En: [obm-l] problema de geometria
como eu posso exprimir o lado de uma polígono regular de 18 lados em função do raio da circunferência circunscrita ao polígono? me ajudaria muito na resolução de um problema.. o angulo que cada raio R forma entre eles é 360/18=20º pela lei dos cossenos vc consegue descobrir qual é L(18), basta apenas descobrir cos20º..oq que eu não acho que venha a ser uma tarefa fácil, mas meu tempo agora ta curto.. * cos60= 4(cos20)^3-3cos20 Abraços Vinícius Meireles Aleixo
Re: [obm-l] problema de geometria
acha o angulo interno, ai =180(n-2)/n = 180*16/18=160 como o poligono pode ser dividido em 18 triangulos isosceles iguais em que os angulos da base serao 80º, sendo assim o angulo do vertice sera 20º. cada triangulo isosceles tera como lados o raio da circunferencia e como base o lado do poligono, aplicando a lei dos cossenos, teremos: l^2=r^2+r^2-2*r^2*cos20º l^2=2r^2(1-cos20º) ai e so achar o cos de 20º um abraço, saulo. cos60 = cos3*20 = cos40*cos20 -sen40*sen20 =(2cos^2(20)-1)*cos20 - 2sen20cos20*sen20=1/2 On 6/13/05, Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED] wrote: como eu posso exprimir o lado de uma polígono regular de 18 lados em função do raio da circunferência circunscrita ao polígono? me ajudaria muito na resolução de um problema.. Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um Problema Interessante
Ola Pessoal, Recebi o problema abaixo, que achei interessante. Estou repassando pra voces : Suppose line segments of lengths proportional to 1,2,3,...,n taken in that order form a rectilineal figure each of whose exterior angle is 2*pi/n and a polygon is formed by joining the endpoint of the last segment to the starting point. Find a closed form expression for the area of the polygon. For what values of 'n' is the area an integer? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,0931,130605 _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Integral e coisas tiradas do bolso...
On Sun, Jun 12, 2005 at 06:16:05PM -0300, Denisson wrote: Matemática tá muito ligado a criatividade, certas soluções de problemas podem ser resolvidos por processos mais ou menos mecânicos ou por truques. Não vejo nenhum problema nos truques pois eles refletem que o cara é criativo ou que tem experiencia. Na verdade quanto mais vc se ambienta com a matemática certas soluções que são truques pra algumas pessoas é uma passo inteiramente lógico pra vc. Tipo, quem tá estudando teoria dos números vÊ muito isso, muitos problemas parecem resolvidos por magica. Ou por exemplo ao resolver certas integrais mais dificeis onde vc tem que tirar uma substituição obscura lá que num parece ter nada a ver com a história mas que mata o problema. Essa é a força e graça da matemática... Qual é exatamente a diferença entre uma idéia genial, um truque, um macete e um método? Para mim é uma diferença de ponto de vista. Quem descobriu a idéia e dela se orgulha a considera uma idéia genial. Os amigos dele quando veem a idéia chamam aquilo de truque, com um misto de admiração e inveja. Os adversários que não tiveram a idéia certa na hora certa por despeito chamam de macete. Depois que a idéia já foi usada mais de três vezes ela vira um método. Depois de ser usada 100 vezes a idéia já não tem mais nome nenhum, passa a ser considerada uma trivialidade indigna de ser mencionada. :-) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numeros binomiais, conjectura
Uma outra maneira de provar é usando combinatória: Considere t caixinhas C_1, C_2, ..., C_t, sendo que a caixinha C_i tem A_i objetos, ou seja, temos A = A_1 + A_2 +...+ A_t objetos. Suponha que queiramos retirar um total de n objetos dessas caixas, sem nenhuma restrição. Podemos fazer isso retirando N_i objetos da caixa C_i, de modo que N_1 + N_2 + ... + N_t = n. O número de maneiras de retirar os objetos dessa maneira é igual a produto(C(A_j,n_j),j=1..t. O total de maneiras de retirar n objetos é obtido considerando todas as possibilidades para os números naturais N_1, N_2, ..., N_t tais que N_1 + N_2 + ... + N_t = n; então, esse total é soma(produto(C(A_j,n_j),j=1..t),n_1+...+n_t=n). Mas podemos escolher os n objetos da seguinte maneira: retire todos os A objetos de suas caixas e escolha, dentre eles, os seus n objetos. Há C(A,n) maneiras de se fazer isso. Assim, o total acima é também igual a C(A,n), ou seja, soma(produto(C(A_j,n_j),j=1..t),n_1+...