Re: [obm-l] Problemas Primos

[Ricardo Khawge]

Olá Saulo, acredito que você quis dizer outra coisa diferente da sua 
afirmação de que "todo número composto maior que 1000 é divisível por 3". 
Basta ver que 1001 nem é divisível por 3. E além disso cometi umm engano o 
enunciado correto é  correto é " todo inteiro composto menor que 1000".

Até logo



From: "saulo nilson" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Problemas Primos
Date: Mon, 24 Apr 2006 23:02:39 -0300

1)
1000 = 37*27 +1
todos os numeros compostos maiores do que 1000 sao divisiveis por 3, sendo
assim, eles sempre terao um fator primo menor  do que 37, que e 3.
2)
4^(2n+1) e um numero par sempre logo e sempre divisivel por 2, sendo assim
nunca e primo.

4) Sejam p e q primos distintos. Demonstrar: p^(q-1) + q^(p-1) ==1(mod pq)
p^(q-1) + q^(p-1)=
p^q/p +q^p/q= (q*p^q +p*q^p)/pq = 0mod(pq)
porque p e q  sao primos distintos logo sao maiores do que um que nao e
primo.
sera que fiz alguma coisa errada



On 4/22/06, Ricardo Khawge <[EMAIL PROTECTED]> wrote
>
> Se alguém puder me ajudar nestas questões eu agradeço:
>
> 1) Mostrar que todo inteiro composto maior que 1000 tem um fator primo
> menor
> que 37.
>
> 2) Mostrar que um inteiro da forma 4^(2n+1) nunca é primo.
>
> 3) Mostrar que, se p não divide n, para todos  os  primos p menores ou
> iguais a raiz cúbica de n, então n é primo ou é o produto de dois 
primos.

>
> 4) Sejam p e q primos distintos. Demonstrar: p^(q-1) + q^(p-1) ==1(mod 
pq)

>
> Obrigado
>
> _
> COPA 2006: Enfeite o seu MSN Messenger de verde e amarelo!
> http://copa.br.msn.com/extra/emoticons/
>
> 
=

> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
=

>


_
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primeiros a testar as novidades. Saiba mais: 
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Encontrar vértices de um quadrado.

[Fernando Lukas Miglorancia]

Bom dia,
 no meu modesto ponto de ver, talvez seja melhor pensarmos nas somas e diferenças entre Z0 e Z1 para então construírmos Z2 e Z3 do que utilizarmos o produto. Também podemos "girar um complexo de 90graus" multiplicando-o por ´i´, o que equivaleria a trocar o par ( a,b) por  (-b, a). Espero poder ter ajudado,

 
    Fernando
 
Em 25/04/06, Ronaldo Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>> Favor quem pode me responder este Problema.>> Suponha que Z0 e Z1 pertencente aos Complexos, são dois vértices de um
> quadrado.> Encontre os outros dois vértices, em todos os casos possiveis.   Se Z0  e Z1 forem vértices consecutivos, então Z2 tal que Z2 x Z0 = 0 éum outro vértice.-Z2 também é.A mesma coisa com Z1, ou seja, Z3 tal que Z3 x Z1 = 0 é outro vértice.
-Z1 também é.Veja quex aqui denota o produto escalar de vetores.Os complexos tem que ser encarados como vetores em R2 para isso funcionar,isto é (a,b) x (c,d) = ac + bdHá outros casos?   Sim, quando Z0 e Z1 não forem consecutivos, isto é, pertencerem a uma
das diagonais. Aí a solução não é tão imediata ...Mas são meus centavos ... de qualquer maneira.[] s =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =
>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Sistema Linear

[Fernando Lukas Miglorancia]

Achei x=19 e y=1, meio que ´por inspeção mesmo´ ( para não dizer ´na marra´ ); como y será menor ou igual a (61/4)=15.25, testei no Excel para qual(is) valores de y, de 1 a 15, o valor de (61-y)/3 seria inteiro. A resposta única foi x=19 e y=1. 

Cordialmente,
 
  Fernando
 
Em 25/04/06, Anna Luisa <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:


Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse problema.
 
1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x e y peixes, respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.

 
Desde já agradeço a todos.
Anninha.

Fwd: [obm-l] Sistema Linear- tô dormindo...

[Fernando Lukas Miglorancia]

Prezada Anna e demais integrantes da lista,
    por favor me perdoem- devo estar dormindo, foi a pressa de responder, ou sei lá(...)- disse que havia testado no Excel e só achei a resposta (19,1) para (x,y). Acho que vi um monte de ´números quebradinhos´ depois desses ´números bonitos´, ou não sei qual foi a minha viagem, mas o fato é que há outras soluções sim:Além de   (x,y)= ( 19,1), há (x,y)= (15,4), (11,7), (7,10) e (3, 13).

 
 Mais uma vez, me desculpem a trapalhada(...)
 
Fernando  -- Forwarded message --From: Anna Luisa <[EMAIL PROTECTED]>
Date: 25/04/2006 21:57Subject: [obm-l] Sistema LinearTo: obm  

Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse problema.
 
