[obm-l] soma binomial com GFG
Sauda,c~oes,
Na revista AMM 104 (1997), pp 371--372 temos o
problema # 10494. Ao final da soluçao proposta
(onde se mostra que a soma é uma soma telescópica),
os editores comentam:
"solvers used a variety of methods, including induction,
the beta integral, Gauss's hypergeometric series summation,
generating functions (GF),
and computer algebra".
Eu já tenho as soluções pelos 3 primeiros métodos e gostaria
de saber como resolver usando funções geratrizes (GFG).
Alguém saberia como?
Ah, o problema é o seguinte:
\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \binom{4n}{2k} / \binom{2n}{k} .
[]'s
Luis
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] soma binomial com GFG
oi Luis,
Na prova de 1980/1980 de algebra do IME,
caiu uma questao que voce tinha que verificar a propriedade:
\binom{(n+1)}{(2m+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{(n-k)}{k} \binom{k}{m}
(note que nao e' a mesma que a sua propriedade).
Ha' algum tempo atras, o Nicolau colocou uma solucao do problema do IME
usando, o que eu acho que sao, as funcoes geradoras.
Voce pode ver tal solucao no material que coloco sobre as provsa do IME
www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime
na pagina 71 tem a tal demonstracao do Nicolau (com a prova do lema
dada pelo Claudio Buffara nesta lista)
Talvez voce olhando a solucao para o problema do IME consiga
desenvolver a solucao por funcao geradora do seu problema.
Abraco,
sergio
On Tue, 8 Nov 2005, Luís Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
>
> Na revista AMM 104 (1997), pp 371--372 temos o
> problema # 10494. Ao final da soluçao proposta
> (onde se mostra que a soma é uma soma telescópica),
> os editores comentam:
> "solvers used a variety of methods, including induction,
> the beta integral, Gauss's hypergeometric series summation,
>
> generating functions (GF),
>
> and computer algebra".
>
> Eu já tenho as soluções pelos 3 primeiros métodos e gostaria
> de saber como resolver usando funções geratrizes (GFG).
>
> Alguém saberia como?
>
> Ah, o problema é o seguinte:
>
> \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \binom{4n}{2k} / \binom{2n}{k} .
>
> []'s
> Luis
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Problema do Rei
E a tadução realmente está errada. O correto é que cada mago pode ver todos a sua frente. Valeu a força Qwert! Em 07/11/05, Carlos Eduardo Pereira<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Realmente é uma tradução do italiano, mas você pode me dizer como > chegou nesse resultado? obrigado. > > Em 07/11/05, Qwert Smith<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Acho que vc traduziu o problema errado. Na versao em italiano que eu vi > > cada um via os chapeus de TODOS a sua frente. O que tb e o caso em uma > > versao mais antiga do problema envolvendo apenas 2 cores. Se de fato cada > > um so pode ver um chapel entao o numero minimo de sobreviventes sera 50. Se > > da pra ver mais que um chapeu salvam-se muito mais magos. Acho que da pra > > salvar 98, mas nao testei todos os casos ainda. > > > > > > >From: Carlos Eduardo Pereira <[EMAIL PROTECTED]> > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > >To: Grupo OBM > > >Subject: [obm-l] Problema do Rei > > >Date: Mon, 7 Nov 2005 12:12:42 -0200 > > > > > >Pessoal, > > > > > >encontrei esse problema e estou tentando resolvê-lo para finalizar um > > >trabalho, se alguém tiver alguma maneira de resolvê-lo, serei muito > > >grato. > > > > > >A cada ano na cidade de Wizardtown o rei convoca os seus 100 magos para uma > > >reunião que transcorre da seguinte forma: O rei coloca os magos em fila > > >indiana e põe um chapéu sobre a cabeça de cada um. O chapéu pode ser verde, > > >amarelo ou vermelho e cada mago pode ver somente o chapéu daquele que está > > >a > > >sua frente. No final de cada minuto pelo menos um mago deve dizer uma cor > > >e, > > >se mais de um mago quiser falar, deverão fazê-lo simultaneamente. Quem já > > >falou uma vez, deve ficar quieto até o final da reunião e quando todos > > >falarem, o rei fará decapitar aquele que tenha falado uma cor diferente > > >daquela de seu próprio chapéu. > > >Supondo que os magos tenham conhecimento de como ocorrerá a reunião e que > > >adotem uma estratégia que permita o maior número possível de acertos, para > > >salvarem-se, quantos magos sairão vivos? Qual será a estratégia adotada? > > > > > >= > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > >= > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma binomial com GFG
Sauda,c~oes,
Oi Sergio,
Já conhecia este resultado e o lema do Claudio antes
dele aparecer aqui na lista.