+n_t=n)=C(A,n). A maneira que o Gugu propôs, na verdade, é muito parecida com a que escrevi; ele faz a mesma contagem dupla acima utilizando séries formais (as famosas funções geratrizes). Tem um artigo na Eureka! 12 (não sei ao certo se o número é esse mesmo) falando exatamente sobre esse assunto. Vale a pena ler. []'s Shine --- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: Pelo que eu entendi, os A_i são dados e os N_i variam sobre as t-uplas de naturais cuja soma e' n. Uma prova relativamente curta e' a seguinte: escreva (1+x)^A=produto((1+x)^A_j,j=1..t) e olhe para o coeficiente de x^n em cada um dos dois lados: eles são C(A,n) e soma(produto(C(A_j,n_j),j=1..t),n_1+...+n_t=n), respectivamente. Abraços, Gugu Sejam n = n_1 + n_2 +...+ n_t A = A_1 + A_2 +...+ A_t Entao soma(produto(C(A_j,n_j),j=1..t),n_1+...+n_t=n) = C(A,n) Alguem pode me dizer se essa conjectura eh verdadeira? Se for, ela jah foi provada? Alguns casos particulares sao faceis de ver, por exemplo: C(A+B,2)=C(A,2)C(A,0)+C(A,1)C(B,1)+C(A,0)C(B,2) Supondo que: C(A+B,n)=soma(C(A,i)C(B,n-i),i=1..n) Eh facil mostrar que C(A+B+C,n)=C((A+B)+C,n)= =soma(C(A,i)C(B,j)C(C,k),0=i,j,k=n,i+j+k=n) Ah! O caso C(A+B,n)=soma(C(A,i)C(B,n-i),i=1..n) para n=3 jah verifiquei e estah certo, isto eh: C(A+B,3)=C(A,3)+C(A,2)C(B,1)+C(A,1)C(B,2)+C(B,3) Abra,cos! === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Integral e coisas tiradas do bolso...
Pois é, perfeita observação... Inclusive tem um amigo meu que toda solução que eu apresento ele bota defeito :) se encaixa em um dos perfis definidos. Em 13/06/05, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Sun, Jun 12, 2005 at 06:16:05PM -0300, Denisson wrote: Matemática tá muito ligado a criatividade, certas soluções de problemas podem ser resolvidos por processos mais ou menos mecânicos ou por truques. Não vejo nenhum problema nos truques pois eles refletem que o cara é criativo ou que tem experiencia. Na verdade quanto mais vc se ambienta com a matemática certas soluções que são truques pra algumas pessoas é uma passo inteiramente lógico pra vc. Tipo, quem tá estudando teoria dos números vÊ muito isso, muitos problemas parecem resolvidos por magica. Ou por exemplo ao resolver certas integrais mais dificeis onde vc tem que tirar uma substituição obscura lá que num parece ter nada a ver com a história mas que mata o problema. Essa é a força e graça da matemática... Qual é exatamente a diferença entre uma idéia genial, um truque, um macetee um método? Para mim é uma diferença de ponto de vista. Quem descobriua idéia e dela se orgulha a considera uma idéia genial. Os amigos dele quando veem a idéia chamam aquilo de truque, com um misto de admiraçãoe inveja. Os adversários que não tiveram a idéia certa na hora certapor despeito chamam de macete. Depois que a idéia já foi usada mais de três vezes ela vira um método. Depois de ser usada 100 vezes a idéiajá não tem mais nome nenhum, passa a ser considerada uma trivialidadeindigna de ser mencionada. :-)[]s, N.= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Denisson
Re: [obm-l] problema de geometria
Desculpe a intromissão Saulo, mas acho que já que é prá cair numa equação do terceiro grau, o mais direto e natural é usar a expressão tradicional L = 2*R*sen(180/n) onde n aquí é 18, e se quizer exprimir o sen 10° em frações decimais (irracionais), usar o seno do triplo do arco... --- saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu: acha o angulo interno, ai =180(n-2)/n = 180*16/18=160 como o poligono pode ser dividido em 18 triangulos isosceles iguais em que os angulos da base serao 80º, sendo assim o angulo do vertice sera 20º. cada triangulo isosceles tera como lados o raio da circunferencia e como base o lado do poligono, aplicando a lei dos cossenos, teremos: l^2=r^2+r^2-2*r^2*cos20º l^2=2r^2(1-cos20º) ai e so achar o cos de 20º um abraço, saulo. cos60 = cos3*20 = cos40*cos20 -sen40*sen20 =(2cos^2(20)-1)*cos20 - 2sen20cos20*sen20=1/2 On 6/13/05, Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED] wrote: como eu posso exprimir o lado de uma polígono regular de 18 lados em função do raio da circunferência circunscrita ao polígono? me ajudaria muito na resolução de um problema.. Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Integral e coisas tiradas do bolso...