1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x e y peixes, respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.

 
Desde já agradeço a todos.
Anninha.

Re: [obm-l] Sistema Linear

[Iuri]

Olha, nao é unica a resposta nao.61-3x=4yA primeira conclusao q tiramos eh q x deve ser impar.Podemos partir de 61-57 q eh 61-3*19=4. O par (19,1) é valido.Para ser divisivel por 4, devemos somar ao 61-3*19 um numero da forma 4k. Como o numero deve ser na forma 3k', o menor numero possivel a ser somado é 12. 61-3*19+3*4=61-3*15=4*4.
Os outros possiveis sao:61-3*11=4*761-3*7=4*1061-3*3=4*13Os pares sao (19,1);(15,4);(11,7);(7,10);(3,13).On 4/26/06, Fernando Lukas Miglorancia
 <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Achei x=19 e y=1, meio que ´por inspeção mesmo´ ( para não dizer ´na marra´ ); como y será menor ou igual a (61/4)=15.25, testei no Excel para qual(is) valores de y, de 1 a 15, o valor de (61-y)/3 seria inteiro. A resposta única foi x=19 e y=1. 

Cordialmente,
 
  Fernando
 
Em 25/04/06, Anna Luisa <
[EMAIL PROTECTED]> escreveu:


Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse problema.
 
1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x e y peixes, respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.


 
Desde já agradeço a todos.
Anninha.

[obm-l] Provar: Conjunto fechado, limitado e N ÃO compacto

[alencar1980]

Pessoal,
 
Será que alguém poderia me ajudar a provar que o conjunto "A" abaixo é fechado, limitado e não-compacto.
 
Considere o conjunto 
 
{ (x_{n}) : apenas um número finito de x_{n}  é não-nulo}
 
com a norma ||x||:=max_{n nos naturais} {|x_{n}|}.
 
Obs.: Na definição acima n pertence aos naturais. Por exemplo, (1,2,3,4,5,...,N,0,0,\...) pertence ao conjunto acima.
 
Mostre que 
 
A = {x : ||x||<=1} é fechado e limitado mas não-compacto.
 
Obrigado por qualquer ajuda.
 
[]'s

Re: [obm-l] Sistema Linear

[Fernando Lukas Miglorancia]

É verdade- eu é que ´viajei´- tem muitas outras respostas...; me perdoem o descuido
2006/4/26, Iuri <[EMAIL PROTECTED]>:

Olha, nao é unica a resposta nao.61-3x=4yA primeira conclusao q tiramos eh q x deve ser impar.Podemos partir de 61-57 q eh 61-3*19=4. O par (19,1) é valido.Para ser divisivel por 4, devemos somar ao 61-3*19 um numero da forma 4k. Como o numero deve ser na forma 3k', o menor numero possivel a ser somado é 12. 61-3*19+3*4=61-3*15=4*4. 
Os outros possiveis sao:61-3*11=4*761-3*7=4*1061-3*3=4*13Os pares sao (19,1);(15,4);(11,7);(7,10);(3,13).

On 4/26/06, Fernando Lukas Miglorancia <
[EMAIL PROTECTED]> wrote: 


Achei x=19 e y=1, meio que ´por inspeção mesmo´ ( para não dizer ´na marra´ ); como y será menor ou igual a (61/4)=15.25, testei no Excel para qual(is) valores de y, de 1 a 15, o valor de (61-y)/3 seria inteiro. A resposta única foi x=19 e y=1. 

Cordialmente,

 
  Fernando
 


Em 25/04/06, Anna Luisa <
 [EMAIL PROTECTED]> escreveu: 




Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse problema.
 
1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x e y peixes, respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.
 
 
Desde já agradeço a todos.
Anninha.
 

[obm-l] Tres Problemas Olimpicos

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal !
(escreverei sem acentos)

Seguem tres problemas propostos em uma Olimpiada Russa do passado. Nao e 
possivel fazer um paralelo rigoroso entre o ensino brasileiro e o russo, mas 
eu diria que estes problemas se destinam sobretudo a alunos da 7/8 series do 
nosso ensino fundamental ( antigo 1 grau ) :


PROBLEMA 1) Prove que nao existem quatro reais positivos A, B, C e D que
satisfazem simultaneamente as inequacoes seguintes :

A + B < C + D
(A+B)(C+D) < AB + CD
(A+B)CD < AB(C+D)

PROBLEMA 2) Considere a equacao do segundo grau Ax^2 + Bx + C = 0, onde B e 
C sao inteiros dados. Qual e o menor valor inteiro positivo que A deve 
assumir de maneira que a equacao admita duas raizes positivas, distintas e 
ambas menores que 1 ?


PROBLEMA 3) Seja N um numero inteiro positivo maior que 1. Considere todas 
as fracoes da forma 1/PQ, onde P e Q sao relativamente primos e, alem disso, 
satisfazem :


1) 0 < P < Q =< N
2) P + Q > N

Prove que a soma de todas estas fracoes e igual a 1/2.

