Re: [obm-l] GEO
S eh a soma de, no caso geral, tres superficies conicas, geradas por cada lado do triangulo (no item b) reduz-se a duas). Usando anotacao t em vez de o, para teta: S/(a^2*pi) = sen t + sen (pi/3 + t) + sqrt3(cost/2+sqrt3*sen t/2) = 3sen t +sqrt3*cos t. Assim S/(a^2*pi) = 2sqrt3*sen(t+pi/6) com 0<=t<=2pi/3 => pi/6<=t+pi/6<=5pi/6. a)S maximo=> sen(t+pi/6)=1 => t+pi/6=pi/2 => t=pi/3; b)S minimo=> t nos extremos t=0 ou 2pi/3; c)S=3pi*a^2 => sen(t+pi/6)=sqrt3/2 => t+pi/6=pi/3 ou 2pi/3 => t= pi/6 ou pi/2. []s --- Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Um triangulo equilatero ABC, de lado a, gira em > torno de um eixo XX' de seu plano, pasando por A sem > atravessar o triangulo. Sendo S a área total da > superficie gerada pelo triangulo e desginado por > o(teta), o angulo XAB pede-se determinar os valores > de o para que: > A) S seja máximo > b) S seja mínimo > c) S seja 3pia^2 > > gab. a) 60º b) 0 ou 120 c) 30 ou 90 > > [] 's > K. > > > - > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada > você acumula cupons e concorre a mais de 500 > prêmios! Participe! ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] OPINIÃO - LIVROS DE FISICA (OFF-TOPIC)
Olá pessoal, gostaria saber de quem conhece os livros do Eng. Tore Nisl Olof (parece que eles são famosos). Quais desses livros seriam indicados para o ITA-IME e porquê. E se eles derivam e integram. 1) ELEMENTOS DE ESTEOLOGIA. ELETROSTATICA - CORRENTE ELETRICA - MAGNETISMO - ELETROMAGNETISMO - COMPLEMENTOS 2) ACÚSTICA - OPTICA - ELETROLOGIA. 3) TESTES DE FÍSICA. 1º VOL. 4) ELEMENTOS DE MECÂNICA. 5) ELEMENTOS DE CORRENTE ELETRICA. 6) DINÂMICA DE PONTO E SÓLIDO. 7) MECÂNICA FÍSICA. Grato pela atenção, Miguel Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
[obm-l] Re: alguem fez esta...(latex)
Peco desculpas pelo formato LaTeX,
mas ai segue a minha solucao para o problema
a.sen x - b.cos x = (c/2).sen 2x
a.cos x + b.sen x = c.cos 2x
que por sinal foi a questao de numero 12 da prova de 1983/1984
de geometria do vestibular do IME.
A minha resposta nao fica tao elegante quanto a que
voce apresentou, mas imagino que com um pouco
de algebrismo, tudo de certo.
Alias, estou terminando a versao 7 do material do IME
que incluira' as solucoes das provas de geometria do presente
ate' 1979/1980. Acho que ainda em outubro eu consigo terminar
(ou quase - provavelmente precisarei da ajuda de alguns desta
lista). Ai sera' mais facil de ler a solucao a seguir:
OBS: Na notacao do latex: \frac{a}{b} = a/b
OBS2: se nao der para seguir o texto, acompanhe apenas os
passos e refaca o algebrismo seguindo os passos que sao indicados
(da' mais trabalho mas ai voce nao se chateia com o latex e nem comigo).
Abraco,
sergio
\vspace*{0.0cm} \noindent
{\bf Solu\c{c}\~ao:} \\
Dividindo as equa\c{c}\~oes do enunciado, tem-se
\beq
\frac{1}{2}\, \tan \, 2x
= \frac{a \, \sin \, x - b \cos x}{a \cos x + b \, \sin \, x}
= \frac{\frac{a \, \sin \, x}{a\cos x} - \frac{b \cos x}{a\cos x}}{\frac{a
\cos x}{a\cos x} \!+\! \frac{b \, \sin \, x}{a\cos x}}
= \frac{\tan \, x - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}\, \tan \, x}
\eeq
Logo, usando a f\'ormula da tangente do arco-dobro, t\^em-se
\beq
\frac{1}{2} \frac{2\tan \, x}{1 - \tan^2 x} = \frac{\tan \, x -
\frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}\, \tan \, x} &\Rightarrow& \\[0.2cm]
\tan \, x \left(1 + \frac{b}{a} \, \tan \, x \right) = \left( \tan \, x -
\frac{b}{a} \right) \left( 1 - \tan^2 x \right) &\Rightarrow& \\[0.2cm]
\tan \, x + \frac{b}{a}\, \tan^2 x = \tan \, x - \tan^3 x - \frac{b}{a} +
\frac{b}{a}\, \tan^2 x &\Rightarrow& \\[0.2cm]
\tan^3 x = -\frac{b}{a}
\eeq
e ent\~ao
\beq
\tan \, 2x = \frac{-2\sqrt[3]{\frac{b}{a}}}{1+\sqrt[3]{\frac{b^2}{a^2}}}
\eeq
Elevando cada equa\c{c}\~ao do enunciado ao quadrado e adicionando os
resultados,
t\^em-se
\beq
\left\{ \begin{array}{l}
\!\!a^2 \, \sin^2 x \!-\! 2ab \, \sin \, x \cos x \!+\! b^2 \cos^2 x =
\frac{c^2}{4} \, \sin^2 2x \\[0.2cm]
\!\!a^2 \cos^2 x \!+\! 2ab \, \sin \, x \cos x \!+\! b^2 \, \sin^2 x = c^2
\cos^2 2x
\end{array} \right. \volta&\Rightarrow&\volta \\[0.2cm]
(a^2+b^2) (\sin^2 x + \cos^2 x) = \frac{c^2}{4} (\sin^2 2x + 4\cos^2 2x)