Confesso que exagerei um pouco, Saldanha, mas convenhamos que, entre tabelar as derivadas e perceber que multiplicando e dividindo sec x por (sec x + tg x) obtem-se a derivada dividida pela derivanda vai um caminho não trivial. Mas concordamos em que pode existir um trabalho escondido atrás da sorte... --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Sun, Jun 12, 2005 at 01:35:22PM -0300, Eduardo Wilner wrote: Prezado Nicolau Seu exemplo, coincidentemente, bate com o que aconteceu comigo quando resolví um problema de construção geométrica proposto pelo Bruno França dos Reis. Não conformado com a falta de elegância da minha proposta, continuei trabalhando o problema e achei algo muito interessante (que qualquer dia eu posto aquí) e muito mais simples. Mas não seria esse um exemplo que a tal da sorte em Matemática vem também da prática; da experiência e do trabalho; de sangue suor e lágrimas...? O próprio artifício (meu filho caçula chama, brincando, de Matemágica) que o Bernardo aquí contestou, não teria saído após muitas e exaustivas tentativas? Neste caso acho que nem tantas. Quando o conceito de derivada se firma, uma das primeiras coisas a fazer é preparar uma tabela. A partir dela fica fácil... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] integral muito dificil
Boa tarde pessoal,
Deparei-me com uma integral que não conseguimos resolver de maneira nenhuma, achamos até que não tinha solução analitica. Pergunto:
Existe algum mecanismo que diga se uma integral é soluvel analitacamente?
Calcular int {sqrt [1 + (cosx)^2]}
desde já agradeço
__
UOL Fone: Fale com o Brasil e o Mundo com at 90% de economia
http://www.uol.com.br/fone
[obm-l] soma binomial
Sauda,c~oes,
Alguém saberia provar que
\sum_{k=0}^n (3k-2n) \binom{n}{k}^2 \binom{2k}{k} = 0 ?
[]'s
Luís
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[obm-l] Gabaritos
Caros(as) Olímpicos(as) Gabaritos no site Confiram! P.S. Acho que a [EMAIL PROTECTED] vai ser demitida. Abraços, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Gabaritos
Nelly, a resolução do problema de número 14 da 1a fase da OBM nível 3 está incorreta. A resposta certa é o item (C) André. On 6/13/05, Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros(as) Olímpicos(as)Gabaritos no siteConfiram!P.S. Acho que a [EMAIL PROTECTED] vai ser demitida. Abraços, Nelly.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
[obm-l] questao 14 do nivel 3 da obm (axu q tem erro no gabarito)
Por favor, alguem poderia me confirmar, ou apontar o meu erro, se o gabarito da questao 14 do nivel 3 da obm está errada no site da obm??? No gabarito está dizendo q 6 só faz números triangulares com 9 e 4 (com os números do relógio), porém, no relógio da questao, aparece o 1 vizinho ao 6 ( 7 nao é número triangular) desde já agradeço Diogo _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Integral e coisas tiradas do bolso...
