[obm-l] Furo no Bartle? Integracao.
Olá pessoal. Agradeco aos que me responderam no outro topico. O problema agora é o seguinte: Estou aqui com o livro The elements of Real Analysis segunda (e mais recente) edicao. Na pagina 218 na seção sobre integrais de Riemann-Stieltjes, reza o teorema 29.6 (a) "Suppose that a <= c <= b and that f is integrable with respect to g over both of the subintervals [a,c] and [c,b]. Then f is integrable with respect to g on the interval [a,b] and Integral[a,b](f dg) = Integral[a,c](f dg) + Integral[c,b](f dg)" Bom, eu acho que no capitulo todo nao há nenhuma restricao para f a nao ser que seja limitada. Sendo assim apresento um contra exemplo. Sejam a < c < b , f(t) = 1 se t pertence a (c,b] f(t) = 0 caso contrario, g(t) = 1 se t pertence a [c,b] g(t) = 0 caso contrario Nesse caso, prova-se que existem Integral[a,c]f(dg) e Integral[b,c]f(dg) mas nao Integral[a,b]f(dg) Realmente acho dificil que o Bartle esteja enganado, mas gostaria da opinao dos outros participantes da lista. Um abraço -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x))" Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] GEOMETRIA
Alguem por favor resolva esse problema para mim: Considere uma circuferência de diâmetro AB e centro O, por A trace uma tangente. Seja o ponto N pertence a essa reta tangente, por ele trace uma secante à circunferencia que a corta nos pontos P e Q respectivamente e intercepta o prolongamento do diâmetro no ponto C. a) Calcular o segmento OC em funcao do raio (r) e do angulo AOP b) Calcular o limite de OC quando o angulo AOP tende a zero. Grato, Danilo Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] RES: [obm-l] Progressão aritmética
1 - Se {a_n}, n=1 , 2, 3 eh uma PA de razao r , entao a_n = a_1 +
(n-1)*r e, para todos inteiros positivos n e m, a_m + a_n = 2*a_1 + (m + n
-2)*r . Se a PA tiver un mumero infinto de termos, isto serah um termo de
{a_n} sse existir um inteiro positivo p tal que 2*a_1 + (m + n -2)*r = a_1 +
(p-1)*r => a_1 = (p - m - n +1)*r, do que deduzimos que a_1 tem que ser um
multiplo inteiro de r. Como, alem disto, a equacao vale para m=n =1, tem que
existir um inteiro p>=1 tal que a_1 = (p-1)*r, o que implica que a_1 e r
tenham o mesmo sinal se nenhum deles for nulo. Se r =0, entao a_1 =0, e se
a_1 =0 entao as condicoes requeridas sao automaticamente satisfeitas. Assim,
uma condicao necessaria para o desejado eh que a_1 seja multiplo inteiro e
positivo de r ou que a_1 =0. Se esta condicao vigorar com a_1<>0, entao a_1
= k*r para algum inteiro positivo k e, para todos inteiros positivos m e n,
temos que a_m + a_n = 2*k*r a_1 + (m + n -2)*r = a_1 + (m +n +k -2)*r.
Como m +n +k -2>=0, concluimos que a_m + a_ne h termo da PA, de modo que a
condicao dada eh necessria e suficiente.
Se a PA tiver um numero finito de termos, digamos N, entao a condicao so
sera satisfeita (trivialmente) se a_1 = r = 0. De fato. mesmo se a_1 = k*r,
k>=1, temos a_N + a_N =a_1 + (2N+k -2)*r. Como 2N + k-2 >= 2N -1 >= N,
seguese que a_N + a_N nao eh termo da PA.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Rodrigo Augusto
Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 15:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Progressão aritmética
se alguém puder me ajudar com esses dois exercícios...
1 - Quais as P.A. nas quais as somas de dois termos quaisquer faz parte da
progressão?