\volta&\Rightarrow&\volta \\[0.2cm]
\frac{4(a^2 + b^2)}{c^2} = (\sin^2 2x + 4\cos^2 2x) \volta&&\volta
\eeq
Divindo esta express\~ao por $\cos^2 2x$ e lembrando que $\sec^2 2x = (\tan^2
2x + 1)$, t\^em-se
\beq
\left[ \frac{4(a^2 + b^2)}{c^2} \right] (\tan^2 2x + 1) = \tan^2 2x + 4
\volta&\Rightarrow&\volta \\[0.2cm]
\left[ \frac{4(a^2 + b^2)-c^2}{c^2} \right] \tan^2 2x = \frac{4(c^2 - a^2 -
b^2)}{c^2} \volta&\Rightarrow&\volta \\[0.2cm]
\tan^2 2x = \frac{4(c^2 - a^2 - b^2)}{4(a^2+b^2)-c^2}
\volta&\Rightarrow&\volta \\[0.2cm]
\tan \, 2x = \mp 2\sqrt{\frac{(c^2 - a^2 - b^2)}{4(a^2+b^2)-c^2}}
\volta&&\volta
\eeq
Logo, igualando as duas express\~oes obtidas anteriormente para $\tan \, 2x$,
tem-se
\beq
\frac{-\sqrt[3]{\frac{b}{a}}}{1+\sqrt[3]{\frac{b^2}{a^2}}} = \mp
\sqrt{\frac{(c^2 - a^2 - b^2)}{4(a^2+b^2)-c^2}}
\eeq
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Re: [obm-l] Area de um quadrado
Title: Re: [obm-l] Area de um quadrado on 11.10.05 16:48, Rejane at [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde a todos. Poderiam me ajudar? Como se calcula a área de um quadrado inscrito em um semi círculo? Obrigada. Pitagoras: L^2 + (L/2)^2 = R^2 ==> Area = L^2 = 4R^2/5, onde R = raio do semi-circulo. []s, Claudio.
RES: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Exato.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Claudio Buffara
Enviada em: terça-feira, 11 de outubro de 2005 15:33
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Dada uma enumeracao {r_n} dos racionais da reta real, tome, para cada n, um
intervalo aberto de comprimento eps/2^(n+1) e centro em r_n.
Ponha A = uniao destes intervalos.
[]s,
Claudio.
on 11.10.05 13:45, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Boa tarde,
>
> Eu acho este problema interessante:
>
> Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
> subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps.
>
> O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
> contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
> entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
> de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
> logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
> arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
>
> Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no
entanto,
> eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio.
Assim,
> topologicamente A' nao eh "significante," visto ser um conjunto que nao
eh
> denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
>
> Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais,
que
> eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas,
eh
> um conjunto "insignificante".
>
> Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
> infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
> intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
> enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um
intervalo
> eh o seu comprimento.
>
> Artur
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Sist. Trigonometria
Sauda,c~oes, Alguém conseguiu resolver este? []'s Luís From: Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Sist. Trigonometria Date: Thu, 29 Sep 2005 11:13:48 -0300 (ART) Obtenha uma relacao entre a, b e c, eliminando x entre as duas equacoes abaixo: a senx - b cosx = 1/2 sen2x a cosx + b senx = c cos2x gab: c^2 = (a^2/3 + b^2/3)^3 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Area de um quadrado
Suponhamos que os vertices A e B do quadrado estejam sob o semi-circulo eo sos veryices C e D sobre o diametro. Entao, C e D sao simetricos com relacao ao centro O. Sendo x o lado do quadrado e r o raio do semi-circulo, a equacao do semi-circulo implica que x^2 ^ (x/2)^2 = r^2, de modo que x^2 = (4*r^2)/5. Como a areas S = x^2, temos S = (4*r^2)/5. Artur. [Artur Costa Steiner] -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de RejaneEnviada em: terça-feira, 11 de outubro de 2005 15:49Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Area de um quadrado Boa tarde a todos. Poderiam me ajudar? Como se calcula a área de um quadrado inscrito em um semi círculo? Obrigada.
