RES: RES: [obm-l]
Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando calculo. Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k0 dado que a_1 * a_2 *.a_n = p a_1,...a_n 0, entao acho que a solucao algebrica ia complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade MA = MG.A solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n = p^(1/n). Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar.Soh hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes sao classe C^2 Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03Para: obm-lAssunto: RE: RES: [obm-l] Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte: Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então: (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n)= 2^n e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 = i = n. Agora, sabemos que se o produto dem números positivos for 1, então a soma desses números é =m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA = MG). Expandindo o lado esquerdo, teremos: 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n ... S_n = a_1*a_2*...*a_n. É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k= Binom(n,k). Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n. Finalmente, vale a igualdade == S_1 = Binom(n,1) = n == a_1 = ... = a_n. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 Assunto: RE: RES: [obm-l] Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. []s, Daniel ''Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, o ''problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores de ''Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao ''necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se decidir ''se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh maximo ''ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no caso ''em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas ''parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos ''garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, exige ''condicoes de convexidade ou concavidade. ''Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como este, ''em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me lembro ''dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto eh ''maximo ou minimo global. '' ''Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l]
Na realidade, complica muito pouco. Pelo produto de Stevin e MA =MG dah facilmente pra ver que, tambem neste caso mais geral,o minimo ocorre quando os a_i sao iguias. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Artur Costa SteinerEnviada em: terça-feira, 4 de outubro de 2005 11:18Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: RES: [obm-l] Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando calculo. Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k0 dado que a_1 * a_2 *.a_n = p a_1,...a_n 0, entao acho que a solucao algebrica ia complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade MA = MG.A solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n = p^(1/n). Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar.Soh hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes sao classe C^2 Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03Para: obm-lAssunto: RE: RES: [obm-l] Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte: Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então: (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n)= 2^n e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 = i = n. Agora, sabemos que se o produto dem números positivos for 1, então a soma desses números é =m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA = MG). Expandindo o lado esquerdo, teremos: 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n ... S_n = a_1*a_2*...*a_n. É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k= Binom(n,k). Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n. Finalmente, vale a igualdade == S_1 = Binom(n,1) = n == a_1 = ... = a_n. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 Assunto: RE: RES: [obm-l] Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. []s, Daniel ''Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, o ''problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores de ''Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao ''necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se decidir ''se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh maximo ''ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no caso ''em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas ''parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos ''garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, exige ''condicoes de convexidade ou concavidade. ''Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como este, ''em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me lembro ''dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto eh ''maximo ou minimo global. '' ''Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Funcao de Lipschitz
Eu acho esses problemas sobre funcoes de Lipschitz bonitinhos:
(1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D = R^m Lipschitz em D. Mostre que
(a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada a f em D. (b) Se K eh
esta menor constante, entao, para todo eps 0, existem x1 e x2x1 em D tais
que ||f(x2) - f(x1|/|x2 - x1| - K| eps (c) Se K eh constante de Lipschitz
de f em D e existirem x1x2 em D tais que |f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| ,
entao K eh a menor constante de Lipschitz de f em D. A reciproca eh
verdadeira?
(2) Sejam I um intervalo de R e f:I = R derivavel em I. Entao, f eh
Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que K
=supremo {|f'(x)| | x estah em I} eh a menor constante de Lipschitz de f em
I.
Lembrando, f eh Lipschitz em D se existir uma constante K0 tal que |f(x2)
- f(x1)| = K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. Eh imediatpo que se K for
constante de Lipschitz, entao todo K' K tambem eh.