2 - Determine uma P.AA de razão 1, sabendo que o número de termos é
divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem n/3 é 4.
valeu
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
http://www.msn.com.br/discador
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RES: [obm-l] Subconjunto fechado e denso em R
Na realidade, voce provou que, em todo espaco topologico X, o unico subconjunto fechado e denso eh o proprio X. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 16:24 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Subconjunto fechado e denso em R Bom, vamos tentar ver se (seguindo a sua idéia) só existe um único conjunto fechado e denso em R, que é o próprio R: Seja A contido em R, fechado e denso. O que quer dizer que A é fechado? Bom, que fecho(A) = A, certo? Mas e o que quer dizer que A é denso em R? Ora, que fecho(A) = R. Daí, como você pode ver, temos A = fecho(A) = R, logo realmente R só tem um subconjunto fechado e denso, que é ele mesmo. Repare que nessa demonstração não foi usado nada em particular da topologia de R, ou seja nós provamos que: "Um conjunto não possui subconjuntos próprios fechados e densos" Espero que esteja certo, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/12/05, Ana Evans Merryl <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi > > Algúem poderia dar um exemplo de um subconjunto > proprio de R que seja fechado e denso em R? > > O único exemplo que achei de conjunto fechado e denso > em R é o próprio R. > > Obrigada > Ana > > __ > Do You Yahoo!? > Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around > http://mail.yahoo.com > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
Bom, esta é uma propriedade legal das "séries X^(-k!)". Uma idéia é
que estes números são "muito bem aproximados por racionais", e que
portanto não podem ser algébricos (eu acho que eu sei provar que eles
não são racionais, mas a parte dos algébricos eu não lembro direito).
Veja que o truncamento desta série é um racional, calcule a diferença
(use que a(k) é limitada para isso) e veja que ela é muito menor do
que o maior denominador (estime a potência p tal que | irr -
truncamento_em_n | <= (X^(-n!))^p)
Eu acho que é por aí.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 8/12/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Nesta solucao, a base apontada pelo Daniel eh o que se chama de base de
> Hamel?
> Nenhuma base de R sobre Q popde ser enumeravel, certo?
>
> Sobre este assunto, especificamente sobre a questao levantada pelo Nicolau,
> no sentido de efetivamente construirmos o conjunto, eu encontrei na internet
> uma solucao proposta por um matematico americano, que nao sei dizer dizer se
> eh correta:
>
>
> Sendo S a colecao de todas as sequencias limitadas de R, entao, segundo o
> matematico, o conjunto A = {Soma(k=1 a oo) a(k)/(2^(k!) | sequencia {a(k)}
> pertence a S} satisfaz ao desejado. Eh facil ver que A nao eh enumeravel e
> que eh fechado com relacao aa soma. O matematico afirma que o Liouville's
> Approximation Theorem , Teorema da Aproximação de Liouvile, implica que os
> elementos de A sejam transcendentes, logo irracionais (nao foi apresentada
> prova desta afirmacao). Se o matematico estiver certo, entao temos de fato
> um conjunto construido explicitamente sem recorrer ao axioma da escolha.
>
> Artur
>
>
>
>
>
>
>
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de Nicolau C. Saldanha
> Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 09:22
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
>
>
> On Thu, Aug 11, 2005 at 09:28:31PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> > '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja
> fechado
> > '>'com relacao aa soma
> >
> > Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
> > (racionais), então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável
> > sobre Q, e,
> > portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
> > é não-enumerável.
> >
> > Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}.
>
> Esta solução (correta) usa o axioma da escolha para obter a base e portanto
> o conjunto obtido no final não é dado explicitamente.
>
> Uma pergunta que eu nao sei reponder:
>
> É possível responder a pergunta original com a interpretação de que
> "encontre" significa "construa" ou "descreva explicitamente"
> (sem usar o axioma da escolha)?