Re: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Dada uma enumeracao {r_n} dos racionais da reta real, tome, para cada n, um
intervalo aberto de comprimento eps/2^(n+1) e centro em r_n.
Ponha A = uniao destes intervalos.
[]s,
Claudio.
on 11.10.05 13:45, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Boa tarde,
>
> Eu acho este problema interessante:
>
> Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
> subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps.
>
> O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
> contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
> entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
> de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
> logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
> arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
>
> Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto,
> eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim,
> topologicamente A' nao eh "significante," visto ser um conjunto que nao eh
> denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
>
> Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que
> eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh
> um conjunto "insignificante".
>
> Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
> infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
> intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
> enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo
> eh o seu comprimento.
>
> Artur
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RES: [obm-l] Dois Problemas Russos
O primeiro, rapidinho, sem muita formalizacao. Quando os argumentos forem potemcias de 10, entao vc vai obtendo numeros da forma a_m...a_n000a_1, onde a_1 eh o termo independente e a_m o coeficiente do termo de grau m. Assim, a soma dos algarismos de P(1) = a_1+a_m repete-se infinitas vezes. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Santa Rita Enviada em: terça-feira, 11 de outubro de 2005 11:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Dois Problemas Russos Ola Pessoal, Seguem dois problemas traduzidos das Olimpiadas Russas : PROBLEMA 1) Seja P(X) um polinomio com coeficientes inteiros e para todo numero natural N seja An a SOMA DOS DIGITOS de P(N). Prove que na sequencia A1, A2, A3, ... ha um numero que se repete infinitas vezes. PROBLEMA 2) Dados os numeros reais A1, A2, ..., An, B1, B2, ..., Bn e os números reais positivos P1, P2, ..., Pn, Q1, Q2, ..., Qn. Com estes numeros construimos uma matriz N x N onde na posicao (i,k) colocamos o número : (Ai + Bk ) / (Pi + Qk) Prove que existe um numero na matriz que construimos ( "NUMERO SELA" ) com a seguinte propriedade : ele nao e menor que qualquer outro de sua linha e nao e maior que qualquer outro de sua coluna. OBS1 : Apesar de nao ser possivel fazer um paralelo rigoroso entre o ensino russo e o nosso, eu diria que estas questoes poderiam ser propostas nas nossas Olimpiadas para a 7/8 series. Evidentemente que nao se pode usar Calculo Diferencial na solucao. OBS2 : A traducao e minha. Qualquer erro e de minha inteira responsabilidade. Qualquer duvida e so ler diretamente do idioma eslavo. Mais problemas russos em : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1100,111005 _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dois Problemas Russos
Obrigado Paulo
Inclusive o historico eh muito interessante.
Vc. poderia precisar a data ou epoca?
Sobre as poligonais transcrevo abaixo as
mensagens.
(Nao estou transcrevendo a mensagem "Geometria
quase Analitica", do P.S., porque consta da lista e
para nao sobrecarregar ainda mais esta. Se quiser,
transcrevo na proxima.)
Abraços
Eduardo Wilner
De: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]>
Adicionar endereçoAdicionar endereço
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto:RE: Um problema interessante
Data: Thu, 18 Aug 2005 10:26:53 +
Ola Eduardo,
Recebi a sua mensagem, reproduzida abaixo. No proximo
fim de semana vou
le-la com calma e te respondo com mais detalhes.
Um Abracao
Paulo Santa Rita
5,0720,180805
>From: Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]>
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Um problema interessante
>Date: Tue, 16 Aug 2005 15:33:44 + (GMT)
Prezado Paulo
Tomo a liberdade de te contactar diretamente, pois
postei na Obm-l a mensagem que aqui reproduzo, ja ah
duas semanas, mas v. nao deve ter percebido, pois no
indice por assunto isto vai la para inicio de Junho.
Sobre o problema abaixo referido,
poderia dizer a fonte de onde o recebeu ?
Aguardei algum comentario sobre ele, mas...
A minha solucao eh:
2*area = soma com j=1 a n-1 {sen(j*2*pi/n)*[soma com
i=j a n-1((i+1)*(i-j+1))]}.
Quanto aos valores de n para os quais a area eh
inteira, pareceu-me que o unico eh 4, e que para os
outros ela resulta irracional...
Gostaria de ouvir, ou melhor, ler sua opiniao.
P.S. Nao sei se o pessoal da lista nao gosta de
poligonais, pois postei um problema a respeito em 25
May deste ano denominado ' Geometria quase analitica'
e ... nada...
Voce nao viu ?
--- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Ola Pessoal,
>
> Recebi o problema abaixo, que achei interessante.
> Estou repassando pra voces
> :
>
> >Suppose line segments of lengths proportional to
> 1,2,3,...,n taken in that
> >order form a rectilineal >figure each of whose
> exterior angle is 2*pi/n and
> >a polygon is formed by joining the endpoint of >the
> last segment to the
> >starting point. Find a closed form expression for
> the area of the polygon.
> > >For what values of 'n' is the area an integer?
