it was first proposed, and its study has led not only to many false proofs, but also to a deepening in the understanding of the topology of manifolds (Milnor). One of the first incorrect proofs was due to Poincaré himself (1953, p. 370), stated four years prior to formulation of his conjecture, and to which Poincaré subsequently found a counterexample. In 1934, Whitehead (1962, pp. 21-50) proposed another incorrect proof, then discovered a counterexample (the Whitehead link) to his own theorem. The n = 1 case of the generalized conjecture is trivial, the n = 2 case is classical (and was known to 19th century mathematicians), n = 3 (the original conjecture) appears to have been proved by recent work by G. Perelman (although the proof has not yet been fully verified), n = 4 was proved by Freedman (1982) (for which he was awarded the 1986 Fields medal), n = 5 was demonstrated by Zeeman (1961), n = 6 was established by Stallings (1962), and was shown by Smale in 1961 (although Smale subsequently extended his proof to include all ). The Clay Mathematics Institute included the conjecture on its list of $1 million prize problems. In April 2002, M. J. Dunwoody produced a five-page paper that purports to prove the conjecture. However, Dunwoody's manuscript was quickly found to be fundamentally flawed (Weisstein 2002). A much more promising result has been reported by Perelman (2002, 2003; Robinson 2003). Perelman's work appears to establish a more general result known as the Thurston's geometrization conjecture, from which the Poincaré conjecture immediately follows (Weisstein 2003). Mathematicians familiar with Perelman's work describe it as well thought-out and expect that it will be difficult to locate any substantial mistakes (Robinson 2003, Collins 2004). In fact, Collins (2004) goes so far as to state, everyone expects [that] Perelman's proof is correct. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Nicolau C. Saldanha Sent: Thursday, March 31, 2005 6:09 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Conjectura de Poincare On Mon, Mar 28, 2005 at 05:58:38PM -0300, Bruno Lima wrote: Pessoal, uma duvida minha, ha mais ou menos ums ano anunciaram por ai que um russo, acho que se chamava Perelman havia resolvido a Conjectura de Poincare, depois nao ouvi mais falar, afinal resolveu?? E o cara recebeu o 1 mi de dolares? Pois eu acho que esse era um dos problemas do intituto Clay. Tanto quanto eu sei, a demonstração ainda está sendo verificada pelos especialistas da área, mas a impressão geral é de que está tudo certo. A demonstração usa análise pesada. E sim, este é um dos problemas milionários. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re[obm-l] exericicio difícil!!
Vinicius escreveu [obm-l] exericicio difícil!! Vinícius Meireles Aleixo Fri, 01 Apr 2005 09:09:57 -0800 Uma corrente de massa igual a 750g e 1,5m de compreimento está jogada no chão.Uma pessoa segura-a por uma das pontas e suspende-a verticalmente, com velocidade contante de 0,5m/s.a)calcule a razão entre a força exercida pela pessoa no instante final, em que está terminando de tirar a corrente do chão, e a força exercida pela pessoa no instante inicial.b)Qual o trabalho realizado? Abraços Vinicius Meireles Aleixo Oi Vinicius. Este problema é uma aplicação do segundo princípio da mecânica, também chmado de lei de Newton: A resultante das forças que atuam num corpo é igual a variação da quantidade de movimento (mv) do corpo. a) No caso o corpo é a parte suspensa da corrente e m sua massa com densidade linear (dm/dl)=(0,750/1,5)=0,5 kg/m. Assim, se F é a força aplicada pela pessoa e mg (admitimos g=10m/s^2) o peso, temos d(mv)/dt= v*dm/dt = F - mg= F = (v^2)(dm/dl)+mg pois dm/dt=(dm/dl)*(dl/dt) e dl/dt=v. No inicio m=0 e no fim 0,75 kg, logo (Ffinal/Finicial)= (0,25*0,5 + 7,5)/0,25*0,5 = 61 (eu acho mais interessante usar frações ordinárias para calcular, mas para digitar...). b) Como despreza-se dissipação de enrgia (fora outras aproximações), O trabalho é a variação de energia cinética mais a de potencial (força peso) A primeira é (Mv^2)/2 , com M= 0,750 kg e a segunda é MgL/2 com L=1,5 m (comprimento da corrente). Abraços Wilner Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencia de numeros compostos
Da Eureka 18, página 61: Você sabia Que existem infinitos inteiros positivos ímpares k tais que k.2^n+1 é composto para todo n ? Tais inteiros k são chamados números de Sierpinski. Em 1962, John Selfridge provou que 78557 é um número de Sierpinski, e conjectura-se que seja o menor deles. Atualmente há 11 números menores que 78557 sobre os quais não se sabe se são números de Sierpinski ou não: 4847, 10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 28433, 33661, 55459 e 67607. O número 5359 fazia parte dessa lista até 6/12/2003, quando Randy Sundquist ( um participante do Seventeen or Bust, um projeto distribuído para atacar o problema de Sierpinski) encontrou o primo 5359.2^5054502+1 , que tem 1521561 dígitos e é o quarto maior primo conhecido, e maior primo conhecido que não é de Merssenne. Veja: http://www.seventeenorbust.com para mais informações. Exercício: Prove que 78557 é um número de Sierpinski, e que existem infinitos números de Sierpinski a partir das congruências 78557.2^0+1=0 (mod 3) 78557.2^1+1=0 (mod 5) 78557.2^7+1=0 (mod 7) 78557.2^11+1=0 (mod 13) 78557.2^3+1=78557.2^39+1=0 (mod 73) 78557.2^15+1=0 (mod 19) 78557.2^27+1=0 (mod 37). Abraços, Gugu P.S.: Agora so' faltam 10: em 30/12/2004 foi achado o primo 28433.2^7830457+1, tirando o 28433 da lista acima. on 02.10.04 21:13, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 02.10.04 12:05, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] E o caso de k*2^n + 1? Para que valor de k isso eh sempre composto? Vou escrever so a solucao pro Super Buffara ver se confere... o raciocinio escrevo assim ki tiver tempo para k*2^n + 1 basta k=[(3*5*11*17)*t + 1] ou k= 2805*t + 1 com t inteiro 0 Boa tentativa, mas 2806*2^8+1 = 718337 eh primo. Por acaso voce usou o TCR? []s, Claudio. Poxa, foi uma bobeira que nao sei explicar... Nesse caso, use a explicacao padrao: era um teste pra ver se as pessoas estavem prestando atencao... olhando de volta no guardanapo onde tinha escrito isso as potencias de 2 eram 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 516 (acho ki embolei 256 e 512) Ja vi piores aqui na lista. Por exemplo, o meu 14 == -1 (mod 13). Agora... se 2^8 fosse 516 tinha matado o problema :). Nao usei TCR nao, quer dizer acho ki nao pelo menos diretamente...fiz meio que reinventando a roda. Infelizmente nao conheco a terminologia matematica suficiente pra classificar o metodo. Mas vou descrever e vc me diz o que que e. Comecei com a mesma ideia dos outros problemas identificar um m onde 2^n = -1 (mod m) pra qualquer n. Como eh impossivel passei ao plano B. Idetinficar alguns 'm's 2^n = -1 (mod m) para parte dos 'n's. Isso na minha opniao eh uma aplicacao abaianada (com todo respeito) do TCR. Possivelmente. Dividi on 'n's em 4 conjuntos: [4t], [4t+1], [4t+2] e [4t+3] Se existir um grupo finito de 'm's onde 2^n = -1 (mod m_i) em todos os casos acima entao k = m_1*m_2*...