Mais problemas russos em :

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr

OBS : Se alguem quiser escrever pra mim, o meu endereco eletronico onde mais 
rapidamente verei a mensagem e [EMAIL PROTECTED]


Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
4,1104,260406

_
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: Fwd: [obm-l] Sistema Linear- tô dormindo...

[rsarmento]

3x + 4y = 61

Sr,


Este tipo de problema pode ser resolvido

p/ex atribuindo valores para x (ou y) e calculando y (ou x)

lembrando que x máximo deve ser ser 19
pois para o menor y (1)

3X + 4 = 61

3X = 57

X = 57/3

at


rsarmento







-- Forwarded message --
From: Anna Luisa <[EMAIL PROTECTED]>
Date: 25/04/2006 21:57
Subject: [obm-l] Sistema Linear
To: obm 


 Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse problema.

1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x e y peixes,
respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis
quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.

Desde já agradeço a todos.
Anninha.





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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Encontrar vértices d e um quadrado.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Sem dúvida é uma solução mais 
simples, rápida e elegante ... 
O pessoal da lista deve ter percebido que às vezes 
eu
me perco nos 
próprios pensamentos ...também gosto de mostrar
exemplos práticos de aplicação das coisas  e 
muitas vezes acabo complicando coisas
simples -- 
desculpem se parecer  pedante... 
isso não intencional...  
Obrigado
Ronaldo.

  - Original Message - 
  From: 
  Fernando Lukas Miglorancia 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, April 26, 2006 9:29 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  Encontrar vértices de um quadrado.
  
  Bom dia,
   no meu modesto ponto de ver, talvez seja melhor 
  pensarmos nas somas e diferenças entre Z0 e Z1 para então construírmos Z2 e Z3 
  do que utilizarmos o produto. Também podemos "girar um complexo de 90graus" 
  multiplicando-o por ´i´, o que equivaleria a trocar o par ( a,b) por  
  (-b, a). Espero poder ter ajudado, 
   
      
  Fernando
   
  Em 25/04/06, Ronaldo 
  Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 

  >> 
Favor quem pode me responder este Problema.>> Suponha que Z0 e 
Z1 pertencente aos Complexos, são dois vértices de um > 
quadrado.> Encontre os outros dois vértices, em todos os casos 
possiveis.   Se Z0  e Z1 forem vértices 
consecutivos, então Z2 tal que Z2 x Z0 = 0 éum outro vértice.-Z2 
também é.A mesma coisa com Z1, ou seja, Z3 tal que Z3 x Z1 = 0 é outro 
vértice. -Z1 também é.Veja quex aqui denota o produto escalar de 
vetores.Os complexos tem que ser encarados como vetores em R2 para isso 
funcionar,isto é (a,b) x (c,d) = ac + bdHá outros 
casos?   Sim, quando Z0 e Z1 não forem consecutivos, isto é, 
pertencerem a uma das diagonais. Aí a 
solução não é tão imediata ...Mas são meus 
centavos ... de qualquer maneira.[] 
s 
= 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> 
= 
>=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Encontrar vértices de um quadrado.

[Fernando Lukas Miglorancia]

Prezado Sr. Ronaldo
 
Não precisa se desculpar de nada, acho que essa tendência para complicar é bem geral ( pelo menos eu também sou assim!,,,)
 
Fernando 
Em 26/04/06, Ronaldo Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:


Sem dúvida é uma solução mais simples, rápida e elegante ... 
O pessoal da lista deve ter percebido que às vezes eu
me perco nos próprios pensamentos ...também gosto de mostrar
exemplos práticos de aplicação das coisas  e muitas vezes acabo complicando coisas
simples -- 
desculpem se parecer  pedante... 
isso não intencional...  
Obrigado

Ronaldo.


- Original Message - 
From: 
Fernando Lukas Miglorancia 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Wednesday, April 26, 2006 9:29 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Encontrar vértices de um quadrado.
 
Bom dia,
 no meu modesto ponto de ver, talvez seja melhor pensarmos nas somas e diferenças entre Z0 e Z1 para então construírmos Z2 e Z3 do que utilizarmos o produto. Também podemos "girar um complexo de 90graus" multiplicando-o por ´i´, o que equivaleria a trocar o par ( a,b) por  (-b, a). Espero poder ter ajudado, 

 
    Fernando
 
Em 25/04/06, Ronaldo Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]
> escreveu: 
>> Favor quem pode me responder este Problema.>> Suponha que Z0 e Z1 pertencente aos Complexos, são dois vértices de um 
> quadrado.> Encontre os outros dois vértices, em todos os casos possiveis.   Se Z0  e Z1 forem vértices consecutivos, então Z2 tal que Z2 x Z0 = 0 éum outro vértice.-Z2 também é.A mesma coisa com Z1, ou seja, Z3 tal que Z3 x Z1 = 0 é outro vértice. 
-Z1 também é.Veja quex aqui denota o produto escalar de vetores.Os complexos tem que ser encarados como vetores em R2 para isso funcionar,isto é (a,b) x (c,d) = ac + bdHá outros casos?   Sim, quando Z0 e Z1 não forem consecutivos, isto é, pertencerem a uma 
das diagonais. Aí a solução não é tão imediata ...Mas são meus centavos ... de qualquer maneira.[] s = 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> = >=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

[obm-l] RE: [obm-l] Provar: Conjunto fechado, limitado e NÃO compacto

[kleinad2]

Vou chamar de V esse espaço, e assumir que essas sequências são de números
reais.