>
> Um Abraco a Todos
> Paulo Santa Rita
> 2,0931,130605
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[obm-l] Area de um quadrado
Boa tarde a todos. Poderiam me ajudar? Como se calcula a área de um quadrado inscrito em um semi círculo? Obrigada.
Re: [obm-l] A LINGUAGEM DA CIÊNCIA!
Para ser mais exato, o momento de inercia depende tambem do eixo considerado. --- Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Prezado Bernardo > > --- Bernardo Freitas Paulo da Costa > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Momento Angular (algo como a medida de "quanto um > > corpo esta > rodando"); > > Correto. > > > Esse é um pouco off-topic, mas eu acho que os > > conceitos de Momento > > Angular são muito mal ensinados no Brasil, > inclusive > > em faculdades; > > Eh verdade. Mesmo o Momento Linear, com raras > execoes onde tembem se ensina o angular,nem eh > estudado. > > > parece-me que falta uma boa quantidade de exemplos > > vivos (como este do > > ioiô, ou aquele da corrida dos objetos rolantes: > > cone, cilindro > > equilateros e esfera de mesmo raio) e também um > > pouco de matematica > > (tudo de vetores, visto como tem que ser, e também > a > > idéia de projeção > > do Momento Angular, que se comporta como uma > > projeção 2d em um > > sentido, mas se você sabe o que esta calculando, > da > > pra ser vista como > > uma projeção 1d (que é bem mais facil) o que leva > a > > soluções mais > > elegantes. > > Tambem eh interessante em 3d, como no efeito > giroscopico (piao rodando com eixo inclinado). > > > E ainda falta a idéia de que o momento > > angular REALMENTE mede esta inércia... que muito > poucas vezes é mencionado. > >A rigor a inercia de rotacao eh propriedade do > corpo (ou sistema) e eh definida pelo momento de > inercia. O momento angular depende desse e da > velocodade angular. > >[]s > > Wilner > > > > > > > > > > > > ___ > > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada > você acumula cupons e concorre a mais de 500 > prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ > ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Ajuda Polinômios.
3) Se P(x) , Q(x), R(x) e S(x) são todos polinômios tais que P(x^5) + xQ(x^5) + x^2R(x^5) = (x^4 + x^3 + x^2 + 1)S(x) , provar que P(x), Q(x) e R(x) são divisíveis por x-1. Do jeito que está, é falso. Por exemplo, tome S(x)=x-1. Então o polinômio da direita é x^5-x^2+x-1=(x^5-1)+x-x^2=P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5) onde P(x)=x-1, Q(x)=1 e R(x)=-1. Não faltou um x do lado direito não? É S(x) ou S(x^5)? Abraço, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Ajuda Polinômios.
Ou que tal assim: > 1) Determinar todos os polinômios p(x) satisfazendo a equação: > (x-16)p(2x)=16(x-1)p(x) para todo x. Substituindo x=1, você vê que p(2)=0. Substituindo x=2, você vê que p(4)=Blah*p(2)=0 Substituindo x=4, você vê que p(8)=Blah*p(4)=0 Substituindo x=8, você vê que p(16)=Blah*p(8)=0 (Note que subsituindo x=16 não dá nada de novo) Então p tem pelo menos estas quatro raízes. Assim, podemos escrever p(x)=(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)q(x). Substituindo esta expressão na equação original, você acha: (x-16)(2x-2)(2x-4)(2x-8)(2x-16)q(2x)=16(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)q(x), ou seja, q(2x)=q(x) PARA TODO x!! Mas esta igualdade só é satisfeita por polinômios constantes (bom, por exemplo, teríamos q(1)=q(2)=q(4)=..., isto é, q(x)=q(1) tem infinitas raízes, portanto q tem de ser constante)! Então q(x)=k, isto é, p(x)=k(x-2)(x-4)(x-8)(x-16). Abraço, Ralph -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Buffara Enviada em: terça-feira, 11 de outubro de 2005 13:12 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Ajuda Polinômios. on 11.10.05 00:27, Roger Lebid at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Bem pessoal estou com dificuldade em três questões de polinômios, acho > que está faltando criatividade... > > ___ > > Estou supondo que trabalhamos sobre o corpo dos complexos. Se p(x) satisfaz, entao, para qualquer k complexo, k*p(x) tambem satisfaz. Assim, podemos supor que p(x) eh monico de grau n. Comparando os termos de maior grau em cada membro, obteremos: 2^n*x^(n+1) = 16*x^(n+1) ==> n = 4 Assim, seja p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d. (x-16)p(2x) = (x-16)(16x^4 + 8ax^3 + 4bx^2 + 2cx + d) = 16(x^5 + (a/2-16)x^4 + (b/4-8a)x^3 + (c/8-4b)x^2 + (d/16-2c)x - d) = 16(x-1)p(x) = 16(x-1)(x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d) = 16(x^5 + (a-1)x^4 + (b-a)x^3 + (c-b)x^2 + (d-c)x - d) Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, obtemos: a = -30, b = 280, c = -960, d = 1024 Logo, p(x) = k*(x^4 - 30x^3 + 280x^2 - 960x + 1024), onde k eh um complexo qualquer. > 2)Se p(x) denota um polinômio de grau n tal que P(k) = k/ (k+1) , para > k = 0,1,2,...,n, calcular o valor de P(n+1) > Sem usar nenhuma criatividade, basta usar a formula de interpolacao de Lagrange... Por outro lado, a identidade (k+1)P(k) = k <==> (k+1)P(k) - k = 0 sugere que consideremos o polinomio Q(x) = (x + 1)*P(x) - x, cujas raizes sao: 0, 1, 2, ..., n. Ou seja, Q(x) = Ax(x-1)(x-2)...(x-n), onde A = constante a ser determinada. Q(-1) = (-1 + 1)P(-1) - (-1) = 1 ==> A*(-1)^(n+1)*(n+1)! = 1 ==> A = (-1)^(n+1)/(n+1)! Assim, Q(n+1) = A*(n+1)! = (-1)^(n+1) ==> (n+2)P(n+1) - (n+1) = (-1)^(n+1) ==> P(n+1) = (n + 1 + (-1)^(n+1))/(n + 2). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda Polinômios.