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Conjunto dos pontos de continuidae de derivdas
Este eh um fato interessante e pouco difundido. Mostre que, se f:I = R eh derivavel no intervalo I, entao o conjunto dos pontos de continuidade de f' eh denso em I. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Eureka No. 22
Prezados(as) amigos(as), A Eureka! No. 22 já está no site da OBM contendo as melhores soluções da Terceira Fase da OBM-2004. Confiram! www.obm.org.br/eureka.htm Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:RES: RES: [obm-l]
Pois é.É só normalizar, pondo b_i = a_i/(k*p^(1/n)), que caímos no problema original. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 4 Oct 2005 11:49:38 -0300 Assunto: RES: RES: [obm-l] Na realidade, complica muito pouco. Pelo produto de Stevin e MA =MG dah facilmente pra ver que, tambem neste caso mais geral,o minimo ocorre quando os a_i sao iguias. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Artur Costa SteinerEnviada em: terça-feira, 4 de outubro de 2005 11:18Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: RES: [obm-l] Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando calculo. Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k0 dado que a_1 * a_2 *.a_n = p a_1,...a_n 0, entao acho que a solucao algebrica ia complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade MA = MG.A solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n = p^(1/n). Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar.Soh hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes sao classe C^2 Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03Para: obm-lAssunto: RE: RES: [obm-l] Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte: Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então: (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n)= 2^n e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 = i = n. Agora, sabemos que se o produto dem números positivos for 1, então a soma desses números é =m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA = MG). Expandindo o lado esquerdo, teremos: 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n ... S_n = a_1*a_2*...*a_n. É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k= Binom(n,k). Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n. Finalmente, vale a igualdade == S_1 = Binom(n,1) = n == a_1 = ... = a_n. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 Assunto: RE: RES: [obm-l] Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. []s, Daniel ''Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, o ''problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores de ''Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao ''necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se decidir ''se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh maximo ''ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no caso ''em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas ''parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos ''garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, exige ''condicoes de convexidade ou concavidade. ''Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como este, ''em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me lembro ''dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto eh ''maximo ou minimo global. '' ''Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: RES: [obm-l]
Não dá para usar homogeneidade neste caso? Basta fazer a_1 =k*A_1 e podemos farorar o K. O jeitão do produto muda mas parece que da para adaptar... --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Esta solucao ficou bem legal! bem mais interessante que usando calculo. Mas e tivessemos algo mais geral do tipo, minimizar (k + a_1).(k +_a_n), k0 dado que a_1 * a_2 *.a_n = p a_1,...a_n 0, entao acho que a solucao algebrica ia complicar, embora talvez ainda de pra sair pelo produto de Stevin e desigualdade MA = MG. A solucao otima continuria sendo com a_1 = a_n = p^(1/n). Neste caso ate que nao eh tao dificil analisar. Soh hah um ponto extremo, a funcao eh limitada inferiormente, ela e a as restricoes sao classe C^2 Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de claudio.buffara Enviada em: segunda-feira, 3 de outubro de 2005 20:03 Para: obm-l Assunto: RE: RES: [obm-l] Talvez um enunciado mais claro pro problema original seja o seguinte: Se a_1, a_2, ..., a_n são reais positivos quaisquer cujo produto é 1, então: (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 2^n e vale a igualdade se e somente se a_i = 1 para 1 = i = n. Agora, sabemos que se o produto de m números positivos for 1, então a soma desses números é = m com igualdade se e somente se todos os números são iguais (isso é simplesmente a desigualdade MA = MG). Expandindo o lado esquerdo, teremos: 1 + S_1 + S_2 + ... + S_(n-1) + S_n, onde: S_k = soma dos produtos dos a_i tomados k a k. Assim, S_1 = a_1 + a_2 + ... + a_n, S_2 = a_1*a_2 + a_1*a_3 + ... + a_(n-1)*a_n ... S_n = a_1*a_2*...*a_n. É fácil ver que S_k possui Binom(n,k) parcelas, cujo produto é 1, de modo que S_k = Binom(n,k). Assim, o lado esquerdo é maior ou igual que: 1 + Binom(n,1) + Binom(n,2) + ... + Binom(n,n) = 2^n. Finalmente, vale a igualdade == S_1 = Binom(n,1) = n == a_1 = ... = a_n. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 3 Oct 2005 19:02:31 -0300 Assunto: RE: RES: [obm-l] Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa solução que nem exigi muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. []s, Daniel ''Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, o ''problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores de ''Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao ''necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se decidir ''se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh maximo ''ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no caso ''em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas ''parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos ''garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, exige ''condicoes de convexidade ou concavidade. ''Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como este, ''em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me lembro ''dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto eh ''maximo ou minimo global. '' ''Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
Esta estratégia parece mais complicada do que deveria ser... Me parece que so a simetria central e util, ou seja: 1- Colocar a primeira moeda no centro; 2- Colocar a moeda simetrica a ultima moeda do adversario, em relacao ao centro da mesa. Mas a sua estrategia parece correta. --- David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Dois jogadores colocam alternadamente moedas sobre uma mesa redonda, sem sobrepor as moedas. O jogador que não puder colocar uma moeda perde. Quem tem a estratégia vencedora? Se você for o primeiro jogador, acho que existe uma estratégia: Comece colocando a primeira moeda no centro da mesa. Agora fixe uma linha imaginária que divida a mesa em dois pedaços iguais (uma linha passando pelo centro da mesa redonda). A partir daí, para cada jogada que o adversário fizer, jogue na posição simétrica àquela que o adversário jogou (em relação a sua linha imaginária). Acho que se o adversário encontrou algum espaço para colocar uma moeda numa das metades, então vc também encontrará na outra. Caso ele coloque a moeda por cima da linha imaginária, acho que vc precisa traçar uma segunda linha, perpendicular à linha original e também passando pelo centro da mesa, e usar essa segunda para fazer a simetria desse caso. []'s David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Funcao de Lipschitz
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Tue, 4 Oct 2005 12:16:28 -0300
Assunto:
[obm-l] Funcao de Lipschitz
Eu acho esses problemas sobre funcoes de Lipschitz bonitinhos:
(1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D = R^m Lipschitz em D. Mostre que
(a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada a f em D.
Seja A = {K em R | |f(x) - f(y)| = K*|x - y| para todos x e y em D}.