A é limitado pela sua própria definição, e é fechado pela continuidade da
norma em (V, ||.||): se X_n é uma sequência em A convergindo para X, então
||X|| = ||lim X_n|| = lim ||X_n|| <= 1 pois ||X_n|| <=1 para todo n.

Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1, ..., a_k) o subespaço gerado
por eles. Assim, todo elemento desse subespaço tem todas as coordenadas
não nulas exceto possivelmente as coordenadas não nulas dos a_j, que são
em número finito. A partir disso, é fácil ver que S(a_1, ..., a_k) é fechado.

Considere a cobertura C de A formada pelas bolas abertas de raio 1/2 centradas
nos elementos de A ({Y em V tal que ||Y - A|| < 1/2}). Seja {a_1, ..., a_k}
contido em A e considere S = S(a_1, ..., a_k).

Seja x_1 elemento de V\S qualquer (como a dimensão de V é infinita e a de
S, finita, tal x_1 existe). Seja d = inf||x - x_1||, com x em S. Como S
é fechado, temos d > 0. Seja 0 < q < 1. Então existe x_0 em S tal que ||x_0
- x_1|| <= d/q. Defina x_q = h*(x_0 - x_1), com h = 1/(||x_0 - x_1||). Segue
que ||x_q|| = 1 e x_q está em V\S (pois se x_q estiver em S, então x_1 =
-(1/h)*x_q + x_0 estaria em S, absurdo).

Observe que se x está em S, então (1/h)*x - x_0 está em S. Seja x em S.
Vale ||x - x_q|| = ||x - h*(xo - x_1)|| = h*||((1/h)*x - x_0) + x_1|| >=
h*d >= (q/d)*d = q. Assim, todo mundo em S está a uma distância de pelo
menos q > 0 de x_q, e ||x_q|| = 1.

Voltando à cobertura C e usando o resultado acima, existe b em V\S com ||b||
= 1 (e então b está em A) tal que ||b - x|| >= 1/2 para todo x em S, e em
particular para todos os a_i, 1 <= i <= k. Logo, b não está em 
B(a_1)U...UB(a_k),
onde B(a_i) é a bola de centro a_i e raio 1/2. Assim, A não está contido
nessa união finita.

Assim, nenhuma subcobertura finita de C pode cobrir A, e então A não é compacto.
Com pequenas alterações, esse resultado vale para todo espaço real de dimensão
infinita: a bola unitária nunca é compacta.

[]s,
Daniel



 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Wed, 26 Apr 2006 10:46:27 -0300
 '>'Subject: [obm-l] Provar: Conjunto fechado, limitado e N
 '>'ÃO compacto
 '>'From: "alencar1980" <[EMAIL PROTECTED]>
 '>'To: "obm-l" 
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'Pessoal,
 '>'
 '>'Será que alguém poderia me ajudar a provar que o conjunto "A" abaixo
é fechado,
 '>'limitado e não-compacto.
 '>'
 '>'Considere o conjunto
 '>'
 '>'{ (x_{n}) : apenas um número finito de x_{n}  é não-nulo}
 '>'
 '>'com a norma ||x||:=max_{n nos naturais} {|x_{n}|}.
 '>'
 '>'Obs.: Na definição acima n pertence aos naturais. Por exemplo, 
(1,2,3,4,5,...,N,0,0,\...)
 '>'pertence ao conjunto acima.
 '>'
 '>'Mostre que
 '>'
 '>'A = {x : ||x||<=1} é fechado e limitado mas não-compacto.
 '>'
 '>'Obrigado por qualquer ajuda.
 '>'
 '>'[]'s




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Questaunzinha chata!!!

[Camilo Damiao]

Ei Iuri... preste atençaum em sua resposta... a unica coordeenada q satisfaz o sistema eh (3,4), nenhum outro ponto da circunferencia consegue satisfazer as duas equaçoes simultaneamente... logo a soluçaum eh unica sim...x=3 e y=4.

Agora a questaum eh... como chegar a essa soluçaum sem ser no "olhometro"???
Serah q alguem consegue me ajuda com essa???
Provar q (3,4) eh unica soluçaum do sistema!
x^2+y=13
x+y^2=19
 
Por favor preciso de ajuda nessa ateh amanha se possivel
Mt obrigado
Desde jah grato pela atençaum de tds!
Abraço

Re: [obm-l] Contagem

[leonardo maia]

Caro Klaus,

comecemos pela segunda questão. Ande de trás para frente: há 3 números
que podem ocupar a última casa, n, n-1 ou n-2. O mesmo ocorre com a
penúltima casa, pois embora um dos números mencionados acima tenha sido
escolhido para ocupar a última casa, há uma nova possibilidade: n-3.
Sucessivamente, vc perde uma opção, mas ganha outra. Isso só não ocorre
com a casa 2 (só há duas opções, pois vc perde uma opção mas não ganha
outra) e com a casa 1 (só resta uma opção). Pelo princípio
multiplicativo, acabou.