on 11.10.05 00:27, Roger Lebid at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Bem pessoal estou com dificuldade em três questões de polinômios, acho > que está faltando criatividade... > > ___ > > 1) Determinar todos os polinômios p(x) satisfazendo a equação: > (x-16)p(2x)=16(x-1)p(x) para todo x. > Estou supondo que trabalhamos sobre o corpo dos complexos. Se p(x) satisfaz, entao, para qualquer k complexo, k*p(x) tambem satisfaz. Assim, podemos supor que p(x) eh monico de grau n. Comparando os termos de maior grau em cada membro, obteremos: 2^n*x^(n+1) = 16*x^(n+1) ==> n = 4 Assim, seja p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d. (x-16)p(2x) = (x-16)(16x^4 + 8ax^3 + 4bx^2 + 2cx + d) = 16(x^5 + (a/2-16)x^4 + (b/4-8a)x^3 + (c/8-4b)x^2 + (d/16-2c)x - d) = 16(x-1)p(x) = 16(x-1)(x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d) = 16(x^5 + (a-1)x^4 + (b-a)x^3 + (c-b)x^2 + (d-c)x - d) Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, obtemos: a = -30, b = 280, c = -960, d = 1024 Logo, p(x) = k*(x^4 - 30x^3 + 280x^2 - 960x + 1024), onde k eh um complexo qualquer. > 2)Se p(x) denota um polinômio de grau n tal que P(k) = k/ (k+1) , para > k = 0,1,2,...,n, calcular o valor de P(n+1) > Sem usar nenhuma criatividade, basta usar a formula de interpolacao de Lagrange... Por outro lado, a identidade (k+1)P(k) = k <==> (k+1)P(k) - k = 0 sugere que consideremos o polinomio Q(x) = (x + 1)*P(x) - x, cujas raizes sao: 0, 1, 2, ..., n. Ou seja, Q(x) = Ax(x-1)(x-2)...(x-n), onde A = constante a ser determinada. Q(-1) = (-1 + 1)P(-1) - (-1) = 1 ==> A*(-1)^(n+1)*(n+1)! = 1 ==> A = (-1)^(n+1)/(n+1)! Assim, Q(n+1) = A*(n+1)! = (-1)^(n+1) ==> (n+2)P(n+1) - (n+1) = (-1)^(n+1) ==> P(n+1) = (n + 1 + (-1)^(n+1))/(n + 2). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Só pra evitar ter que demonstrar um resultado bastante intuitivo pra
quem quiser tentar o problema, é bom lembrar que a medida de Lebesgue
satisfaz (como toda medida positiva que se preze) a desigualdade da
reuni~ao enumerável, ou seja:
m( Uniao de A_i ) <= Soma m(A_i), para uma seqüência A_i de conjuntos.
Dá pra provar isso usando a definiç~ao do Arthur, mas isso eu chamaria
de "um outro exercício" porque é bem usado em outras coisas.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 10/11/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Boa tarde,
>
> Eu acho este problema interessante:
>
> Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
> subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps.
>
> O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
> contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
> entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
> de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
> logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
> arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
>
> Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto,
> eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim,
> topologicamente A' nao eh "significante," visto ser um conjunto que nao eh
> denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
>
> Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que
> eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh
> um conjunto "insignificante".
>
> Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
> infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
> intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
> enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo
> eh o seu comprimento.
>
> Artur
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
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Re: [obm-l] A LINGUAGEM DA CIÊNCIA!