>
> []s, N.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Subconjunto fechado e denso em R
Bom, vamos tentar ver se (seguindo a sua idéia) só existe um único conjunto fechado e denso em R, que é o próprio R: Seja A contido em R, fechado e denso. O que quer dizer que A é fechado? Bom, que fecho(A) = A, certo? Mas e o que quer dizer que A é denso em R? Ora, que fecho(A) = R. Daí, como você pode ver, temos A = fecho(A) = R, logo realmente R só tem um subconjunto fechado e denso, que é ele mesmo. Repare que nessa demonstração não foi usado nada em particular da topologia de R, ou seja nós provamos que: "Um conjunto não possui subconjuntos próprios fechados e densos" Espero que esteja certo, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/12/05, Ana Evans Merryl <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi > > Algúem poderia dar um exemplo de um subconjunto > proprio de R que seja fechado e denso em R? > > O único exemplo que achei de conjunto fechado e denso > em R é o próprio R. > > Obrigada > Ana > > __ > Do You Yahoo!? > Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around > http://mail.yahoo.com > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Subconjunto fechado e denso em R
Oi Algúem poderia dar um exemplo de um subconjunto proprio de R que seja fechado e denso em R? O único exemplo que achei de conjunto fechado e denso em R é o próprio R. Obrigada Ana __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Progressão aritmética
se alguém puder me ajudar com esses dois exercícios... 1 - Quais as P.A. nas quais as somas de dois termos quaisquer faz parte da progressão? 2 - Determine uma P.AA de razão 1, sabendo que o número de termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que o termo de ordem n/3 é 4. valeu _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios
1- A = numero de alunos que tem pais professores n(A) = n-120 B = numero de alunos que tem mae professor n(B) = n-130 Aintercessao com B = mae e pai professor , n(AinterB)=5 Auniao com B = soma do numero de alunos que possuem um pai ou uma mae professores ou os dois. n(AuniaoB)= n(A)+n(B)-n(AinterB) 55 = n-120 +n-130-5 2n = 310 n= 155 2- n(A - (B união C)) = 15 n(B- (A união C)) = 20 n(C-(A união B)) =35 n(A união B união C) = 120 N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) U =uniao I= intercessao Se vc fizer o diagrama de Venn, vc vai ver que: n(A união B união C)= n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) 120=15+20+35+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))=50 O dado estranho e erro de impressao On 8/11/05, admath <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > 1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 não > tem mãe professora e 5 tem mãe e pai professores. Qual o número de alunos do > colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e > que não existem alunos irmãos? > > Resp: 155 > > > > 2) Se A, B e C são conjuntos tais que n(A - (B união C)) = 15, n(B-A (A > união C)) = 20, n(C-(A união B)) =35 e n(A união B união C) = 120, então, > N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) é igual a quanto? > > > > Resp: 50 esse exercício é do livro do iezzi (volume 1)..esse dado: > > n(B-A (A união C)) = 20 não está estranho? > > > > Obrigado. > > __ > Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger > http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao
Definamos g:R^2 --> R por g(x,y)= x^2 + y^2. Das condicoes dadas segue-se que existe uma funcao h:[0, oo) --> R que, a cada r>=0, associa o valor de u quando (x,y) pertence aa circunferencia de raio r. Para cada par (x,y) temos que (x,y) pertence aa circunferencia de raio raiz(g(x,y)). Como u eh constante nesta circunferencia, u(x,y) = h(raiz(g(x,y)). Se agora definirmos f:[0, oo)--> R por f(r) = h(raiz(r)), temos que u(x,y) = f(x^2 + y^2). Artur --- Fabio Niski <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Em um curso que estou fazendo é recorrente o > seguinte tipo de raciocinio: > Descobre-se que uma certa funcao desconhecida u(x,y) > -> R é constante em > cada circunferencia centrada na origem. Deduz-se dai > que > u(x,y) = f(x^2 + y^2) , onde f é uma funcao > generica. > Bom, pra mim é bem aceitavel esse fato, afinal se é > constante em cada > circunferencia o valor de u só varia quando passamos > para outra > circunferencia assim u é funcao de x^2 + y^2. O > problema é que eu acho > esse meu argumento pouco preciso matematicamente. > Alguem sabe como eu > demonstro (se precisar) tal fato? > > Obrigado > -- > Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski > > "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made > use of it; shoud it > be feared that sin^2(x) might become ambiguous, > which would perhaps > never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, > but not sin^2(X), which > by analogy should signify sin(sin(x))" > > Carl Friedrich Gauss > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao
Fabio Niski wrote: Em um curso que estou fazendo é recorrente o seguinte tipo de raciocinio: Descobre-se que uma certa funcao desconhecida u(x,y) -> R é constante em cada circunferencia centrada na origem. Deduz-se dai que u(x,y) = f(x^2 + y^2) , onde f é uma funcao generica. Bom, pra mim é bem aceitavel esse fato, afinal se é constante em cada circunferencia o valor de u só varia quando passamos para outra circunferencia assim u é funcao de x^2 + y^2. O problema é que eu acho esse meu argumento pouco preciso matematicamente. Alguem sabe como eu demonstro (se precisar) tal fato? Mude suas variáveis pra coordenadas polares que fica imediato. Se a função, ao invés de u(x,y) for u(r,theta), o enunciado diz que u(r,theta)=f(r). Mas r=x^2+y^2, o que comprova sua constatação. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
Nesta solucao, a base apontada pelo Daniel eh o que se chama de base de
Hamel?
Nenhuma base de R sobre Q popde ser enumeravel, certo?
Sobre este assunto, especificamente sobre a questao levantada pelo Nicolau,
no sentido de efetivamente construirmos o conjunto, eu encontrei na internet
uma solucao proposta por um matematico americano, que nao sei dizer dizer se
eh correta:
Sendo S a colecao de todas as sequencias limitadas de R, entao, segundo o
matematico, o conjunto A = {Soma(k=1 a oo) a(k)/(2^(k!) | sequencia {a(k)}
pertence a S} satisfaz ao desejado. Eh facil ver que A nao eh enumeravel e
que eh fechado com relacao aa soma. O matematico afirma que o Liouville's
Approximation Theorem , Teorema da Aproximação de Liouvile, implica que os
elementos de A sejam transcendentes, logo irracionais (nao foi apresentada
prova desta afirmacao). Se o matematico estiver certo, entao temos de fato
um conjunto construido explicitamente sem recorrer ao axioma da escolha.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 09:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
On Thu, Aug 11, 2005 at 09:28:31PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja
fechado
> '>'com relacao aa soma
>
> Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
> (racionais), então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável
> sobre Q, e,
> portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
> é não-enumerável.
>
> Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}.
Esta solução (correta) usa o axioma da escolha para obter a base e portanto
o conjunto obtido no final não é dado explicitamente.
Uma pergunta que eu nao sei reponder:
É possível responder a pergunta original com a interpretação de que
"encontre" significa "construa" ou "descreva explicitamente"
(sem usar o axioma da escolha)?
[]s, N.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] funcao
Em um curso que estou fazendo é recorrente o seguinte tipo de raciocinio: Descobre-se que uma certa funcao desconhecida u(x,y) -> R é constante em cada circunferencia centrada na origem. Deduz-se dai que u(x,y) = f(x^2 + y^2) , onde f é uma funcao generica. Bom, pra mim é bem aceitavel esse fato, afinal se é constante em cada circunferencia o valor de u só varia quando passamos para outra circunferencia assim u é funcao de x^2 + y^2. O problema é que eu acho esse meu argumento pouco preciso matematicamente. Alguem sabe como eu demonstro (se precisar) tal fato? Obrigado -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x))" Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
On Thu, Aug 11, 2005 at 09:28:31PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja fechado
> '>'com relacao aa soma
>
> Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
> (racionais), então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável
> sobre Q, e,
> portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
> é não-enumerável.
>
> Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}.
Esta solução (correta) usa o axioma da escolha para obter a base e portanto
o conjunto obtido no final não é dado explicitamente.
Uma pergunta que eu nao sei reponder:
É possível responder a pergunta original com a interpretação de que
"encontre" significa "construa" ou "descreva explicitamente"
(sem usar o axioma da escolha)?
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