Re:[obm-l] 2 probleminhas
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 16 Oct 2005 06:36:44 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] 2 probleminhas > Ao se dividir o número 400 em parte diretamente > proporcionais a 1, 2/3 e 5/3, obtem-se > respectivamente: > > 120, 80 e 200 > 360, 240 e 600 > 60, 40 e 100 > 40, 80/3 e 200/3 > 100,40 e 60 > 1 + 2/3 + 5/3 = 10/3 1/(10/3) = x/400 ==> x = 120 (2/3)/(10/3) = y/400 ==> y = 80 (5/3)/(10/3) = z/400 ==> z = 200 Ou entao, repare que a unica alternativa na qual a soma dos numeros eh 400 eh a primeira... > Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos > distintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de > modo a formar um quadrilátero. o número total de de > diferentes quadriláteros que podem ser formados é: > > 128 > 495 > 545 > 1.485 > 11.880 > Cada 4 pontos dah origem a 3 quadrilateros, um dos quais eh convexo e os outros dois tem o formato de uma gravata borboleta. Assim, temos Binom(12,4)*3 = 495*3 = 1485 quadrilateros. []s, Claudio. > > > > > > > ___ > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] ajuda!
Na verdade, cometi um erro: b) I1=2/3logE1/Eo I2=2/3logE2/Eo I2=I1+1=> 2/3logE2/Eo=2/3logE1/Eo + 1=> 2/3logE2/Eo - 2/3logE1/Eo = 1=> 2/3log((E2/Eo)/(E1/Eo))=1=> logE2/E1=3/2 assuminfo que seja log na base 10 logE2/E1=3/2=>E2/E1=10^3/2 Adroaldo Munhoz wrote: a) 2/3 logE/Eo = 8 => logE/Eo = 12 assumindo que seja log na base 10 logE/Eo=12=>E/Eo=10^12 => E=10^12*7*10^-3=7*10^9kWh=7TWh b) I1=logE1/Eo I2=logE2/Eo I2=I1+1=> logE2/Eo=logE1/Eo + 1=> logE2/Eo - logE1/Eo = 1=> log((E2/Eo)/(E1/Eo))=1=> logE2/E1=1 assuminfo que seja log na base 10 logE2/E1=1=>E2/E1=10 Anna Luisa wrote: Alguém por favor me ajuda aki. - A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: I = 2/3 . logE/E0 ; onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 igual a 7. 10^ -3 kwh. a) Qual é a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? Obrigada. Anninha. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda!
a) 2/3 logE/Eo = 8 => logE/Eo = 12 assumindo que seja log na base 10 logE/Eo=12=>E/Eo=10^12 => E=10^12*7*10^-3=7*10^9kWh=7TWh b) I1=logE1/Eo I2=logE2/Eo I2=I1+1=> logE2/Eo=logE1/Eo + 1=> logE2/Eo - logE1/Eo = 1=> log((E2/Eo)/(E1/Eo))=1=> logE2/E1=1 assuminfo que seja log na base 10 logE2/E1=1=>E2/E1=10 Anna Luisa wrote: Alguém por favor me ajuda aki. - A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: I = 2/3 . logE/E0 ; onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 igual a 7. 10^ -3 kwh. a) Qual é a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? Obrigada. Anninha. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] teoria dos numeros
Que tal 7 e 19? 7 = 4*1 + 3 e 19 = 4*4 + 3 mdc(1+1,4+1) = 1. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 19 Oct 2005 16:01:03 -0200 Assunto: [obm-l] teoria dos numeros > boa tarde a todos, quem me ajuda com esse? > > sabemos que existem infinitos numeros primos da forma 4k + 3. dado um > inteiro b e sendo S o conjunto de todos os primos da forma p = 4k + 3 , onde > p não divide b. a questão é: existem dois primos (4k + 3) e (4q + 3) em S de > tal forma que (k + 1) e (q + 1) são primos entre si? > > abraços > > _ > Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! > http://www.msn.com.br/discador > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
[obm-l] ajuda!
Alguém por favor me ajuda aki. - A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: I = 2/3 . logE/E0 ; onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 igual a 7. 10^ -3 kwh. a) Qual é a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? Obrigada. Anninha.