Prezado Bernardo --- Bernardo Freitas Paulo da Costa <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Momento Angular (algo como a medida de "quanto um > corpo esta > rodando"); Correto. > Esse é um pouco off-topic, mas eu acho que os > conceitos de Momento > Angular são muito mal ensinados no Brasil, inclusive > em faculdades; Eh verdade. Mesmo o Momento Linear, com raras execoes onde tembem se ensina o angular,nem eh estudado. > parece-me que falta uma boa quantidade de exemplos > vivos (como este do > ioiô, ou aquele da corrida dos objetos rolantes: > cone, cilindro > equilateros e esfera de mesmo raio) e também um > pouco de matematica > (tudo de vetores, visto como tem que ser, e também a > idéia de projeção > do Momento Angular, que se comporta como uma > projeção 2d em um > sentido, mas se você sabe o que esta calculando, da > pra ser vista como > uma projeção 1d (que é bem mais facil) o que leva a > soluções mais > elegantes. Tambem eh interessante em 3d, como no efeito giroscopico (piao rodando com eixo inclinado). > E ainda falta a idéia de que o momento > angular REALMENTE mede esta inércia... que muito poucas vezes é mencionado. A rigor a inercia de rotacao eh propriedade do corpo (ou sistema) e eh definida pelo momento de inercia. O momento angular depende desse e da velocodade angular. []s Wilner ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto aberto e denso com medida < eps
Boa tarde,
Eu acho este problema interessante:
Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps>0, existe um
subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) < eps.
O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
entra a "significancia" de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
logo topologicamente "significantes", mas cujas medidas possam ser
arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto,
eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim,
topologicamente A' nao eh "significante," visto ser um conjunto que nao eh
denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que
eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh
um conjunto "insignificante".
Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo
eh o seu comprimento.
Artur
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Re: [obm-l] Dois Problemas Russos
Ola Eduardo ! O Polinomio P(X) e fixo. Claramente que voce pode supor que o grau dele e, digamos, M. O grau e fundamental na solucao. Sobre a outra pergunta, aqui vai um exemplo : Suponhamos que P(12)=1200789. Entao : A12 = 1+2+0+0+7+8+9 = 27. O indice n de An indica apenas a posicao na sequencia, vale dizer, nao guarda relacao com o grau do polinomio. Apesar de ser uma questao simples e digno de nota que na epoca em que foi proposta as criancas da Russia apenas um estudante acertou completamente a questao : Ciprian Manolescu. Ele participou de 3 Olimpiadas Internacionais de Matematica, tirando 3 ouros, sempre com escore maximo de 42 pontos. Fez Doutorado em Harvard e atualmente faz estagio de pos-doc em Princeton. Ele e Cinefilo, na Musica e apaixonado por Beethoven e Adora ( estuda diariamente ) Filosofia. Nao me lembro desta questao de poligonais. Voce pode me enviar novamente, por favor ? Um Abracao Paulo Santa Rita 3,1305,111005 From: Eduardo Wilner <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Dois Problemas Russos Date: Tue, 11 Oct 2005 12:35:16 -0300 (ART) Ola Paulo Curiosidade: o meu yahoo eh super relativistico?! tua mensagem chegou com data: Tue, 11 Oct 2005 14:07:45?!e agora, "hora Brasilia" eu tenho 12:08. Vamos aos russos. O primeiro Problema eh tao generico assim? Digo, nao depende do grau do polinomio ou o n, no indice de An, eh o grau? O que significa a "Soma dos digitos de P(N)? "Eh pergunta demais"? (mais uma). []s P.S. Ainda estou no agurardo de sua resposta sobre os problemas das poligonais. --- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ola Pessoal, > > Seguem dois problemas traduzidos das Olimpiadas > Russas : > > PROBLEMA 1) Seja P(X) um polinomio com coeficientes > inteiros e para todo > numero natural N seja An a SOMA DOS DIGITOS de P(N). > Prove que na sequencia > A1, A2, A3, ... ha um numero que se repete infinitas > vezes. > > PROBLEMA 2) Dados os numeros reais A1, A2, ..., An, > B1, B2, ..., Bn e os > números reais positivos P1, P2, ..., Pn, Q1, Q2, > ..., Qn. Com estes numeros > construimos uma matriz N x N onde na posicao (i,k) > colocamos o número : > > (Ai + Bk ) / (Pi + Qk) > > Prove que existe um numero na matriz que construimos > ( "NUMERO SELA" ) com a > seguinte propriedade : ele nao e menor que qualquer > outro de sua linha e nao > e maior que qualquer outro de sua coluna. > > OBS1 : Apesar de nao ser possivel fazer um paralelo > rigoroso entre o ensino > russo e o nosso, eu diria que estas questoes > poderiam ser propostas nas > nossas Olimpiadas para a 7/8 series. Evidentemente > que nao se pode usar > Calculo Diferencial na solucao. > > OBS2 : A traducao e minha. Qualquer erro e de minha > inteira > responsabilidade. Qualquer duvida e so ler > diretamente do idioma eslavo. > > Mais problemas russos em : > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 3,1100,111005 > > _ > Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! > > http://www.msn.com.br/discador > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dois Problemas Russos