É claro que A é limitado inferiormente (por 0, por exemplo) de modo que existe L = inf(A).
Se f for constante, então L = 0. Assim, suponhamos que f não é constante e, em particular, que D tem mais do que um elemento. Isso quer dizer que L 0.
Suponhamos que L não pertence a A, ou seja, que A = (L,+infinito).
Então existema eb em D tais que, para todo eps 0:
0 L*|b - a| |f(b) - f(a)|= (L + eps)*|b - a|
Como eps é arbitrário, isso quer dizer que:
0 L*|b - a| |f(b) - f(a)| = L*|b - a| ==
contradição ==
L pertence a A.
(b) Se K eh esta menor constante, entao, para todo eps 0, existem x1 e x2x1 em D tais
que ||f(x2) - f(x1)|/|x2 - x1| - K| eps
Dado eps 0, existem x e y em D tais que x y e:
(K - eps)*|x - y| |f(x) - f(y)| (K + eps)*|x - y| ==
K - eps |f(x) - f(y)|/|x - y| K + eps ==
||f(x) - f(y)|/|x - y| - K| eps
(c) Se K eh constante de Lipschitz
de f em D e existirem x1x2 em D tais que:
|f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| ,
entao K eh a menor constante de Lipschitz de f em D. A reciproca eh
verdadeira?
K é constante de Lipschitz mas, para todo eps 0, teremos:
|f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| (K - eps)*|x2 - x1| ==
K - eps não é constante de Lipschitz ==
K é a menor constante de Lipschitz de f em D.
A recíproca não vale.
Seja f:(1,+infinito) - R dada por f(x) = raiz(x).
Então, dados x y em (1,+infinito), teremos:
raiz(y) - raiz(x) = (y - x)/(raiz(y) + raiz(x)) (y - x)/2,
de modo que f é Lipschitz com constante 1/2.
No entanto, não existem x e y distintos em (1,+infinito) tais que:
|raiz(y) - raiz(x)| = (1/2)*|y - x|,
pois dividindo ambos os membros por |raiz(y) - raiz(x)|, obteremos:
raiz(y) + raiz(x) = 2, o que é impossível com x e y em (1,+infinito).
(2) Sejam I um intervalo de R e f:I = R derivavel em I. Entao, f eh
Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que K
=supremo {|f'(x)| | x estah em I} eh a menor constante de Lipschitz de f em
I.
Se |f'(x)| = M para todo x em I, então, dados x y em I, pelo TVM existirá z tal que x z y e |f(y) - f(x)| = |f'(z)|*|y - x| = M*|y - x| == f é Lipschitz em I com constante M
Reciprocamente, se f é Lipschitz em I com constante K, então, dado a em I, para todo x em I - {a} teremos- K = (f(x) - f(a))/(x - a) = K ==
-K = lim(x - a) (f(x) - f(a))/(x - a) = K (limites laterais se a for um dos extremos de I) == -K = f'(a) = K == |f'(a)| = K. Como a é qualquer, o resultado segue.
Seja K = supremo {|f'(x)| | x estah em I}.
Então, pelo TVM,é claro que f é Lipschitz com constante K.
Dado L com 0 L K, existea em I tal que |f'(a)| L.
Isso quer dizer que existe delta 0 tal que:
x pertence a I e 0 |x - a| delta == |(f(x) - f(a))/(x - a)| L
Ou seja, |f(x) - f(a)| L*|x - a| == L não é constante de Lipschitz para f.
Acho que o mais interessante desse problema éque ele ilustrauma das propriedades mais importantes e úteis dos limites: a permanência das desigualdades.
[]s,
Claudio.
Lembrando, f eh Lipschitz em D se existir uma constante K0 tal que |f(x2)
- f(x1)| = K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. Eh imediatpo que se K for
constante de Lipschitz, entao todo K' K tambem eh.
Artur
Re: [obm-l] RES: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
Caro David Cardoso [EMAIL PROTECTED]: Use simetria central. Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Cadeias de Markov
Alguém pode me ajudar? Como encontrar E(T|Xo=1) em uma cadeia de Markov? T é o primeiro tempo de visita ao estado estacionário. Expectativas iteradas...é isso? Mas o que são expectativas iteradas?? Abraços = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dilatação - Física
Gostaria de saber se a questão abaixo tem solução ou esta errada. Por favor me ajude com a seguinte questão: Foi colocado um pino de aço com pequena folga, em um orifício existente numa chapa de cobre. Tendo em vista os conceitos de dilatação qual alternativa esta errada? a)Aquecendo-se somente o pino a folga diminuirá. b)Aquecendo-se somente a chapa, a folga aumnetará. c)Ambos sendo igualmente aquecidos a folga aumentará. d)Ambos sendo igualmente aquecidos a folga não diminuirá. e)Ambos sendo igualmente resfriados a folga irá diminuir. Obrigado! André = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