[obm-l] teoria dos numeros
boa tarde a todos, quem me ajuda com esse? sabemos que existem infinitos numeros primos da forma 4k + 3. dado um inteiro b e sendo S o conjunto de todos os primos da forma p = 4k + 3 , onde p não divide b. a questão é: existem dois primos (4k + 3) e (4q + 3) em S de tal forma que (k + 1) e (q + 1) são primos entre si? abraços _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] conjunto fechado com medida infinita e interior vazio
Aquele conjunto fechado com medida infinita e interior vazio nao leva a nenhuma contardicao. Eh que aquela minha hipotese sobre o conjunto aberto complementar que lhe deu origem nao procede. No podemos ordenar os intervalos componentes deste conjunto aberto na ordem crescente de seus pontos extrermos inferiores. Assim, nao faz sentido falar em primeiro intervalo sobre a parte positiva da reta. O complementar do conjunto de Cantor tambem eh um tant ificil de visualizar. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] Probabilidade
A história daquela Sra e do sal, eu nao entendi nao... Poderia explicar melhor? Vou tentar a da funcao, que parece mais facil. (a) Se c =0, entao g eh constante e f(x) = x + C para alguma constante C. Segue-se automaticamente que f eh bijetora. Supondo-se c em (0, 1), admitamos que em I existam x e y distintos tais que f(x) = f(y). Entao, x + g(x) = y + g(y) => |g(x) - g(y)| = |x- y|. Como g eh Lipschitz, temos que |x - y| <= c|x -y|. Como x e y sao distintos, concluimos que c>=1, contrariamente aa hipotese. Logo, f eh uma injecao de I sobre f(I). E como todo elemento de f(I) eh, por definicao, imagem de algum x de I, segue-se que f eh uma bijecao enter I e f(I). (b) Se c = 0, entao f(x) = x + C ea conclusao eh trivialmente verificada. Se c >0, jah foi demonstrado aqui, ha pouco tempo, que, como g eh Lipschitz com constante c e diferenciavel em I, entao |g'(x| <= c para todo x de I. Como f'(x) = 1 + g'(x) e 0 < c < 1, temos que f' eh estritamente positiva em I (o que implica que f seja esritamente crecente em I). Por ser bijecao, f tem uma inversa f^(-1) e, como f' nao se anula em I e eh continua, um resultado classico da Analise diz que f^(-1) existe em I. (c) Suponhamos que I = R. Se c= 0 , entao f(x) = x + C e a conclusao eh imediata. Se c estiver em (0,1) entao, para todo real x, temos que |g(x) - g(0)| < = c|x|. de modo que |g(x| <= |g(0| + c|x|. Para x>0, temos entao que f(x) = x + g(x) >= x -|g(0)| -c|x| = -|g(0)| + (1-c)*x. .Como c esta em (0,1), 1-c >0 e, aumentando x, podemos tornar f arbitrariamente grande. De modo similar, fazendo x -> -oo podemos faxer f(x) -> -oo. Como f eh continuaem R, pois g que eh Lipscitz e a funcao identidade sao continuas, temos que f(I) = R. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 18 de outubro de 2005 20:15Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Probabilidade Sejam I um intervalo aberto de R, c um real em [0,1) e g: I -> R tal que: |g(x) - g(y)| <= c|x - y| para quaisquer x e y em I. Seja f: I -> R dada por f(x) = x + g(x). a) Prove que f é uma bijeção entre I e J = f(I) = intervalo aberto de R. b) Prove que se g é continuamente diferenciável, então f é um difeomorfismo (bijeção diferenciável com inversa diferenciável) entre I e J. c) Prove que se I = R, então J = R. []s, Claudio.
[obm-l] FÍSICA ESTATÍSTICA!