Ola Paulo Curiosidade: o meu yahoo eh super relativistico?! tua mensagem chegou com data: Tue, 11 Oct 2005 14:07:45?!e agora, "hora Brasilia" eu tenho 12:08. Vamos aos russos. O primeiro Problema eh tao generico assim? Digo, nao depende do grau do polinomio ou o n, no indice de An, eh o grau? O que significa a "Soma dos digitos de P(N)? "Eh pergunta demais"? (mais uma). []s P.S. Ainda estou no agurardo de sua resposta sobre os problemas das poligonais. --- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ola Pessoal, > > Seguem dois problemas traduzidos das Olimpiadas > Russas : > > PROBLEMA 1) Seja P(X) um polinomio com coeficientes > inteiros e para todo > numero natural N seja An a SOMA DOS DIGITOS de P(N). > Prove que na sequencia > A1, A2, A3, ... ha um numero que se repete infinitas > vezes. > > PROBLEMA 2) Dados os numeros reais A1, A2, ..., An, > B1, B2, ..., Bn e os > números reais positivos P1, P2, ..., Pn, Q1, Q2, > ..., Qn. Com estes numeros > construimos uma matriz N x N onde na posicao (i,k) > colocamos o número : > > (Ai + Bk ) / (Pi + Qk) > > Prove que existe um numero na matriz que construimos > ( "NUMERO SELA" ) com a > seguinte propriedade : ele nao e menor que qualquer > outro de sua linha e nao > e maior que qualquer outro de sua coluna. > > OBS1 : Apesar de nao ser possivel fazer um paralelo > rigoroso entre o ensino > russo e o nosso, eu diria que estas questoes > poderiam ser propostas nas > nossas Olimpiadas para a 7/8 series. Evidentemente > que nao se pode usar > Calculo Diferencial na solucao. > > OBS2 : A traducao e minha. Qualquer erro e de minha > inteira > responsabilidade. Qualquer duvida e so ler > diretamente do idioma eslavo. > > Mais problemas russos em : > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 3,1100,111005 > > _ > Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! > > http://www.msn.com.br/discador > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda....
Ola Korshino O problema nao menciona qual eh o dominio de a? Se for o conjunto C, pode ser interessante... []s --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Determinar os valores do parâmetro a tais que x > pertence aos reais e > sqrt(1-x^2)>= a - x . > Valeu rapaziada. > ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Ajuda Polinômios.
2)Se p(x) denota um polinômio de grau n tal que P(k) = k/ (k+1) , para k = 0,1,2,...,n, calcular o valor de P(n+1) Escreva P(k) da forma P(k)= 1 - 1/(k+1) , então: p(0)=0, p(1)=1 - 1/2, p(2)=1 - 1/3, p(3)=1 - 1/4, . . p(n)=1 - 1/n ==> * p(n) = (1+1+...+1) - (1+1/2+1/3+1/4 +...+1/n) A primeira parcela é igual a n , já a segunda é a série harmônica e uma boa aproximação e olhar para o gráfico de f(x)=1/x , integrando de 1 a n , encontramos ln(n) (Se não entendeu essa parte pode me perguntar depois q explico melhor). Agora é só voltar em * : p(n) = n - ln(n) , fazendo n <- n + 1 p(n+1) = n +1 - ln(n+1) . Abraço, Luiz H. Barbosa
[obm-l] Dois Problemas Russos
Ola Pessoal, Seguem dois problemas traduzidos das Olimpiadas Russas : PROBLEMA 1) Seja P(X) um polinomio com coeficientes inteiros e para todo numero natural N seja An a SOMA DOS DIGITOS de P(N). Prove que na sequencia A1, A2, A3, ... ha um numero que se repete infinitas vezes. PROBLEMA 2) Dados os numeros reais A1, A2, ..., An, B1, B2, ..., Bn e os números reais positivos P1, P2, ..., Pn, Q1, Q2, ..., Qn. Com estes numeros construimos uma matriz N x N onde na posicao (i,k) colocamos o número : (Ai + Bk ) / (Pi + Qk) Prove que existe um numero na matriz que construimos ( "NUMERO SELA" ) com a seguinte propriedade : ele nao e menor que qualquer outro de sua linha e nao e maior que qualquer outro de sua coluna. OBS1 : Apesar de nao ser possivel fazer um paralelo rigoroso entre o ensino russo e o nosso, eu diria que estas questoes poderiam ser propostas nas nossas Olimpiadas para a 7/8 series. Evidentemente que nao se pode usar Calculo Diferencial na solucao. OBS2 : A traducao e minha. Qualquer erro e de minha inteira responsabilidade. Qualquer duvida e so ler diretamente do idioma eslavo. Mais problemas russos em : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1100,111005 _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
Bom, ontem eu estava sem muito tempo, mas aqui vai um "pequeno" resumo de convergências diferentes sentidos, com as implicaç~oes que funcionam, e as condiç~oes a adicionar para fazer funcionar as outras: Conv Uniforme (ou L^\infty) => Conv Quase-Uniforme => Conv qtp Conv Quase-Uniforme => Conv em Medida Conv Quase-Uniforme + seq Dominada => Conv em L^p para p finito Conv qtp + seq Dominada => Conv em L^p para p finito Conv qtp + medida finita => Conv Quase-Uniforme Conv qtp + ( medida finita OU seq Dominada ) => Conv em Medida (Para p finito) Conv L^p => Conv em Medida Conv L^p => existe uma subseqüência que Converge qtp Conv L^p => existe uma subseqüência que Converge Quase-Uniformemente Conv L^p exponencialmente rápida => Conv Quase-Uniforme Conv em Medida => existe uma subseqüência que Converge Quase-Uniformemente => esta subseqüência converge qtp Conv em Medida + seq Dominada => Conv em L^p para p finito Conv em Medida exponencialmente rápida => Conv qtp Bom, agora a referência (para demonstraç~oes e uma figurinha bem bonita) Curso de Teoria da Medida, A. Armando de Castro Jr, Projeto Euclides / IMPA, pag 103 e 104 Até mais, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi Bernardo, esta sua solucao eh ainda mais legal do que a que eu consegui > dar uma vez (depois que me deram uma porcao de sugestoes...). Eh na linha da > sua, mas eu me restringi aaa integral de Riemann. > > Se alguma