A GFG (solução usando GFG) para a soma do problema
da AMM parece ser pouco conhecida. E não sei como obtê-la.
Parabéns pelo seu trabalho com as provas do IME.
[]'s
L.
From: Sergio Lima Netto <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] soma binomial com GFG
Date: Tue, 8 Nov 2005 14:10:41 -0300 (BRT)
oi Luis,
Na prova de 1980/1980 de algebra do IME,
caiu uma questao que voce tinha que verificar a propriedade:
\binom{(n+1)}{(2m+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{(n-k)}{k} \binom{k}{m}
(note que nao e' a mesma que a sua propriedade).
Ha' algum tempo atras, o Nicolau colocou uma solucao do problema do IME
usando, o que eu acho que sao, as funcoes geradoras.
Voce pode ver tal solucao no material que coloco sobre as provsa do IME
www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime
na pagina 71 tem a tal demonstracao do Nicolau (com a prova do lema
dada pelo Claudio Buffara nesta lista)
Talvez voce olhando a solucao para o problema do IME consiga
desenvolver a solucao por funcao geradora do seu problema.
Abraco,
sergio
On Tue, 8 Nov 2005, Luís Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
>
> Na revista AMM 104 (1997), pp 371--372 temos o
> problema # 10494. Ao final da soluçao proposta
> (onde se mostra que a soma é uma soma telescópica),
> os editores comentam:
> "solvers used a variety of methods, including induction,
> the beta integral, Gauss's hypergeometric series summation,
>
> generating functions (GF),
>
> and computer algebra".
>
> Eu já tenho as soluções pelos 3 primeiros métodos e gostaria
> de saber como resolver usando funções geratrizes (GFG).
>
> Alguém saberia como?
>
> Ah, o problema é o seguinte:
>
> \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \binom{4n}{2k} / \binom{2n}{k} .
>
> []'s
> Luis
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: [obm-l] desigualdade
De modo geral, para todo n>=1 temos P_n = 1/2 * 3/4 *(2n-1)/(2n) = Produto(i =1,n) (1 - 1/(2n)). Pela desigualdade MA >= MG, para n>1 temos que (P_n)^(1/n) < (1/n) * Soma (i=1,n) (1 - 1/(2n)) = 1 - (1 + 1/2 +1/n)/(2*n) . Para n>1,vale a desigualdade 1 + 1/2 +1/n > ln(n+1), de modo que (P_n)^(1/n) < 1 - ln(n+1)/(2n). Finalmente, concluimos que, para n >1, P_n < (1 - ln(n+1)/(2n))^n. No caso, temos n=100, o que nos mostra que . (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) < 0,096849, uma estimativa bem mais rigorosa do que a apresentada. Acho que o limite inferior apresentado estah incorreto. Quando n--> oo, vemos que (1 - ln(n+1)/(2n))^n -->0, logo P_n --> 0. Na terminologia adotada em produtos infinitos, temos que P_n diverge para 0. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Danilo NascimentoEnviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 20:53Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] desigualdade Prove a desigualdade. 1/15<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)<1/10 Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
RES: [obm-l] desigualdade
Sejam a=(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) e b=(2/3)*(4/5)*(6/7)...*(98/99) -- note que tem 50 termos em a, mas apenas 49 termos em b. Também, note que ab=1/100, isto é, b=1/(100a). Bom, como 3/4>2/3; 5/6>4/5; ... ; 99/100>98/99; temos, multiplicando tudo, que 2a>b. Como 1/2<2/3; 3/4<4/5; 5/6<6/7;...; 97/98<98/99; 99/100<1; temos, multiplicando tudo, que a Assim, b/2 1/(200a) < a < 1/(100a) 1/225 < 1/200 < a^2 < 1/100 1/15 < a < 1/10 Abraço, Ralph -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Danilo NascimentoEnviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 19:53Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] desigualdade Prove a desigualdade. 1/15<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)<1/10 Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
Re:RES: [obm-l] desigualdade