Tem a sua origem nos desenvolvimentos, efetuados durante o século XIX, da Teoria Cinética dos Gases e que viriam a demonstrar, definitivamente, a estrutura atômica da matéria. Uma entidade matemática chamada de função de onda, representa as possibilidades do que pode acontecer para um determinado sistema. Uma posição bem determinada para o elétron e sua posição provável num dado instante de tempo produz uma segunda entidade matemática chamada função densidade de probabilidade, que nos dá a probabilidade por unidade de volume. Considere 100 fótons sofrendo difração ao atravessar uma fenda estreita e formando um padrão de difração. Se detectarmos cinco desses fótons em uma determinada região do padrão, qual a probabilidade de detectarmos um fóton nesta região? Um quilograma de água a 10ºc é colocada em contato térmico com um reservatório de calor a 90ºc. Seguidamente, o sistema atinge novo estado de equilíbrio. Calcule a variação de entropia da água, do reservatório de calor e dos sistema composto. A pressão de um patim sobre o gelo produz uma descida do ponto de congelação. Suponha que o patinador tem massa de 80 Kg, o seu patim apoia-se numa superfície que tem de comprimento 20 cm e de largura 4mm. Calcule a descida do ponto de congelação. A propósito, o álcool congelado pega fogo? ... _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n
Tem outras formas de fazer. Mas uma possível é a seguinte: Considere a expansão em frações parciais da função: f(x) = sin(x/Pi)/tan(x) Usando métodos normais para obter-se frações parciais, conclui-se que isso dá: f(x)=g(x)+sin(1)/(x-Pi)-sin(1)/(x+Pi)+sin(2)/(x-2Pi)-sin(2)/(x+2Pi) ->(1) Onde g(x) é uma função inteira. O problema é exatamente determinar g(x). Pensando um pouco a respeito, e comparando com sin(x/Pi)/sin(x) percebe-se que um bom chute é g(x)=cos(x/Pi). Eu fiz uns testes numéricos em alguns pontos aleatórios e parece que é converge corretamente. Deve haver, certamente, um modo melhor de justificar g(x). De qualquer modo, usando a expressão (1) e tomando o lim f(x)x->0 = 1/Pi obtemos: 1/Pi = 1 - 2*(sin(1)/Pi + sin(2)/2Pi + sin(3)/3Pi...) 1/Pi = 1 - 2/Pi*S 2/Pi*S = 1-1/Pi S = (Pi-1)/2 []´s Demétrio --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Oi Cláudio e Niski, > > As questões mais legais são mesmo sempre as de > enunciado curto... > > Com relação à série do Cláudio, visto que ela > converge, falta dizer para qual valor > > O meu chute é SOMA(n = 1...inf) sin(n)/n = (Pi-1)/2. > > > []´s Demétrio > > É chute mesmo, porque eu não consegui deduzir o > final > da expansão. Mas é um chute "analítico", não > numérico > (se é que isto existe...) > > > --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > > Excelente! Matou o problema. Muito obrigado. > > > > []s, > > Claudio. > > > > De:[EMAIL PROTECTED] > > > > Para:obm-l@mat.puc-rio.br > > > > Cópia: > > > > Data:Mon, 17 Oct 2005 20:45:30 -0200 > > > > Assunto:Re: [obm-l] SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n > > > > > Claudio, espero que este link > > > > > > http://web01.shu.edu/projects/reals/numser/answers/t_alter2.html > > > possa ajudar. > > > > > > Um abraço > > > > > > claudio.buffara wrote: > > > > Oi, pessoal: > > > > > > > > Estou com a seguinte dúvida: > > > > A série SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n converge? > > > > > > > > Mais geralmente, para que complexos z a série: > > > > SOMA(n = 1...inf) exp(nz)/n é convergente? > > > > > > > > []s, > > > > Claudio. > > > > > > > > > > > > > -- > > > Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski > > > > > > "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace > made > > use of it; shoud it > > > be feared that sin^2(x) might become ambiguous, > > which would perhaps > > > never occur ... well then, let us write > > (sin(x))^2, but not sin^2(X), which > > > by analogy should signify sin(sin(x))" > > > > > > Carl Friedrich Gauss > > > > > > = > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > > > ___ > > Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada > você acumula cupons e concorre a mais de 500 > prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
On Tue, Oct 18, 2005 at 05:03:26PM -0300, Danilo notes wrote: > Podemos tambem pensar assim: Se não trocarmos de porta a chance de ganhar é > de uma em 3 e trocando de porta a chance de ganhar é de uma em duas, logo > vale a pena trocar de porta. Isto não só é errado como é contraditório. Ou o carro está atrás da primeira porta que você escolheu ou está atrás da terceira porta, aquela que você no primeiro momento não escolheu e que o apresentador não abriu. As proba- bilidades de que o carro esteja atrás de uma ou outra devem somar 1. Você está misturando o argumento correto (probabilidade 1/3 de ganhar sem trocar) com o argumento errado clássico segundo o qual as duas portas que permanecem fechadas seriam equiprováveis. O erro no segundo argumento consiste em ignorar que há sim uma diferença entre as portas: a primeira não foi aberta pq você estava com a mão em cima dela; a terceira não foi aberta por razões conhecidas apenas pelo apresentador, e que podem envolver o fato do carro estar atrás dela. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ARMADILHA DA CIRCULARIDADE!