subsequencia (sen(n_k*x) de (sen(n*x)) convergisse em [0, 2*pi], > entao o criterio de Cauchy implicaria que lim (sen(n_(k+1)* x - sen(n_k* x) > = 0 para todo x de [0, 2*pi]. Logo, pensando tambem em quadrados, teriamos > que lim ((sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)) = 0. Pelo teorema da > Convergencia Dominada, aplicado ao caso de Riemann, teriamos entao que lim > Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)dx = Int (0 a 2pi) 0 dx = 0. > > > Mas, com algum trabalho, podemos verificar que, para todo k, Int (0 a 2*pi) > (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x))^2 = 2*pi. Para concluir isto, basta fazer > algumas substituicoes trigonometricas, eh um pouco trabalhoso mas facil. > Assim, a subsequencia das integrais eh constante e converge trivialmente > para 2*pi, contrariando a conclusao anterior de que tem que convergir para > 0. Logo (sen(n*x) nao pode ter nenhuma subsequencia que convirja em [0, > 2*pi]. > > Artur > > > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] > nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa > Enviada em: segunda-feira, 10 de outubro de 2005 16:31 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes > > > Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao "n~ao-evidente", mas como eu > acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao > é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai: > > Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um > fato "bem-conhecido" que estas funç~oes formam uma base para este > espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi > f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é > claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja, > ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência > ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um > pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e > integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente > pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para > algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao > uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo > teorema de Convergência Dominada, > \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para > zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na > integral com eps/2). > Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que > nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao > pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n -> f pontualmente, f > está em L^1 => f_n -> f em L^1 adaptado pra L^2 e com a > contrapositiva...) > > Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o > que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi > sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n > > I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x) > dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por > partes) > Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0 > > Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo "resumindo"): > sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum. > Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao > pode convergir pontualmente. O resto é detalhe. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > On 10/10/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Este problema eh in
Re: [obm-l] Caracteres mate máticos
On Mon, Oct 10, 2005 at 09:34:45PM +0200, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote: > Eu deveria esperar o Nicolau falar sobre isso, mas eu acho que o mais > dificil eh garantir que todo mundo consegue ler as mensagens da lista, > e nem sempre voce garante uma fidelidade ao Unicode... Em geral a > gente usa texto puro, com apenas os caracteres ASCII iniciais e um > pouco de liberdade com os acentos... Mas pra matematica a gente usa > mesmo TeX, que eh como uma liguagem universal para matematica escrita. De fato, a minha recomendação é que usemos apenas texto puro, usando alguma notação relativamente conhecida quando estritamente necessário. > Voce ja deve ter visto respostas que chegavam truncadas porque quem > respondeu nao conseguia interpretar direito os caracteres (ou seja, > nem eh muito sua culpa) e o programa de mail do cara fez o que achava > melhor, mas nao ficou tao bom assim... Exatamente. É preciso lembrar que os cliente (programas) de e-mail variam muito e devemos buscar um núcleo comum. []s, N. > > Mas vamos esperar o veredito final. > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > On 10/10/05, Maurício <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Oi, pessoal, > > > > Eu estava dando uma olhada nas tabelas do Unicode > > (www.unicode.org) e vi que elas possuem um conjunto > > bem completo de caracteres matemáticos. Acho que às > > vezes poderia ser útil usá-las nas mensagens que > > trocamos. Alguém conhece algum programa interessante > > para editar texto (não formatado, claro) que facilite > > incluir esses caracteres? Será que o vim tem algum > > plug-in ou script legal pra trabalhar com eles? Talvez > > isso trouxesse alguns problemas (por exemplo: talvez > > nem todos possuam fontes unicode legais; pode ser que > > algumas pessoas leiam as mensagens em terminais não > > gráficos etc.), mas acho que vale a pena experimentar. > > > > Abraços, > > Maurício > > > > > > > > > > __ > > Yahoo! Music Unlimited > > Access over 1 million songs. Try it free. > > http://music.yahoo.com/unlimited/ > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