Agora, a primeira questão. Como ela (e a anterior) são do livro do
Morgado e colaboradores, presumo que vc o tenha e já saiba calcular o
número de soluções de uma eq. cujas variáveis são inteiros não
negativos, mesmo quando há restrições (por exemplo, quando uma variável
precisa ser >=1). Vou admitir esse fato para apresentar duas
soluções, uma baseada só nas técnicas daquele livro e outra baseada em
funções geradoras (ver Introd. à Anál. Comb., de Santos, Mello &
Murari, Ed. Unicamp). Talvez haja alguma solução + simples, as edições
+ recentes do Morgado et al trazem as soluções dos problemas (minha
edição é bem antiga).

1a. solução: um pouco braçal, se o problema fosse "maior", complicaria;
prefiro o segundo método, mas mostro esta solução para vc poder
resolver o problema sem precisar de outro livro.

i) primeira possível configuração
_A_A_A_A_A_A_A_

Há 8 espaços em branco, que devem ser preenchidos pelos B's. Se x1 for
a qtdade de B's no 1o. espaço em branco, por exemplo, então queremos
saber qtas são as soluções de

x1+...+x8 = 7, sendo x1>=0, x8>=0, mas xi>=1, com i=2,...,7
que é o mesmo número de soluções de

y1+...+y8=1, com yi>=0 para todo i, que é C(8,7).

ii) segunda possível configuração

_AA_A_A_A_A_A_



Há 7 espaços em branco, que devem ser preenchidos pelos B's. Queremos
saber qtas são as soluções de



x1+...+x7 = 7, sendo x1>=0, x7>=0, mas xi>=1, com i=2,...,6


que é o mesmo número de soluções de



y1+...+y7=2, com yi>=0 para todo i, que é C(8,6), mas há C(6,1) formas de posicionar o bloco AA.

iii) terceira possível configuração


_AA_A_A_AA_A_





Há 6 espaços em branco, que devem ser preenchidos pelos B's. Queremos
saber qtas são as soluções de





x1+...+x6 = 7, sendo x1>=0, x6>=0, mas xi>=1, com i=2,...,5




que é o mesmo número de soluções de





y1+...+y6=3, com yi>=0 para todo i, que é C(8,5), mas há C(5,2) formas de posicionar os blocos AA.

iv) quarta e última possível configuração



_AA_AA_AA_A_







Há 5 espaços em branco, que devem ser preenchidos pelos B's. Queremos
saber qtas são as soluções de







x1+...+x5 = 7, sendo x1>=0, x5>=0, mas xi>=1, com i=2,3,4






que é o mesmo número de soluções de







y1+...+y5=4, com yi>=0 para todo i, que é C(8,4), mas há C(4,3) formas de posicionar os blocos AA.

v) FECHANDO: C(7,0).C(8,7) + C(6,1).C(8,6) + C(5,2).C(8,5) + C(4,3).C(8,4) = 1016.


2a. solução: só o esboço, pq não dá explicar aqui, veja o livro citado

a configuração geral dos B's é

_B_B_B_B_B_B_B_ 

onde os espaços vazios devem ser preenchidos pelos A's. Se x1, por exemplo, for a qtdade de A's no 1o. espaço em branco,

x1+...+x8=7, com xi = 0, 1 ou 2, no máximo, para i=1,...,8.

Dada a função geratriz g(x) = (1+x+x^2)^8 = [(1-x^3)^8].[(1-x)^(-8)] ,
o coeficiente de x^7 na expansão de Taylor de g(x) é a solução
procurada.

Espero ter sido claro (com exceção do último trecho...).

Abraços,
Leo.



On 4/25/06, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Quantas permutacoes de 7 letras A e 7 letras B, nas quais nao ha 3 letras A adjacentes, existem?   gab: 1016  Quantas
sao as permutacoes simples dos numeros 1,2,,n nas quais o elemento
que ocupa a k-esima posicao é maior que k-3, para todo k?  gab:2.3^(n-2)     Quem puder me ajudar agradeco.
		 
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar: Conjunto fechado , limitado e NÃO compacto

[Ronaldo Luiz Alonso]

Olá Daniel:


Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1, ..., a_k)  ...


... Vc não quiz dizer elementos de A?  Não?

Assim, nenhuma subcobertura finita de C pode cobrir A, e então A não é 
compacto.
Com pequenas alterações, esse resultado vale para todo espaço real de 
dimensão

infinita: a bola unitária nunca é compacta.


 Certo. Bonita demonstração.