Infelizmente, essa técnica altamente sutil não foi levada à sério pelas maiores empresas de produtos alimentícios. Seus gerentes acharam-na muito embaraçosa, mas não necessariamente perigosa. Entretanto, foi exatamente nessa armadilha que algumas empresas sucumbiram. Vale salientar que este problema já apareceu em outras versões, diversas vezes na lista, porém nunca foi identificada a armadilha. Vamos adiante... Imagine três cozinheiros, A, B e C, e suas classificações em qualidade do sabor (usando uma escala de 0 a 20) como mostrado abaixo. CozinheirosQualidade do saborCusto da formulação A 15 39 B 14 36 C 13 34 A heurística de decisão usada pela empresa equivale a dizer o seguinte: "Sempre escolherei a marca cuja qualidade do sabor seja mais alta (ignorando por completo as vantagens de custo), exceto quando duas marcas estiverem empatadas, ou quase, em qualidade. Então usarei o custo como fator determinante". Para determinar se dois cozinheiros estavam "quase empatados", a empresa usava um teste de significância estatística. Portanto, o que acontece quando os cozinheiros A e B são comparados? Vejam outra versão bastante conhecida: Os três candidatos mais cotados para disputar o segundo turno das eleições eram A, B e C. Se A e B fossem para o segundo turno, a maioria votaria em A. Se B e C fossem para o segundo turno, a maioria votaria em B. Mas, se A e C fossem para o segundo turno, então A ganharia "de barbada"? Justifique! A propósito, a informação a seguir é correta? "Na semana passada, mesmo após a... onde FHC apareceu com 34% das intenções de voto, contra 30% de Lula, um empate técnico". Abraços! _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
On Tue, Oct 18, 2005 at 12:23:53AM -0200, Leonardo Paulo Maia wrote: > Não vou entrar no mérito da questão, mas entre esses alguns matemáticos que > por alguma razão acreditaram que não compensava mudar de porta esteve ninguém > menos que Paul Erdös... E, mesmo após ouvir o argumento contrário, ele disse: > "Não pode ser!". Portanto, não é vergonha alguma ficar encanado com esse > problema, pelo menos em um primeiro momento. De fato, conta-se que Paul Erdos errou na primeira tentativa de responder. Entretanto ele foi convencido pelo seu interlocutor (Graham) depois de poucos minutos de que tinha errado. Paul Erdos nunca escreveu uma carta para a revista defendendo uma solução errada mas outros matemáticos fizeram isso. Ou seja, como você diz não é vergonha errar em um primeiro momento mas persistir no erro é outra história. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] LABORATÓRIO DE BOLSO!
Turma! Se um ioiô desce em seu cordão, ele perde uma quantidade de energia
potencial, mas ganha energia cinética tanto na forma de translação quanto de
rotação. Quando ele volta a subir acontece o inverso. Em um ioiô moderno, o
cordão não é preso ao eixo mecânico, mas é amarrado como um anel ao redor
dele. Quando o ioiô "bate" no ponto mais baixo do seu cordão, uma força para
cima exercida pelo cordão sobre o eixo pára a descida. O ioiô então gira,
com o eixo dentro do anel, apenas com energia cinética de rotação. Ele
permanece girando no mesmo lugar ("dormindo") até que você o "acorde" dando
um puxão no cordão, fazendo com que o cordão se agarre no eixo e o ioiô
volte a subir.