Amigos da lista, este é um terreno movediço, e devo lembrar que trabalho com Ensino Medio, que apresenta certas peculiaridades, mas cabe citar Polya, que (procurei a citacao, mas não achei) escreveu "a trick is a device you use twice", acho que é isso. A nivel de Ensino Medio, isso significa liberar os alunos de decorar a formula da bissetriz interna relativa ao lado a de um triangulo ( dados os lados a, b e c) e utilizar a lei dos co-senos duas vezes, junto com o teorema da bissetriz. Acredito que seja mais produtivo, em termos de raciocinio, do que ficar decorando as formulas para os comprimentos de alturas, medianas, bissetrizes (internas e externas) e cevianas em geral. Claro que isso é só um exemplo, procuro melhorar as minhas aulas de ano para ano, e recomendo aos outros professores do Ensino Medio da lista o Polya e o Gelfand. Fora os livros da minha epoca, que agora so nos sebos. Ou, sem modestia, aqui em casa. abracos, olavo.From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] Integral e coisas tiradas do bolso...Date: Mon, 13 Jun 2005 10:11:31 -0300Qual é exatamente a diferença entre uma idéia genial, um truque, um macetee um método? Para mim é uma diferença de ponto de vista. Quem descobriua idéia e dela se orgulha a considera uma idéia genial. Os amigos delequando veem a idéia chamam aquilo de truque, com um misto de admiraçãoe inveja. Os adversários que não tiveram a idéia certa na hora certapor despeito chamam de macete. Depois que a idéia já foi usada maisde três vezes ela vira um método. Depois de ser usada 100 vezes a idéiajá não tem mais nome nenhum, passa a ser considerada uma trivialidadeindigna de ser mencionada. :-)[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Gabaritos
O André tem razão quanto a questão 14. Corrigiremos o gabarito imediatamente. Três Esmeraldos com medalhas na OBM e na IMO não perceberam que o primeiro desenho do relógio no gabarito está errado!! Valeu André! Ed. --- Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros(as) Olímpicos(as) Gabaritos no site Confiram! P.S. Acho que a [EMAIL PROTECTED] vai ser demitida. Abraços, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Gabaritos
Qual o numero de acertos que é considerado uma boa nota? ( nivel 3 ) Qual a expectativa pra nota de corte? Um abraço! Fabio
[obm-l] Re: [obm-l] questao 14 do nivel 3 da obm (axu q tem erro no gabarito)
então , eu tb achei estranho o gabarito , quando eu fiz a prova deu que o número que deveria ocupar a posição do 6 (se eu bem me lembro , pois não estou com a minha prova) era o 5.!!E de fato , 7 é número triângular. -- Mensagem original -- Por favor, alguem poderia me confirmar, ou apontar o meu erro, se o gabarito da questao 14 do nivel 3 da obm está errada no site da obm??? No gabarito está dizendo q 6 só faz números triangulares com 9 e 4 (com os números do relógio), porém, no relógio da questao, aparece o 1 vizinho ao 6 ( 7 nao é número triangular) desde já agradeço Diogo _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Divisão com Resto
Essa pergunta vai mais especificamente para o prof. Nicolau Saldanha, pois tem a ver mais com umas notas dele, mas quem souber responder, por favor, sinta-se à vontade :) Prof. Nicolau Saldanha, Recentemente eu entrei numa discussão com colegas de universidade pq a gente tava construindo um aplicativo que em dado ponto era necessário redefinir a operação de divisão com resto. Eu defendi que era conveniente construir de modo que o resto seja sempre =0 pra evitar ambiguidades. Mas outro cara disse que não havia problema algum pois o operador % das linguagens de programação retorna números negativos dependendo do caso. Isso é verdade, embora eu nunca tenha percebido, pelo menos em Java e Python (as linguagens disponíveis nesse computador no momento). Assim por exemplo a operação -5%-2 retorna -1, e portanto o quociente é dois. Porém nas suas notas sobre primos de mersenne na página 9 vc diz, mais ou menos (e foi o que eu aprendi em teoria dos números): Dados a, b inteiros, b !=0, então existe (e são únicos) q, r inteiros, r=0 tal que a=qb+r. Além disso se b0, q= função teto (a/b). Isso significa que -5 dividido por -2 retorna q=3 e r=1, satisfazendo as condições. Agora a pergunta: Pq essa ambiguidade? Há uma razão especial para as linguagens de programação (pelo menos essas) usarem uma definição diferente da tradicional (de que o resto deve ser positivo para garantir a unicidade)? Obrigado,-- Denisson