Ou então, P = (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) Q = (2/3)*(4/5)*(6/7)*...*(100/101) Claramente, P < Q ==> P^2 < PQ = 1/101 ==> P < 1/raiz(101) < 1/raiz(100) = 1/10 Por outro lado, R = (1/2)*(2/3)*(4/5)*...* (98/99), de modo que: P > R ==> P^2 > PR = (1/2)*(1/100) = 1/200 ==> P > 1/raiz(200) > 1/raiz(225) = 1/15 []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 8 Nov 2005 17:55:27 -0200 Assunto: RES: [obm-l] desigualdade > De modo geral, para todo n>=1 temos P_n = 1/2 * 3/4 *(2n-1)/(2n) = Produto(i =1,n) (1 - 1/(2n)). Pela desigualdade MA >= MG, para n>1 temos que (P_n)^(1/n) < (1/n) * Soma (i=1,n) (1 - 1/(2n)) = 1 - (1 + 1/2 +1/n)/(2*n) . Para n>1,vale a desigualdade 1 + 1/2 +1/n > ln(n+1), de modo que (P_n)^(1/n) < 1 - ln(n+1)/(2n). Finalmente, concluimos que, para n >1, P_n < (1 - ln(n+1)/(2n))^n. No caso, temos n=100, o que nos mostra que . (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) < 0,096849, uma estimativa bem mais rigorosa do que a apresentada. Acho que o limite inferior apresentado estah incorreto. > Quando n--> oo, vemos que (1 - ln(n+1)/(2n))^n -->0, logo P_n --> 0. Na terminologia adotada em produtos infinitos, temos que P_n diverge para 0. > > > Artur > > -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Danilo NascimentoEnviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 20:53Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] desigualdade > Prove a desigualdade. > 1/15<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)<1/10 Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
[obm-l] Temperatura de uma chapa
Olá pessoal boa noite... Estou pedindo ajuda, pois estou há dias tentando resolver uma questão de cálculo de várias variáveis (máximos e mínimos e multiplicadores de Lagrange) e não consegui...só hoje já estou a horas queimando a cabeça e ainda nada. Se alguém puder me ajudar, agradeço muito, pois está terrível... vai a questão abaixo: A temperatura de uma chapa retangular determinada por x = 0, y = 0, x = 10 e y = 5 é dada por T(X,Y)= 3x^2 + 8y^2 + 18 . Determine: a) o ponto mais quente e o mais frio da placa. b) o ponto mais quente e o mais frio da placa dentre os que estão situados na curva (X^2/16) + (Y^2/9)=1 Estou achando valores altíssimos para a letra a e a letra b, não sai de jeito nenhum ! Obrigado, um abraço, Marcelo. No iBest, suas horas navegadas valem pontos que podem ser trocados por prêmios. Sem sorteio! Inscreva-se já! www.navegueeganhe.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:RES: [obm-l] desigualdade
Eh, nao ha incoerencia nenhuma, pois 1/15 =0,0666... < 0,096849. Eu fiz conta errada Artur --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Ou então, > > P = (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) > Q = (2/3)*(4/5)*(6/7)*...*(100/101) > > Claramente, P < Q ==> > P^2 < PQ = 1/101 ==> > P < 1/raiz(101) < 1/raiz(100) = 1/10 > > Por outro lado, > R = (1/2)*(2/3)*(4/5)*...* (98/99), de modo que: > P > R ==> > P^2 > PR = (1/2)*(1/100) = 1/200 ==> > P > 1/raiz(200) > 1/raiz(225) = 1/15 > > []s, > Claudio. > > > > De:[EMAIL PROTECTED] > > Para:obm-l@mat.puc-rio.br > > Cópia: > > Data:Tue, 8 Nov 2005 17:55:27 -0200 > > Assunto:RES: [obm-l] desigualdade > > > De modo geral, para todo n>=1 temos P_n = 1/2 * > 3/4 *(2n-1)/(2n) = Produto(i =1,n) (1 - 1/(2n)). > Pela desigualdade MA >= MG, para n>1 temos que > (P_n)^(1/n) < (1/n) * Soma (i=1,n) (1 - 1/(2n)) = 1 > - (1 + 1/2 +1/n)/(2*n) . Para n>1,vale a > desigualdade 1 + 1/2 +1/n > ln(n+1), de modo que > (P_n)^(1/n) < 1 - ln(n+1)/(2n). Finalmente, > concluimos que, para n >1, P_n < (1 - > ln(n+1)/(2n))^n. No caso, temos n=100, o que nos > mostra que . (1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100) < > 0,096849, uma estimativa bem mais rigorosa do que a > apresentada. Acho que o limite inferior apresentado > estah incorreto. > > Quando n--> oo, vemos que (1 - ln(n+1)/(2n))^n > -->0, logo P_n --> 0. Na terminologia adotada em > produtos infinitos, temos que P_n diverge para 0. > > > > > > Artur > > > > > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Danilo > Nascimento > Enviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 > 20:53 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: [obm-l] desigualdade > > > > Prove a desigualdade. > > 1/15<(1/2)*(3/4)*(5/6)*...