[]s,
Daniel



'>'-- Mensagem Original --
'>'Date: Wed, 26 Apr 2006 10:46:27 -0300
'>'Subject: [obm-l] Provar: Conjunto fechado, limitado e N
'>' ÃO compacto
'>'From: "alencar1980" <[EMAIL PROTECTED]>
'>'To: "obm-l" 
'>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'
'>'Pessoal,
'>'
'>'Será que alguém poderia me ajudar a provar que o conjunto "A" abaixo
é fechado,
'>'limitado e não-compacto.
'>'
'>'Considere o conjunto
'>'
'>'{ (x_{n}) : apenas um número finito de x_{n}  é não-nulo}
'>'
'>'com a norma ||x||:=max_{n nos naturais} {|x_{n}|}.
'>'
'>'Obs.: Na definição acima n pertence aos naturais. Por exemplo, 
(1,2,3,4,5,...,N,0,0,\...)

'>'pertence ao conjunto acima.
'>'
'>'Mostre que
'>'
'>'A = {x : ||x||<=1} é fechado e limitado mas não-compacto.
'>'
'>'Obrigado por qualquer ajuda.
'>'
'>'[]'s




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Sobre problemas do tipo "Qual o proximo termo da sequencia"

[saulo nilson]

Realmente a resposta para cada tipo de problema depende da cabeça de cada pessoa, se o cara ver as raizes de um polinomio em 1,2,3,4 realmente acho que o cara tem que ser matematico, abraço, saulo.
On 4/19/06, Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Recentemente apareceu na lista o problema daquela sequenciazinha (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...), dos números naturais cujos nomes, em português, começam com a letra D.Eu penso o seguinte:
Considere o problema: "Dada a seqüência (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...), determine seu 8o. termo".Respondo: 1.Demonstração: seja f: N -> N, definida por:f(1) = 2f(2) = 10f(3) = 12
f(4) = 16f(5) = 17f(6) = 18f(7) = 19f(n) = 1, para todo n >= 8.A seqüencia dada pode ser a seqüencia dos valores da assumidos pela função f: (f(1), f(2), ...), cujo n-ésimo termo é f(n).Não é esta uma demonstração plausível?
Sendo assim, dado qualquer problema desse tipo de seqüencia, não posso escolher a resposta que eu quiser para o problema?Já vi problemas também que dão k alternativas para o próximo termo da seqüencia. Mesmo assim, ainda poderia escolher a resposta, e poderia demonstrar que há uma lógica matemática na resposta.
Outro problema:(1,2,3,4,?,...)qual é o 5o. termo?a) 5b) 6c) 7d) (2^30402457 -1)e) 3.14159265358979323846264338327950Muitos responderiam de cara: "5, ora! a seqüencia é obviamente a sequencia dos numeros naturais!"
Então, em defesa a esse tipo de problema, poderiamos dizer que devemos assumir uma seqüencia com bastante lógica matemática ao dar a resposta, e, vendo o 1, 2, 3 e 4 nessa ordem, o mais lógico parece ser continuar com o 5.
Pois bem: tome a sequencia (1,2,3,4,6), ache o polinômio interpolador dessa seqüencia, p(x), e então você diz que a seqüencia é, logicamente, a imagem do polinômio interpolador da seqüenciazinha acima, e calcula p(5) e obtem o 5o. elemento: 6. Tem bastante lógica pensar assim, ora!
Eu, particularmente, acho meio sem sentido esses problemas de seqüencia do tipo "dada a seqüencia, determine o próximo termo".Escrevo isso pois já vi  esse tipo de problema em provas do tipo "teste de inteligência" (embora nunca tenha feito). Acho meio sem sentido esse tipo de questão, que, ao meu ver, admite infinitas respostas (na verdade, todas as respostas).
O que vocês acham? 
-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0 

Re: [obm-l] Matriz

[saulo nilson]

tipo da matriz e a dimensao dela, tem matrizes quadradas, do tipo 2x2 por exemplo, dai surgem varias classificaçoes, simetricas, matriz diagonal, etc, e existem ainda outros tipos de matrizes, como as matrizes linha, do tipo 1xn  e as matrizes colunas, nx1, e ainda matrizes nao quadraticas, que tem o numero de linhas diferente do numero de colunas.

On 4/12/06, Alexandre Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Bom dia, amigos.
 
Alguém pode me explicar o que são tipo e traço de matriz?
 
Desde já, obrigado.

 
Alexandre Bastos



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[obm-l] Problema de geometria plana

[rsarmento]

Srs,

O problema abaixo é o de número 55 do livro matematica para o
vestibular da UFMG
(geometria plana) do Prof Christiano Sena.

(sem acentos)
Num triangulo ABC, AB =8 cm e AC = 10cm. Pelo incentro do triangulo,
traca-se uma reta paralela
a BC, que intercepta AB em M e AC em N. O perimetro do triangulo AMN eh:
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20.

alguem sabe sua solução? o gabarito diz que é 20.

at

sarmento




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Problema de geometria plana

[Marcio M Rocha]

[EMAIL PROTECTED] escreveu:


Srs,

O problema abaixo é o de número 55 do livro matematica para o
vestibular da UFMG
(geometria plana) do Prof Christiano Sena.

(sem acentos)
Num triangulo ABC, AB =8 cm e AC = 10cm. Pelo incentro do triangulo,
traca-se uma reta paralela
a BC, que intercepta AB em M e AC em N. O perimetro do triangulo AMN eh:
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20.

alguem sabe sua solução? o gabarito diz que é 20.

at

sarmento




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<>Boa noite, Sarmento.