*m_i + 1. O '11' da minha resposta foi baseado na lambanca anterior de 2^8 = 516 = -1 (mod 11). Agora estou em duvida se da pra achar finitos 'm's. O problema sao os casos onde n eh potencia de 2. Um dia vou aprender matematica e ai vcs vao ver so :). Mas espera sentado viu? Esse eh um teorema provado por Sierpinski: existem infinitos impares k tais que k*2^n + 1 eh composto. Conjectura-se que o menor k com essa propriedade eh 78557 = 17*4621. De uma olhada em: http://www.prothsearch.net/sierp.html []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] desafio
Fatorando,36=1*2*2*3*3 e combinando em tres fatores encontra-se dois com a mesma soma não derimidos pela segunda dica: (1,6,6) e (2,2,9). Mas a terceira dica indica(sem trocadilhos) que os gêmeos são os mais novos. Wilner --- mentebrilhante brilhante [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem pode resolve esse desafio para mim. Dois matemáticos se encontram na rua. Um pergunta para o outro: - Quantos filhos você tem? - Tenho 3. - E qual a idade deles? - Vou te dar uma dica: o produto da idade deles é igual a 36. - Assim não dá. Eu quero mais dicas. - Muito bem! A soma da idade deles é igual ao número daquela casa ali. - Nossa! Dê-me só mais uma dica que eu descubro. - Tome! O mais velho toca piano. - Pronto, agora sim eu sei a idade de seus filhos. Com base no texto acima, você seria capaz de descobrir as idades dos filhos do matemático? - Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] desafio
Dois matemáticos se encontram na rua. Um pergunta para o outro: - Quantos filhos você tem? - Tenho 3. - E qual a idade deles? Sejam a,b,c as idades, com a=b=c - Vou te dar uma dica: o produto da idade deles é igual a 36. As possibilidades sao: a-b-c-a+b+c=S 36010138 18020121 12030116 09040114 09020213* 06060113* 06030211 04030310 [tabela] - Assim não dá. Eu quero mais dicas. Ele quer mais dicas porque conforme a tabela acima existem 8 possibilidades diferentes para a,b,c. - Muito bem! A soma da idade deles é igual ao número daquela casa ali. - Nossa! Dê-me só mais uma dica que eu descubro. Agora ele sabe a soma das idades, mas ainda assim nao conhece os valores de a,b,c. Se a soma S das idades fosse 16, elas seriam 12, 3 e 1, conforme a tabela acima, pois essa eh a unica possibilidade para S=16. O mesmo vale para S=11 (neste caso, segundo a tabela, as idades seriam a=6,b=3 e c=2)... Mas ele ainda nao sabe quais sao as idades, mesmo conhecendo S. Entao S=13, pois este eh o unico caso em que conhecemos S e nao conhecemos com certeza os valores de a,b,c. - Tome! O mais velho toca piano. - Pronto, agora sim eu sei a idade de seus filhos. Como S=13 as possibilidades sao: a-b-c-a+b+c=S 09020213* 06060113* Ha um mais velho, isto eh ab, logo as idades sao 9, 2 e 2. O problema nao esta bem formulado, porque os dois filhos mais velhos poderiam ter menos de 12 meses de diferenca de idade. Acho que a ultima dica poderia ser diferente. === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 2n^2 + p = composto
Mais um pequeno progresso no problema de se achar o menor n tal que 2n^2 + p é composto. Teorema: Se p é um primo da forma 8k + 1 ou 8k + 7, então existem inteiros m, n tais que p = m^2 - 2n^2. p = 17 = 25 - 2*4 == n = 2 p = 23 = 25 - 2*1 == n = 1 p = 31 = 49 - 2*9 == n = 3 p = 41 = 49 - 2*4 == n = 2 p = 71 = 121 - 2*25 == n = 5 p = 73 = 81 - 2*4 == n = 2 p = 79 = 81 - 2*1 == n = 1 p = 89 = 121 - 2*16 == n = 4 ... De onde saiu esse problema? []s, Claudio.