*(99/100)<1/10 > > > Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. > Instale o discador agora! > __ Start your day with Yahoo! - Make it your home page! http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Estatística
Isso!!! Obrigado!!! -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de leonardo maia Enviada em: segunda-feira, 7 de novembro de 2005 09:36 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Estatística A variável P a que ele se refere é contínua, com densidade f(p)=1. E, como X é Bernoulli de parâmetro p, Prob(X=0 | p) = 1-p e Prob(X=1 | p) = p. Com isso, Prob(x) = int[0,1] Prob(x|p) f(p) dp = ... ... int[0,1] (1-p) dp = 1/2, se x=0 ou ... int[0,1] p dp = 1/2, se x=1. Pela definição de prob condicional, f(p|x) = Prob(x|p) f(p) / Prob(x) = ... ... 2(1-p), se x=0 ou ... 2p, se x=1. Espero que esteja claro. []'s, Leo. On 11/6/05, Luiz H. Barbosa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Você quer a distribuição conjunta de P e X ?Se for... P\X | 0 | 1 | P(p)| O | 1/4|1/4| 1/2 | 1 | 1/4|1/4| 1/2| P(x) |1/2 |1/2 | 1 | -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "Lista de mat" obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Sun, 6 Nov 2005 11:57:14 -0200 Assunto: [obm-l] Estatística > Pessoal, estou com esse problema em distribuições conjuntas. Se alguém > puder me dar uma luz... > > > > P tem distribuição uniforme em (0,1) e dado P=p, X tem distribuição de > Bernoulli com parâmetro p. Encontre a distribuição condicional de P dado > X. > > > > Abraços!! > > E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente. Para alterar a categoria classificada, visite o Terra Mail Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 05/11/2005 / Versão: 4.4.00/4621 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/
Re: [obm-l] Temperatura de uma chapa
O problema pode ser resolvido sem cálculo. No item a),. basta observar que na expressão da temperatura x e y contribuem com parcelas quadráticas, i.e. não negativas, portanto o mínimo ocorre na origem, onde T=18; O máximo será para os maiores valores de x^2 e y^2, pois t é crescente com os mesmos: assim no vértice do retângulo, (10,5), teremos a temperatura máxima T=518. No item b), pode-se deixar T e mfunção de x, p. ex.,substituindo y^2 em função de X^2 da equação da elipse: T=90 - 3x^2/2 Agora o máximo ocorre para x=0 (mas y=3)onde T=90, e o mínimo no extremo do eixo maior da elipse, x=4, onde T=66. []s --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Olá pessoal boa noite... > > Estou pedindo ajuda, pois estou há dias tentando > resolver uma questão de cálculo de várias variáveis > (máximos e mínimos e multiplicadores de Lagrange) e > não consegui...só hoje já estou a horas queimando a > cabeça e ainda nada. > > Se alguém puder me ajudar, agradeço muito, pois está > terrível... vai a questão abaixo: > > A temperatura de uma chapa retangular determinada > por x = 0, > y = 0, x = 10 e y = 5 é dada por T(X,Y)= 3x^2 + 8y^2 > + 18 . Determine: > a) o ponto mais quente e o mais frio da placa. > b) o ponto mais quente e o mais frio da placa dentre > os que estão situados na curva > (X^2/16) + (Y^2/9)=1 > > Estou achando valores altíssimos para a letra a e a > letra b, não sai de jeito nenhum ! > > Obrigado, um abraço, Marcelo. > > No iBest, suas horas navegadas valem pontos que > podem ser trocados por prêmios. Sem sorteio! > Inscreva-se já! www.navegueeganhe.com.br > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