Seja I o incentro do triângulo. Sabe-se que med(MBI)=med(IBC) e que 
med(NCI)=med(ICB). Por outro lado, sendo MN paralelo a BC, tem-se que 
med(MIB)=med(IBC)=med(MBI) e med(NIC)=med(ICB)=med(NCI). Daí: MB = MI e 
NC = NI.


O perímetro de AMN é:

AM + MN + NA = AM + MI + IN + NA = AM + MB + NC + NA = AB + AC = 18.

Se algo estiver errado, leve em conta o horário.

Abraços,

Márcio.

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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar: Conjunto fechado, limitado e NÃO compacto

[kleinad2]

 '>'Olá Daniel:
 '>'
 '>'> Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1, ..., a_k)  ...
 '>'
 '>'... Vc não quiz dizer elementos de A?  Não?

Sim!!

[]s,
Daniel


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[obm-l] Re: Provar: Conjunto fechado, limitado e N�O compacto

[Artur Costa Steiner]

Se V for o espaco vetorial topologico composto pelas
sequencias de reais, hah uma prova simples: seja e_n a
sequencia de reais na qual o n-gesimo termo eh 1 eos
demais sao todos nulos. Entao, {e_n} eh uma sequencia
(sequencia de sequencias)na bola unitaria fechada de
V.  Se m<>n, entao e_m - e_n eh a sequencia com 1 na
posicao m, -1 na posicao n e zero em todas as demais,
de modo que ||e_m - e_n|| = 1. Assim, nenhuma
subsequencia de e_n eh Cauchy e, portanto, nenhuma
subsequencia eh convergente. Como espacos metricos sao
compactos sse todas suas sequencias contiverem uma
subsequencia convergente, concluimos que a bola
unitaria fechada nao eh compacta.

Por afinidade, concluimos que nenhuma bola fechada de
V eh compacta. Em V, a condicao de Heine Borel nao
vale. Bolas fechadas sao limitadas mas nao totalmente
limitadas.   

Artur

--- Ronaldo Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> Olá Daniel:
> 
> > Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1,
> ..., a_k)  ...
> 
> ... Vc não quiz dizer elementos de A?  Não?
> 
> > Assim, nenhuma subcobertura finita de C pode
> cobrir A, e então A não é 
> > compacto.
> > Com pequenas alterações, esse resultado vale para
> todo espaço real de 
> > dimensão
> > infinita: a bola unitária nunca é compacta.
> 
>   Certo. Bonita demonstração.
> 
> >
> > []s,
> > Daniel
> >
> >
> >
> > '>'-- Mensagem Original --
> > '>'Date: Wed, 26 Apr 2006 10:46:27 -0300
> > '>'Subject: [obm-l] Provar: Conjunto fechado,
> limitado e N
> > '>' ÃO compacto
> > '>'From: "alencar1980" <[EMAIL PROTECTED]>
> > '>'To: "obm-l" 
> > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > '>'
> > '>'
> > '>'Pessoal,
> > '>'
> > '>'Será que alguém poderia me ajudar a provar que
> o conjunto "A" abaixo
> > é fechado,
> > '>'limitado e não-compacto.
> > '>'
> > '>'Considere o conjunto
> > '>'
> > '>'{ (x_{n}) : apenas um número finito de x_{n}  é
> não-nulo}
> > '>'
> > '>'com a norma ||x||:=max_{n nos naturais}
> {|x_{n}|}.
> > '>'
> > '>'Obs.: Na definição acima n pertence aos
> naturais. Por exemplo, 
> > (1,2,3,4,5,...,N,0,0,\...)
> > '>'pertence ao conjunto acima.
> > '>'
> > '>'Mostre que
> > '>'
> > '>'A = {x : ||x||<=1} é fechado e limitado mas
> não-compacto.
> > '>'
> > '>'Obrigado por qualquer ajuda.
> > '>'
> > '>'[]'s
> >
> >
> >
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
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> > 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
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Re:[obm-l] Tres Problemas Olimpicos

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
1) Suponha que existem A, B, C e D que satisfazem as inequacoes, entao:
 
(A+B)(C+D) < AB + CD
(A+B)(A+B)(C+D) < AB(A+B) + CD(A+B) < AB(A+B) + AB(C+D) = AB(A+B+C+D) < AB(C+D+C+D) = 2AB(C+D)
 
Logo:
 
(A+B)(A+B)(C+D) < 2AB(C+D)
(A+B)(A+B) < 2AB
A^2 + B^2 < 0
 
absurdo.
logo, nao existem A, B, C, D reais positivos que satisfazem a essas inequacoes.
 