PASMEM! Quanto ao buraco no fundo do barco, o nível da água mantém-se o
mesmo até o barco estar completamente submerso, e depois desce.
Inacreditável, não!
Um ônibus altamente veloz e um inocente besouro colidem frontalmente. A
súbita variação do momentum do besouro o esparrama sobre o pára-brisa. A
variação no momentum do ônibus é maior, menor ou a mesma que a variação do
momentum do desafortunado besouro?
A propósito, o que possui maior quantidade de energia interna, um iceberg ou
uma xícara de café quente?
Boas Experiências!
_
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Re: [obm-l] Probabilidade
Caro Cláudio e demais colegas. Com relação a este problema das três portas, penso que o argumento mais simples e fácil para ver que é melhor trocar é o seguinte: A probabilidade de eu ganhar se eu trocar de porta é igual à probabilidade de eu ter feito uma escolha errada na primeira vez, é de 2/3. Se eu não trocar, só tenho portanto 1/3 de chance de ganhar, que corresponde à minha chance de acertar de primeira. []'s Hugo. - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Tuesday, October 18, 2005 7:53 AM Subject: Re: [obm-l] Probabilidade Um argumento que me convenceu foi o seguinte: Imagine que, ao invés de três, temos um milhão de portas, uma das quais esconde um carro e as 999.999 restantes, um bode cada uma. Você escolhe uma porta e o apresentador abre 999.998 outras portas, todas com um bode atrás. Restam fechadas apenas a porta que você escolheu e uma outra. Não querer trocar de porta significa que você acha que escolheu, de primeira, a porta com o carro - um evento com probabilidade de 1 em 10^6. Será que você é tão sortudo assim? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 18 Oct 2005 00:23:53 -0200 Assunto: Re: [obm-l] Probabilidade > Não vou entrar no mérito da questão, mas entre esses alguns matemáticos que por > alguma razão acreditaram que não compensava mudar de porta esteve ninguém menos > que Paul Erdös... E, mesmo após ouvir o argumento contrário, ele disse: "Não > pode ser!". Portanto, não é vergonha alguma ficar encanado com esse problema, > pelo menos em um primeiro momento. > > Leo > > > Quoting "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>: > > > On Mon, Oct 17, 2005 at 07:39:00PM -0300, cfgauss77 wrote: > > > > > > Num programa em que são sorteados prêmios tem-se 3 portas: uma com tesouro > > e > > > duas com monstros. Você escolhe 1 das portas, mas não a abre. O > > apresentador > > > do programa, para ajudá-lo, abre uma das outras portas (sem ser a de sua > > > escolha) e desta sai um monstro. Pergunta-se, vale a pena trocar de > > porta??? > > > > Este problema já foi muito discutido em muito lugares, nesta lista > > inclusive. > > Em geral é formulado com bodes em vez de monstros e um carro em vez de um > > tesouro. Este problema é baseado em um show americano, o apresentador > > chamava-se Monty Hall. O problema ficou especialmente famoso (infame?) > > depois que Marilyn Vos Savant, uma mulher com um QI supostamente altíssimo, > > respondeu a mesma pergunta que você fez na coluna dela na revista Parade. > > A resposta dela estava perfeitamente correta, mas por alguma razão muita > > gente (incluindo alguns matemáticos profissionais) acharam que estava tudo > > errado e escreveram várias cartas para a revista, algumas muito grosseiras. > > Se você procurar por "Monty Hall" e "Savant" no google você poderá ler > > um monte de coisa sobre este episódio, incluindo os textos originais > > da Marilyn e algumas das respostas. Você também pode querer ler o meu artigo > > na Eureka #1, "Como perder amigos e enganar pessoas": > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/bom.pdf > > > > Btw, a resposta correta é SIM, vale a pena trocar. Se você trocar > > a probabilidade de ganhar é 2/3. > > > > []s, N. > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