abracos,
Salhab
 
 
> Ola Pessoal ! 
> (escreverei sem acentos) 
> 
> Seguem tres problemas propostos em uma Olimpiada Russa do passado. Nao e 
> possivel fazer um paralelo rigoroso entre o ensino brasileiro e o russo, mas 
> eu diria que estes problemas se destinam sobretudo a alunos da 7/8 series do 
> nosso ensino fundamental ( antigo 1 grau ) : 
> 
> PROBLEMA 1) Prove que nao existem quatro reais positivos A, B, C e D que 
> satisfazem simultaneamente as inequacoes seguintes : 
> 
> A + B < C + D 
> (A+B)(C+D) < AB + CD 
> (A+B)CD < AB(C+D) 
> 
> PROBLEMA 2) Considere a equacao do segundo grau Ax^2 + Bx + C = 0, onde B e 
> C sao inteiros dados. Qual e o menor valor inteiro positivo que A deve 
> assumir de maneira que a equacao admita duas raizes positivas, distintas e 
> ambas menores que 1 ? 
> 
> PROBLEMA 3) Seja N um numero inteiro positivo maior que 1. Considere todas 
> as fracoes da forma 1/PQ, onde P e Q sao relativamente primos e, alem disso, 
> satisfazem : 
> 
> 1) 0 < P < Q =< N 
> 2) P + Q > N 
> 
> Prove que a soma de todas estas fracoes e igual a 1/2. 
> 
> Mais problemas russos em : 
> 
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr 
> 
> OBS : Se alguem quiser escrever pra mim, o meu endereco eletronico onde mais 
> rapidamente verei a mensagem e [EMAIL PROTECTED] 
> 
> Um Abraco a Todos 
> Paulo Santa Rita 
> 4,1104,260406 
> 
> _ 
> Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você precisa com Windows 
> Desktop Search. Instale agora em http://desktop.msn.com.br 
> 
> = 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
> = 
> 

Re:[obm-l] Tres Problemas Olimpicos

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,
 
2) Queremos que ambas as raizes estejam entre 0 e 1.
Como A > 0, e, fazendo f(x) = Ax^2 + Bx + C, temos que ter:
 
f(0) > 0, pois, se f(0) <= 0, ou 0 é raiz, ou 0 esta entre as raizes.. como nenhum dos 2 eh permitido, f(0) > 0.
assim: C > 0
 
ok.. tambem queremos: f(1) > 0.. pelos mesmos argumentos do f(0).
assim: A + B + C > 0 .. A > - (B+C)
 
agora, queremos que o valor de x que da o minimo da funcao esteja entre 0 e 1.. logo:
 
0 < -B/(2A) < 1
 
vamos analisar os 2 casos:
 
-B/(2A) > 0 ... B/A < 0 .. isto é: B e A tem sinais opostos
 
-B/(2A) < 1 ... B/A > -2
 
vamos analisar 2 casos: 
 
(i) B > 0 .. entao A < 0:
B/A > -2 .. B < -2A .. A < -B/2
assim: -(B+C) < A < -B/2
 
(ii) B < 0 .. entao A > 0:
B/A > -2 .. B > -2A .. A > -B/2
assim: A > -B/2 e    A > - (B+C)
logo A > max ( -B/2 ; -(B+C) )
 
deste modo, os possiveis valores de A estao determinados para que as condicoes do problema sejam sempre satisfeitas..
para obtermos o menor valor de A, teriamos que aceitar que as raizes fossem 0 e 1.
neste caso, teriamos a seguinte resposta:
 
se C > 0 e B > 0, o menor valor de A é: - (B+C)
se C > 0 B < 0, o menor valor de A é: max ( -B/2 ; -(B+C) )
se C < 0, impossivel satisfazer as condicoes do enunciado
 
abracos,
Salhab
 
 
 
> Ola Pessoal ! 
> (escreverei sem acentos) 
> 
> Seguem tres problemas propostos em uma Olimpiada Russa do passado. Nao e 
> possivel fazer um paralelo rigoroso entre o ensino brasileiro e o russo, mas 
> eu diria que estes problemas se destinam sobretudo a alunos da 7/8 series do 
> nosso ensino fundamental ( antigo 1 grau ) : 
> 
> PROBLEMA 1) Prove que nao existem quatro reais positivos A, B, C e D que 
> satisfazem simultaneamente as inequacoes seguintes : 
> 
> A + B < C + D 
> (A+B)(C+D) < AB + CD 
> (A+B)CD < AB(C+D) 
> 
> PROBLEMA 2) Considere a equacao do segundo grau Ax^2 + Bx + C = 0, onde B e 
> C sao inteiros dados. Qual e o menor valor inteiro positivo que A deve 
> assumir de maneira que a equacao admita duas raizes positivas, distintas e 
> ambas menores que 1 ? 
> 
> PROBLEMA 3) Seja N um numero inteiro positivo maior que 1. Considere todas 
> as fracoes da forma 1/PQ, onde P e Q sao relativamente primos e, alem disso, 
> satisfazem : 
> 
> 1) 0 < P < Q =< N 
> 2) P + Q > N 
> 
> Prove que a soma de todas estas fracoes e igual a 1/2. 
> 
> Mais problemas russos em : 
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> 
> OBS : Se alguem quiser escrever pra mim, o meu endereco eletronico onde mais 
> rapidamente verei a mensagem e [EMAIL PROTECTED] 
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